15.3角的平分线同步分层练习2025-2026学年沪科版（2024）数学八年级上册

2025-2026学年沪科版（2024）数学八年级上册15.3角的平分线同步分层练习 一、夯实基础 1．观察下列作图痕迹，所作线段为的角平分线的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．三角形三条边的垂直平分线的交点处 B．三角形三条高的交点处 C．三角形三条中线的交点处 D．三角形三个内角的角平分线的交点处 3．如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 4．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线交边于点D．若，则的面积是（　　） A．40 B．22 C．20 D．10 5．如图，已知．小明按如下步骤作图： （1）以点为圆心、适当长为半径作弧，交于点，交于点； （2）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点； （3）作射线． A．射线是的平分线 B．线段平分线段 C．点和点关于直线对称 D． 6．如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点；再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线交于点．若，则的大小是（　　） A． B． C． D． 7． 如图是用直尺和圆规作∠BAC的平分线的示意图.依据作法可知，下列结论错误的是(　　). A．AE=AF B．∠FDA=∠EAD C．FD=ED D．△AFD≌△AED的根据是“SSS” 8．如图，是的角平分线，若，，则的面积为　 　． 9．如图，是内部的一条射线，P是射线上任意一点，．下列条件：，其中能判定是的平分线的有　 　．（填序号） 10．如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离． （1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由． （2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数． 11．如图，在中，、分别在、上且，平分，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 二、能力提高 12．如图，是的角平分线，于点E，的面积，，则的长是　 　． 13．如图所示，和的角平分线相交于点P，，则的度数为　 　． 14．如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…；和的平分线交于点，则　 　°． 15．如图，是的角平分线，于点，于点，连接交于点，下列结论：①；②；③；④；⑤，正确的是　 　（填序号）. 16．如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF.则下列结论中正确的个数(　　) ①BP平分∠ABC； ②∠ABC+2∠APC=180°； ③∠CAB=2∠CPB； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．如图，AD是的角平分线，于点，点E，G分别在AB，AC上，且，若，，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 18．如图， 的外角 的平分线交 边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于E. （1）求证： ； （2） 若 ， 求 的长. 19．如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（　　） A． B．与的面积比等于边与之比 C． D．若，则 20．如图，已知在中，，，平分，平分． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，连接，作，，，求的面积． 三、拓展提升 21． （1）【问题情境】我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图①，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点重合，则过角尺顶点的射线是的平分线．请说明此做法的理由； （2）【拓展实践】某公园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口（如图②），现要在两条小路之间安装一盏路灯，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯到休息椅和的距离相等．问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的备用图中作出路灯的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 22．如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO=90°-∠BDO． （1）求证：AC=BC； （2）如图2，点C的坐标为(4，0)，点E为AC上一点，且AD= DE，求BC+EC的长； （3）在(1)中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，(如图3)，当H在FC上移动、点G点在OC上移动时，始终满足∠GDH=∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】5 9．【答案】①②③④ 10．【答案】（1）解：相等．理由如下： ∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 11．【答案】（1）证明：过点作，垂足为， 平分，，， ，， 在与中 ， ≌， ，， ， ； （2）解：， 在与中 ， ≌， ， 设， 则，， ， 解得，， ． 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】/ 15．【答案】②④⑤ 16．【答案】D 17．【答案】A 18．【答案】（1）证明：(1)连接BP、CP ∵点P在BC的垂直平分线上， ∴BP=CP， ∵AP是∠DAC的平分线，PD⊥AB，PE⊥AC， ∴DP=EP， 在RtABP和Rt△CEP中， ∵BP=CP，DP=EP， ∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL)， ∴BD=CE； （2）解：(2)在Rt△ADP和Rt△AEP中，AP=AP，DP=EP， 在Rt△ADP≌Rt△AEP（HL)， ∴AD=AE， ∴AB=6cm，AC=10cm， ∴6 +AD=10-AE. 即6+AD =10-AD，解得AD =2cm. 19．【答案】C 20．【答案】（1）解：平分， ， 平分， ， ， 的度数为； （2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 平分，，， ， 平分，，， ， 的面积 ， 故的面积为4． 21．【答案】（1）解：理由：由题意得， ， ∴∠AOC=∠BOC， ∴OC是∠AOB的平分线. （2）解：如图，点E即为所求 22．【答案】（1）证明： ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD. ∵∠AOB=∠AOC=90'，∠CAO= 90°-∠BDO， ∵∠DBO= 90°-∠BDO. ∴∠CAO=∠DBO. 在△ACD和△BCD中， ∴△ACD≌△BCD(AAS). ∴ AC=BC. （2）解：如图2， 过点D作DM⊥AC于M， ∵CD平分∠ACB，OD⊥BC， ∴DO= DM. 在△BOD和△AMD中， ∴△BOD≌△AMD(AAS)， ∴OB =AM. 在Rt△DOC和Rt△DMC中， ∴Rt△DOC≌Rt△DMC(HL)， ∴OC=MC. ∵AD=DE，且DM⊥AC， ∴AM=EM， ∴OB=EM. ∵ C(4，0)， ∴OC=4 ， ∴BC+CE=OB+OC+MC-EM=2OC=8. （3）解： GH = OG+ FH. 证明：如图3， 在GO的延长线上取一点N，使ON=FH， ∵CD平分∠ACO，DF⊥AC，OD⊥OC， ∴DO=DF. 在△DON和△DFH中， ∴△DON≌△DFH(SAS)， ∴DN=DH， ∠ODN=∠FDH. ∵∠GDH =∠GDO+∠FDH， ∴∠GDH =∠GDO+∠ODN =∠GDN 在△DGN和△DGH中， ∴△DGN≌△DGH (SAS)， ∴GH=GN. ∵ON=FH. ∴GH=GN=OG+ON=OG+FH. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$