精品解析：内蒙古部分学校2025-2026学年高三上学期8月开学教学质量检测数学试卷

2025－2026学年度高三名校教学质量检测 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集的运算求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：A 2. 双曲线的离心率为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程得出，再应用离心率公式结合关系计算求解. 【详解】因为双曲线得出，所以双曲线的离心率． 故选：D. 3. 若复数，则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算结合复数模的概念求解. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：A 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的性质和充分必要条件的定义求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 5. 小张去零件专卖店购买一种正四棱台形状的零件（每个零件的上、下底面的边长分别为、，高为），该零件的密度为，且他共购买了这种零件，则他购买的这种零件的个数为（ ） A. 15 B. 20 C. 30 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】根据正四棱台的体积公式得到一个零件的体积，再根据题意得到一个零件的质量，进而求得购买的这种零件的个数. 【详解】根据正四棱台的体积公式，一个零件的体积为： ， 所以一个零件的质量为， 所以他购买的这种零件的个数为. 故选：B. 6. 某公司的一个部门有6名男员工和4名女员工，从该部门选3人组成一个项目组，要求该项目组男、女员工都有，则不同的选法种数为（ ） A. 84 B. 90 C. 96 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】可用直接法或间接法求解. 【详解】法1：直接法：选取的员工中可以有：1男2女，2男1女两类情况， 所以不同的选法种数为：. 法2：间接法：从10人中任选3人的方法中减去全是男生或全是女生的选法可得所求不同的选法种数为． 故选：C 7. 若锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先切化弦得到，再由倍角公式计算即可得解. 【详解】因为，所以，则， 因为为锐角，所以， 所以. 故选：C 8. 设定义在上的函数满足，则的最小值是（ ） A. 16 B. 25 C. 20 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】应用换元法求解析式，再结合基本不等式计算求解最小值即可. 【详解】对于，以代替，得， 则， 得，则， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值是25． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 数据1，1，2，3，4，5，6，6的第80百分位数是6 C. 若，则 D. 数据1，1，m，3，4，2m的中位数不可能是 【答案】AB 【解析】 【分析】根据二项分布的基本性质，正态分布的基本性质，第百分位数和中位数的概念，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】若，则，A正确． 共有8个数据，所以第80百分位数是第7个数，所以数据1，1，2，3，4，5，6，6的第80百分位数是6，B正确． 由正态分布的性质可知，，关于对称，则，C错误． 当时，数据1，1，m，3，4，2m的中位数是m，D错误． 故选：AB. 10. 已知球（为球心）为正方体的内切球，且球的表面积为，则（ ） A. 线段的长为 B. 直线与球相切 C. 的面积为 D. 直线与底面所成角的正弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正方体内接球的表面积可得，进而可得，可判断A；设线段的中点为，则球与平面切于点，进而可判断B；结合B选项利用三角形面积公式计算可判断C；求出直线与平面所成角的平面角为，计算可得其正弦值，进而可判断D. 【详解】对于A，因为球的表面积为，所以（为球的半径），解得， 因为球的半径为，得，则正方体的边长为2， 则，故A错误； 对于B，设线段的中点为， 则由正方体及其内切球对称性结构特征可知球与平面切于点， 所以直线与球相切，故B正确； 对于C，因为， 所以的面积为，故C正确； 对于D，直线与底面所成的角即直线与底面所成的角，即， 所以直线与底面所成角的正弦值为，故D正确. 故选：BCD 11. 已知抛物线的焦点为F，A，B都是上的动点，为坐标原点，线段的中点为，过作的准线的垂线，垂足为，则（ ） A. 当为的重心时，轴 B. 当时，的最大值为5 C. 当时，的最小值为5 D. 当时，直线AB的倾斜角为或 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，由重心坐标公式可分析得判断A；分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为，利用三角形两边之和大于第三边和中位线定理即可分析判断BC；过点作，垂足为，分析求出即可判断D. 