第三章 勾股定理 章检测 2026—2027学年鲁教版（五四制）七年级数学上册

2026—2027学年第一学期七年级数学第三章勾股定理章检测（鲁教版） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C C C A C C A 1．A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设长方形田的宽为x步，则其对角线的长为步，根据勾股定理可得，解方程求出宽，再根据长方形面积公式求出面积即可得到答案． 【详解】解：设长方形田的宽为x步，则其对角线的长为步， 由勾股定理可得， 解得， ∴长方形田的宽为16步， ∴长方形田的面积为亩， 故选：A． 2．B 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，根据勾股数的定义：满足 的三个正整数称为勾股数，分别对每一项进行分析即可． 【详解】解：A、，是勾股数，不符合题意； B、有两个数不是整数，不是勾股数，符合题意； C、，是勾股数，不符合题意； D、，是勾股数，不符合题意． 故选：B． 3．C 【分析】勾股数的定义为：满足的三个正整数称为勾股数，据此对各选项依次验证即可． 【详解】解：选项A：，，，则A不是勾股数； 选项B：，，，则B不是勾股数； 选项C：，，三个数均为正整数，满足，则C是勾股数； 选项D：，，，则D不是勾股数． 4．C 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理及网格求出各线段的长．先结合网格特征，运用勾股定理列式计算出每条线段，再进行比较，即可作答． 【详解】解：依题意，，，， ， ∵， ∴线段的长度最长， 故选：C． 5．C 【详解】解：∵如图，在中，，，，分别是，，的对边，且， ∴． 6．C 【分析】本题注意考查勾股定理与折叠问题．设边的长为，首先根据长方形的性质得出，，，进而求出的长度，然后根据折叠的性质得出，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设边的长为， ∵四边形是长方形， ∴，，． ， ． 由折叠的性质可知，， ． 在中， ∵， ， 解得， ∴边的长为， 故选：C． 7．A 【分析】本题主要考查了弧与圆周角之间的关系，圆周角定理，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，连接，利用勾股定理的逆定理证明，则由圆周角定理得到，再由点A、B、C是三等分点，得到，即可利用三角形内角和定理求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵半径长， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵点A、B、C是三等分点， ∴， ∴， 故选：A．    8．C 【分析】延长交于，如图1，可证可得，再证可得，可证，可得是以为直径的圆上一点，取中点，连接，，根据三角形的三边关系可得不等式，可解得长度的最小值．本题考查圆周角定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是证点是以为直径的圆上一点． 【详解】解：延长交于，如图1 ∵四边形是正方形， ，，， ，，， ， 且，， ， 且， 且，， ， ， ， ，即， 点是以为直径的圆上一点． 如图2，取中点，连接，， ，是中点， ， 在中，， ， ， 的最小值为． 故选：C． 9．C 【分析】将台阶表面展开为长方形，利用勾股定理计算对角线长度即可． 【详解】将台阶面展开得到一个长方形， ∵ 每一级的长、宽、高分别为、、，且共有三级， ∴ 展开后长方形的长为，宽为， 根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路程为：． 10．A 【分析】本题考查勾股定理，根据图形列出面积的等量关系是解题的关键．设四边形的面积为，的面积为，由，列出等式即可求解． 【详解】解：设四边形的面积为，的面积为， ，以，，为边作正方形，正方形，正方形， 根据勾股定理得：， ， ． 故选：． 2、 填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11． 【分析】本题考查的是勾股定理，解答本题的关键要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方．直接根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设正方形，，的边长分别为，，， 正方形的面积为，正方形的面积为， ，， 根据勾股定理可得， 正方形的面积． 故答案为：． 12．1 【分析】此题考查勾股定理．根据勾股定理求得，进而求得的值，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵、、和是四个全等的直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：1． 13． 【分析】此题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出，再利用即可求出答案． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵， ∴ 故答案为： 14． 【分析】本题考查了勾股定理，面积法的应用，先根据勾股定理求出斜边的长，再根据面积法求斜边上的高即可． 【详解】解：设斜边上的高为h， ∵两直角边长为3和4， ∴斜边长为， ∵直角三角形面积， ∴， 解得， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查勾股定理、正方形的面积，完全平方公式变形求值；根据三角形的面积为和长边与短边的和为，列方程组，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：设较长直角边为，较短直角边为， 则， 阴影部分的面积为． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16．(1)， (2) 【分析】本题考查的是完全平方公式与几何图形面积，掌握完全平方公式的变形是解本题的关键； （1）先求解小正方形的边长可得其面积，再利用勾股定理表示大的正方形的面积即可； （2）由完全平方公式先求解，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：小正方形的面积为，大正方形的面积为， ，． （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 17． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：由题意可知，， ∴， 答：A，B两点间的距离是． 18．(1) (2)， 过B点作，交公路Y于M，交于N， ， ， 由（1）可知，，（已知）， ， 设，则， 在中，， 在中，， 又， ， 解得，则， ． ， ． 【分析】（1）由勾股定理和轴对称的性质，利用数形结合求出； （2）利用勾股定理列方程的方法求出，即可比较比较，的大小． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，    ，    点B关于直线X的对称点是， ，，     过点作于点G，则有，， ，      ， ， （2）略 19．这根芦苇的长度为尺，水深为尺． 【分析】设水深为尺，则芦苇的长度为尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇的长度为尺， ∵水面是一个边长为尺的正方形，芦苇在水池正中央， ∴尺， 在中，, ∴， 解得：， ∴（尺）． 答：这根芦苇的长度为尺，水深为尺． 20．(1) 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形： ∵四边形是矩形， ∴， 即， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由，得四边形是平行四边形：再由四边形是矩形，则得四边形是菱形； （2）由矩形的性质得；利用菱形的性质及勾股定理求得的长，从而求得菱形的两条对角线长，即可求得菱形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴； ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， 即， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，含30度角直角三角形的性质及勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 21．(1) 证明：如图1中， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ； (2) 【分析】（1）证明，可得结论； （2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可，根据，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图2中，连接，   ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， 是直角三角形， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 22．(1)， (2) 【分析】（1）根据图形得出方形的边长为，正方形的边长为，再根据正方形面积公式，即可求解； （2）由图可得，，，则，将代入，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知：正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的面积是，正方形的面积是， 故答案为：，； （2）解：由图可知： ， ， ， ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了“赵爽弦图”和完全平方公式，解题的关键是仔细观察图形，根据图形得出数量关系． 23．(1) 证明：∵正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）先证明，求得，又证明是等腰直角三角形，求得，再证明，推出，由等腰直角三角形的性质求得，据此即可证明结论成立； （2）过点E作，设．利用（1）的结论求得，在中，利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：过点E作， 则， ∴； 设． ∵， ∴， ∴， 在中，，即， 解得，负值已舍去． 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵正方形， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，二次根式的混合运算．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期七年级数学第三章勾股定理章检测 （鲁教版） 满分120分 考试用时120分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．《算法统宗》记载“昨日丈量田地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘？”译文：“昨天量了田地回到家里，记得长方形田的长为30步，宽及其对角线之和为50步，不知该田有几亩？”请运用所学知识求解这块地有（   ）亩（1亩平方步） A．2 B．3 C．4 D．5 2．下面四组数中不是勾股数的一组是（   ） A．6，10，8 B．1.5，2，2.5 C．10，24，26 D．9，40，41 3．下列各组数是勾股数的是（    ） A．3，4，6 B．6，9，10 C．5，13，12 D．10，8，7 4．如图，在的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（   ）    A． B． C． D． 5．在中，，a，b，c分别是，，的对边，若，则的值为（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 6．如图，将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，半径长，点A、B、C是三等分点，D为圆上一点，连接，且，交于点E，则（　　）    A． B． C． D． 8．如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 9．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 10．如图，在直角三角形中，，以，，为边作正方形，正方形，正方形．设的面积为，的面积为，的面积为，四边形CHET的面积为，四边形的面积为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，若正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的面积为______． 12．如图是“赵爽弦图”，其中、、和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，，那么等于__________． 13．若中，，，，是高线，那么高线_________． 14．直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边上的高为________． 15．由四个全等的直角三角形组成如图所示的“赵爽弦图”，若每个直角三角形的面积为4，两直角边的和为6，则图中阴影部分的面积为____________．      三、解答题（本题共8小题，共75分） 16．（9分）如图，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的，若直角三角形的两条直角边长为，（），设小正方形的面积为，大正方形面积为． (1)用含有，的代数式分别表示：______，______；（结果化简） (2)若，，求的长． 17．（9分）如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得，．求A，B两点间的距离． 18．（9分）南海区有很多旅游资源，如很有代表性的南海影视城（A）和贤鲁岛（B），它们位于笔直的沈海高速公路X同侧，，A、B到直线X的距离分别为和． (1)方案一：旅游开发公司计划在高速公路X旁修建一服务区C，并从服务区C向A、B两景区修建笔直公路运送游客．公司选择较节省的方案（如图1：点B关于直线X的对称点是，连接交直线X于点C），C到A、B的距离之和，求． (2)方案二：在A，B两景区之间有一条与高速公路X垂直的省级公路Y，且A到省级公路Y的距离（如图2），旅游开发公司打算在省级公路Y旁修建一服务区P，并从服务区P向A、B两景区修建笔直公路运送游客．由于地形条件的限制，P只能选择图2的位置，通过测量得，P到A、B的距离之和．请你通过计算比较，的大小．（参考数据：） 19．（9分）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度与水的深度分别是多少？ 20．（9分）如图，矩形的对角线、交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接、、． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，则菱形的面积为________． 21．（9分）如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．    (1)求证： (2)若．求四边形的面积． 22．（9分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”（如左图所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图是由8个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为a，b，请回答以下问题： (1)如右图，正方形的面积是_______，正方形的面积是_______；（用含a，b的式子表示）； (2)记正方形的面积、正方形、正方形的面积分别为，若，的面积为3，求的值． 23．（12分）如图，点H是正方形对角线延长线上一点，，，射线交于点G，交延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $