第三章 勾股定理 提升卷 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级上册单元分层测

第三章《勾股定理》提升卷—2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七（上）单元分层测 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分. 1．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（　　） A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12 D．8、15、17 2．一个直角三角形，若三边的平方和为200，则斜边长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 3．已知ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A-∠B＝∠C B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 C．（b＋c）（b-c）＝a2 D．a＝7，b＝24，c＝25 4．如图，在△ABC 中，AB=AC=4，P 是 BC 上异于B，C的一点，则 的值是(　　). A．16 B．20 C．25 D．30 5．如图，若Rt△ABC 两直角边上的中线分别为AE 和BD，则. 与AB2 的比值为(　　). A． B．1 C． D． 6．如图，点E 在△DBC 的边DB 上，点A 在△DBC 的内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC.给出下列结论： ①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④. 其中正确的是(　　). A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 7．下列叙述中，正确的是 A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 C． 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若 ，则∠A=90º D． 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90º，则 8．如图，由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形图案是某届国际数学大会的会标，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么 的值为（　　） A．256 B．169 C．29 D．48 9．《九章算术》是我国古代数学代表作．书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思），一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，推开双门，双门间隙的距离为2寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺寸），图2为图1放大后的平面示意图，则的长为（　　） A．寸 B．寸 C．99寸 D．101寸 10．如图，两个正方形的泳池，底面积分别是和，且，点是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为(　　) A． B． C． D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.只要求填出最后结果. 11．一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为　 　. 12．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD＝3，BC＝5，则AB2+CD2＝　 　． 13．如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为　 　． 14．已知三角形三条边长度为，，，其中，则这个三角形面积为　 　化简结果 15．如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是　 　． 16．勾股定理 本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解 常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组： ， ， ，…，分析上面勾股数组可以发现， ， ， ，…分析上面规律，第6个勾股数组为　 　． 三、解答题：本大题共8小题，共72分. 17．已知：如图，等腰三角形ABC的底边BC=13cm，D是腰AB上一点，且CD=12cm，BD=5cm. （1）求证：△BDC是直角三角形. （2）求△ABC的周长. 18． (3，4，5)是一组最简单的勾股数，由此提出下列问题： （1）三边长为连续整数的直角三角形有多少个? （2）三边长为连续整数的钝角三角形存在吗?如果存在，有多少个? （3）三边长为连续整数的锐角三角形存在吗?如果存在，有多少个? 19．如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点B在直线CD上，分别过点A、E作AC⊥直线CD于点C，ED⊥直线CD于点D． （1）求证：CD＝AC + ED． （2）若设△ABC三边长分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理． 20．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算． （1）我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想： 已知：如图，在和中，，（点B，C，D在一条直线上），，，． 证明：； （2）请利用“数形结合”思想，画图推算出的结果． 21．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； （2）求原来的路线的长． 22．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何。大意是：如图，现有一个正方形底面的水池，其底面的边长AB＝1丈（1丈等于10尺），芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD＝1尺。将芦苇往岸边引，恰好与岸边相接，即OC＝OE。 （1）求水池的深度OD； （2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法。他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池底面边长AB＝2a，芦苇高出水面的部分CD＝n（n＜a），则水池的深度OD（OD＝b）可以通过公式计算得到。请证明刘徽解法的正确性。 23．【问题】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB.试判断BC和AC，AD之间的数量关系. 【探究】如图②，在BC上截取(连结DA'，得到一对全等的三角形，从而问题得以解决. 请回答下列问题： （1）在图②中，小明得到哪对全等三角形? （2）如图②，BC和AC，AD之间的数量关系是　 　. （3）如图③，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9.求AB的长. 24．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： （1）如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考： 由已知和作图能得到，依据是________．由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）【初步运用】如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． （3）【灵活运用】如图③，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接．试猜想线段、、三者之间的等量关系，并证明你的结论． 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】C 9．【答案】D 10．【答案】A 11．【答案】 12．【答案】34 13．【答案】139 14．【答案】 15．【答案】76 16．【答案】13，84，85 17．【答案】（1）证明：∵BC=13cm，CD=12cm，BD=5cm， ∴BC2=BD2+CD2， ∴△BDC为直角三角形. （2）解： 设AB=x， ∵△ABC是等腰三角形， ∴AB=AC=x， ∵△BDC为直角三角形， ∴△ADC也为直角三角形， ∴AD2+CD2=AC2， ∴x2=（x-5）2+122， 解得： ∴△ABC的周长 18．【答案】（1）解：设直角三角形的三边分别为x-1，x，x+1， 则：（x-1）2+x2=（x+1）2， 解得：x1=4，x2=0（舍去） ∴三边长为连续整数的直角三角形是存在的，并且只有一个； （2）解：设钝角三角形的三边分别为x-1，x，x+1， 则：（x-1）2+x2＜（x+1）2，且x-1＞0， 解得1＜x＜4， 当x=2时，1，2，3不能组成三角形， ∴三边长为连续整数的钝角三角形也只有一个，它的三边长为2，3，4； （3）解：设锐角三角形的三边分别为x-1，x，x+1， 则：（x-1）2+x2＞（x+1）2，且x-1＞0， 解得：x＞4， ∴三边长为连续整数的锐角三角形有无数个. 19．【答案】（1）证明：是等腰直角三角板， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ． （2）证明：， ， ， 又 ， ， ，即勾股定理得证． 20．【答案】（1）证明：如图所示： ∵，∴， 又， ∴， ∴，， ∴梯形的面积， 梯形的面积， ∴， 化简可得：； （2）解：如图所示： 大正方形的面积； 大正方形的面积， ∴． 21．【答案】（1）解：是， 理由是：在中， ∵ ∴ ∴， ∴是从村庄C到河边的最近路. （2）解：设，则，， 由勾股定理得： ∴ 解得： 答：原来的路线的长为2.5千米． 22．【答案】（1）解：设芦苇的长度x尺， 则图中OC＝OE＝x，则OD＝x﹣1，DE＝5， 在Rt△ODE中，∠ODE＝90°， 由勾股定理得 DE2+OD2＝OE2． ∴52+（x﹣1）2＝x2， 解得 x＝13， ∴OD＝13﹣1＝12 ∴水池的深度为12尺； （2）解：图中OD＝b，CD＝n，AB＝2a，则OC＝OE＝b+n，DE＝a， ∴a2+b2＝（b+n）2， ∴a2+b2＝b2+2nb+n2 ∴2nb＝a2-n2 ∴b＝． 23．【答案】（1）△ADC≌△A'DC （2）BC=AC+AD （3）解：如图，在AB上截取AE=AD，连结CE． 由∠DAC=∠EAC，AE=AD，AC=AC，得△ADC≌△AEC（SAS）， ∴AE=AD=9，CE=CD=10=BC． 过点C作CF⊥AB于点F，则EF=BF，设EF=BF=x． 在Rt△CFB中，在Rt△CFA中， 解得x=6．∴AB=AE+BE=9+12=21． 24．【答案】解：（1）SAS；； （2）延长到M，使，连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． （3）等量关系为：． 理由如下：延长到点G，使，连接，，如图所示： ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴中，由勾股定理得：， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$