【详解】 设的焦点为， 当为的重心时，由重心坐标公式得，得， 则A，B两点关于轴对称，所以轴，A正确； 分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为， 当时，， 则，所以的最小值为5，所以B错误，C正确； 当且点在第一象限时，设，则， 过点作，垂足为， 则， 则，则，从而直线AB的倾斜角为； 当且点在第一象限时，同理可得直线AB的倾斜角为，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数的最小正周期为，则______，的值域为______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】由函数的周期得，结合正弦函数的值域求的值域即可. 【详解】由题设，所以，则， ，所以的值域为. 故答案为：2； 13. 若直线与曲线相切，则切点的横坐标为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据导函数的几何意义和函数求导的运算法则，求出函数导数，设出切点坐标，根据切线的性质，求出切点的横坐标. 【详解】设切点为，由，得， 则，解得． 故答案为：. 14. 蒽，是一种含三个环的稠环芳烃，化学式为，蒽的三个环的中心在一条直线上，蒽是菲的同分异构体，其分子结构图如图1所示（由三个正六边形组成），将蒽的分子结构图中的14个C原子分别记为，如图2所示，设，则______． 【答案】 【解析】 【分析】建立适当平面直角坐标系，用坐标法求向量的数量积. 【详解】以为坐标原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 则， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列分别是等差、等比数列，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的概念，求出公差和公比，进而写出等差、等比数列通项公式. （2）根据数列分组求和的方法，对新数列进行分组，进而根据等差、等比数列前项和公式，求出新数列的前项和. 【小问1详解】 设的公差为，的公比为， 则，所以； 所以，则，所以. 【小问2详解】 由（1）可知， 则. 16. 如图，在四面体中，平面平面为正三角形，为棱的中点． （1）证明：平面. （2）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1） 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，平面，所以， 因为为正三角形，为棱AB的中点，所以， 又，平面，所以平面 （2）. 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质得平面ABC，再由线面垂直、正三角形的性质有、，最后由线面垂直的判定证明结论； （2）取BC的中点，根据已知证明OA，OB，OF两两垂直，再构建合适的空间直角坐标系，写出相关点坐标，求出平面ACD、平面ABD的法向量，应用空间向量的夹角公式即可求出二面角的余弦值，进而求得正弦值.. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取BC的中点，连接AO，则， 取CD的中点，连接OF，则，而，故， 由（1）平面ABC，即平面ABC，平面ABC，则， 即两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 则，则， 设平面ACD的法向量为，则， 即，取，得． 由（1）知，平面，则可作为平面ABD的一个法向量，因为，所以． 由， 故二面角的正弦值为. 17. 某校为了选拔篮球运动员参加暑期篮球比赛，设置了按照运球、投篮、折返跑的顺序进行的3个项目考核测试，已知甲通过运球、投篮、折返跑考核的概率分别为，乙通过运球、投篮、折返跑考核的概率均为，且每人每个项目是否通过考核相互独立．已知通过运球、投篮、折返跑考核分别得1分、2分、3分，每个项目未通过考核均得0分，这3个项目甲和乙均各做一次测试，参赛选手累计得分超过3分就通过测试． （1）求甲通过测试的概率． （2）若根据通过测试的概率大小，你觉得该校应该从甲、乙这两人中选谁参加暑期篮球比赛？ （3）记为甲在测试结束后的累计得分，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）选乙参加暑期篮球比赛 （3） 0 1 2 3 4 5 6 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率计算公式求解. （2）比较甲、乙通过测试的概率，再进行判断. （3）明确的值，求出对应概率，可得分布列，再根据期望的计算公式求期望. 【小问1详解】 设事件甲通过运球考核，事件甲通过投篮考核，事件甲通过折返跑考核，事件甲通过测试， 则 ． 【小问2详解】 设事件乙通过测试， 则与（1）同理可得， 因为， 所以该校应该选乙参加暑期篮球比赛． 【小问3详解】 由题意可知的可能取值为0，1，2，3，4，5，6， ， ， ， ， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 4 5 6 故． 18. 已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求的方程． （2）过点作直线与圆相切，且直线与交于A，B两点． ①求的取值范围； ②求（用含的式子表示）． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的短轴长和离心率，列出的方程组，求解即得椭圆方程； （2）①依题意设，根据直线与圆相切可得，将直线与椭圆方程联立，利用推得，将代入消元即可求得的取值范围；②由①结论写出韦达定理，利用弦长公式写出弦长，将代入化简即得弦长表达式. 【小问1详解】 由题意可知，解得， 故的方程为． 【小问2详解】 ①依题意可知直线的斜率存在且不为0，可设， 由直线与圆相切，得，整理得． 将代入，可得， 整理得， 则，即． 因，将代入并整理得， 解得，故的取值范围为． ②设，则， 于是 ， 将代入得： ． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性. （2）设恰有两个零点. ①求的取值范围； ②证明：. 【答案】（1） ，在上单调递增； ，在上单调递增，在上单调递减； ，在 上单调递减，在上单调递增； （2）①； ②证明：由题意得，即， 可得， 设，则， 不妨设，由，可得， 要证，只需证， 只需证，即证，即证， 令， 则在上单调递增，所以，即得证， 故. 【解析】 【分析】（1）先求出定义域和导数，再分、和分析导数正负情况即可得解； （2）①先分析在内有两个零点，接着由（1）分析出，再求证时在内有两个零点即可求的取值范围； ②先由零点定义得到，进而得，从而通过，将题设问题转化成证，再构造函数求证即可. 【小问1详解】 的定义域为，， 若，则在上单调递增， 若，则当时，单调递增， 当时，，单调递减， 若，则当时，单调递减， 当时，，单调递增； 综上，，在上单调递增； ，在上单调递增，在上单调递减； ，在 上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 ①当时，恒成立，所以在内有两个零点， 由（1）可知，当时，在上单调递增，不符合题意，所以， 结合（1）中结论，可知在处取得极小值，也是在上的最小值， 令，解得， 当时，，且当时，在和上各有一个零点， 故的取值范围为； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度高三名校教学质量检测 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的离心率为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 3. 若复数，则（ ） A. B. C. 5 D. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 小张去零件专卖店购买一种正四棱台形状的零件（每个零件的上、下底面的边长分别为、，高为），该零件的密度为，且他共购买了这种零件，则他购买的这种零件的个数为（ ） A. 15 B. 20 C. 30 D. 60 6. 某公司的一个部门有6名男员工和4名女员工，从该部门选3人组成一个项目组，要求该项目组男、女员工都有，则不同的选法种数为（ ） A. 84 B. 90 C. 96 D. 100 7. 若锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 设定义在上的函数满足，则的最小值是（ ） A. 16 B. 25 C. 20 D. 36 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 数据1，1，2，3，4，5，6，6的第80百分位数是6 C. 若，则 D. 数据1，1，m，3，4，2m的中位数不可能是 10. 已知球（为球心）为正方体的内切球，且球的表面积为，则（ ） A. 线段的长为 B. 直线与球相切 C. 的面积为 D. 直线与底面所成角的正弦值为 11. 已知抛物线的焦点为F，A，B都是上的动点，为坐标原点，线段的中点为，过作的准线的垂线，垂足为，则（ ） A. 当为的重心时，轴 B. 当时，的最大值为5 C. 当时，的最小值为5 D. 当时，直线AB的倾斜角为或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数的最小正周期为，则______，的值域为______． 13. 若直线与曲线相切，则切点的横坐标为______． 14. 蒽，是一种含三个环的稠环芳烃，化学式为，蒽的三个环的中心在一条直线上，蒽是菲的同分异构体，其分子结构图如图1所示（由三个正六边形组成），将蒽的分子结构图中的14个C原子分别记为，如图2所示，设，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列分别是等差、等比数列，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 如图，在四面体中，平面平面为正三角形，为棱的中点． （1）证明：平面. （2）若，求二面角的正弦值． 17. 某校为了选拔篮球运动员参加暑期篮球比赛，设置了按照运球、投篮、折返跑的顺序进行的3个项目考核测试，已知甲通过运球、投篮、折返跑考核的概率分别为，乙通过运球、投篮、折返跑考核的概率均为，且每人每个项目是否通过考核相互独立．已知通过运球、投篮、折返跑考核分别得1分、2分、3分，每个项目未通过考核均得0分，这3个项目甲和乙均各做一次测试，参赛选手累计得分超过3分就通过测试． （1）求甲通过测试的概率． （2）若根据通过测试的概率大小，你觉得该校应该从甲、乙这两人中选谁参加暑期篮球比赛？ （3）记为甲在测试结束后的累计得分，求的分布列与数学期望． 18. 已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求的方程． （2）过点作直线与圆相切，且直线与交于A，B两点． ①求的取值范围； ②求（用含的式子表示）． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性. （2）设恰有两个零点. ①求的取值范围； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $