5.3一元一次方程的应用 教学设计 -2025-2026学年北师大版数学七年级上册

一元一次方程的应用 教材分析： （1）本节课的主要教学内容是利用一元一次方程解决等积问题和等长问题。 （2）本节课主要介绍了如何分析图形问题中的数量关系、如何通过表格找出等量关系以及根据等量关系列出方程等知识点。 （3）通过学习本节课，学生能够掌握解决实际问题的数学方法，提高模型意识、逻辑推理能力和运算能力。此外，学生还能体会到数学在日常生活中的应用，培养对数学的兴趣和应用数学解决实际问题的能力。 教学目标： （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过分析 “等积问题” 和 “等长问题” 中的图形变化，学生能够识别并理解现实世界中的数量关系，培养数学观察能力。 （2）会用数学的思维思考现实世界：学生能够通过表格和等量关系，逻辑推理并建立一元一次方程，解决实际问题，提升数学思维能力。 （3）会用数学的语言表达现实世界：学生能够准确运用数学语言描述和表达 “等积问题” 和 “等长问题” 中的等量关系，并通过方程模型进行问题解决，增强数学表达能力。 教学重点： （1）通过观察物体形状变化中的不变量，引导学生理解并掌握寻找等量关系的方法，培养学生的模型意识和逻辑推理能力。 （2）结合真实情境，让学生运用一元一次方程解决 “等积问题” 和 “等长问题”，提升学生的数学应用能力和问题解决能力。 教学难点： （1）理解和应用一元一次方程解决 “等积问题” 和 “等长问题”，抓住图形变形过程中的不变量以寻找等量关系。 （2）熟记并灵活运用基本图形的体积、周长、面积公式，结合真实情境进行问题分析。 教学资源准备： （1）多媒体投影仪和电脑，用于展示图形问题和等量关系的表格，以及播放相关的动画或视频来加深学生对等积问题和等长问题的理解。 （2）实物展示台，用于演示情境 2 中的矿泉水瓶实验，直观展示体积守恒的概念。 （3）橡皮泥和量杯套装，供学生在情境 3 中亲手操作，感受物体形状变化时体积的不变性。 教学过程： 一、创设情境 情境导入，激发兴趣 情境 1：成语 “朝三暮四” 的故事 教师讲述 “朝三暮四” 的故事（附内容: 从前有个人养了一群猴子。每天他都拿足够的栗子给猴子吃，猴子高兴他也快乐。有一天他发现如果再这样喂猴子的话，等不到下一个栗子的收获季节，他和猴子都会饿死，于是他想了一个办法，并且把这个办法说给猴子听，当猴子听到只能早上吃四个，晚上吃三个栗子的时候很是生气，呲牙咧嘴的。没办法他只好说早上三个，晚上四个，没想到猴子一听高兴得直打筋斗。） 问题 1: 猴子为什么高兴了？这其中有什么数学奥秘吗？ （学生思考后回答：猴子高兴是因为总数没有变，只是分配的时间不同。这说明在某些情况下，总的数量是不变的，只是形式变了。） 教师总结：这个故事告诉我们，在一些问题中，总量是不变的，只是分配方式不同。 情境 2：两瓶矿泉水 教师从讲台下拿出两瓶矿泉水（容量一样，A 矮而宽，B 高而窄）。 问题 2: 请问大家会认为哪瓶矿泉水多？为什么？ （学生讨论并猜测：有些学生可能会认为 A 瓶水多，因为看起来更满；有些学生可能会认为 B 瓶水多，因为看起来更高。） 教师演示：用两个相同的量杯，让学生把两瓶矿泉水分别倒进两个量杯中，结果两瓶一样多。 （教师引导学生思考：在这个过程中，矿泉水的总量没有变，只是形状变了。） 情境 3：橡皮泥圆柱体 教师先用一块橡皮泥捏出一个 “瘦长” 的圆柱体，然后再让这个 “瘦长” 的圆柱 “变矮”，变成一个又矮又胖的圆柱。 问题 3: 在你操作的过程中，圆柱由 “高” 变 “矮”，圆柱的底面直径变了没有？圆柱的高呢？ （学生观察并回答：圆柱的底面直径变了，圆柱的高也变了。） 问题 4: 在这个变化过程中，是否有不变的量？是什么没变？ （学生思考并回答：圆柱的体积没有变，只是形状变了。） 二、探究归纳 运用情境，解决问题 引入新课 教师引导学生回顾上述情境中的共同点：变化过程中总有一些不变的量。 教师提出问题：这些不变的量在解决实际问题时有什么作用？ （学生思考并回答：这些不变的量可以帮助我们找到等量关系，从而列出方程解决问题。） 引例：旧包装与新包装 学生自主完成 P147 引例，总结列方程的方法。 问题 5: 如果旧包装是一个圆柱，新包装是一个长方体，如何表示它们的体积关系？ 等量关系：旧包装的容积 = 新包装的容积 （学生根据题目信息，列出方程并求解。） （教师补充：例如，如果旧包装的圆柱体积为 V，那么新包装的长方体体积也为 V。假设圆柱的半径为 r，高为 h，长方体的长为 l，宽为 w，高为 H，则有 πr²h = lwh。通过这个等量关系，我们可以列出方程并求解。） 操作实践，发现规律 活动内容 2：学生用预先准备好的 40 厘米长的铁丝，以小组做出不同形状的长方形，通过测量边长，近似求出长方形的面积，比较小组内同学的计算结果。 问题 6: 你们发现了什么？ （学生操作并讨论：发现虽然长方形的形状不同，但总面积是一定的。） （教师引导：同学们，通过这个实验，你们可以看到，无论长方形的形状如何变化，只要周长保持不变，其面积就会有一个固定的范围。这是因为长方形的面积公式是长乘以宽，而周长固定的情况下，长和宽的变化会影响面积。） 练一练，体验数学模型 活动内容 3：课本例题 例：用一根长为 10 米的铁丝围成一个长方形。 (1) 若该长方形的长比宽多 1.4 米。此时长方形的长和宽各为多少米？ （学生开始解答：设长方形的宽为 x 米，则长为 (x+1.4) 米。根据周长公式 2 (x + x + 1.4) = 10，解得 x。） (2) 若该长方形的长比宽多 0.8 米，此时长方形的长和宽各为多少米？它所围成的长方形与 (1) 中所围长方形相比，面积有什么变化？ （学生继续解答：设长方形的宽为 y 米，则长为 (y+0.8) 米。根据周长公式 2 (y + y + 0.8) = 10，解得 y。然后计算面积并与 (1) 中的面积比较。） (3) 若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与 (2) 中相比，又有什么变化？ （学生继续解答：设正方形的边长为 a 米。根据周长公式 4a = 10，解得 a。然后计算面积并与 (2) 中的面积比较。） (4) 如果把这根长为 10 米的铁丝围成一个圆，这个圆的半径是多少？面积是多少？ （学生继续解答：圆的周长公式为 2πr = 10，解得 r。然后计算面积。） 请思考：解此例题的关键是什么？通过此题你有哪些收获和体验？你能试着设计表格解决这个问题吗？ （学生分组讨论并解答，教师巡视指导。学生完成后，教师选取几组展示答案，并进行点评。） （教师小结：通过这个例题，我们学会了如何利用周长和面积的关系来解决问题。关键是找到等量关系，列出方程并求解。同时，我们也体会到形状变化对面积的影响。） 三、交流反思 师生互动，总结归纳 教师引导学生总结： (1) 通过对本节知识的了解，我们知道 “锻压前体积 = 锻压后体积”,“变形前周长等于变形后周长” 是解决此类问题的关键，其中也蕴涵了许多变与不变的辩证思想。 (2) 遇到较为复杂的实际问题时，我们可以借助表格分析问题中的等量关系, 借此列出方程，并进行方程解的检验。 (3) 学习中要善于将复杂问题简单化、生活化，再由实际背景抽象出数学模型，从而解决实际问题。 学生反思 问题 7: 通过今天的课堂学习，你有哪些收获和体会？ （学生分享自己的学习体会，教师适时点评。） 四、检测反馈 练习题 墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如下图实线所示，小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图虚线所示。小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？ （学生开始解答：设梯形的上下底分别为 a 和 b，高为 h。根据梯形周长公式，彩绳的长度为 2 (a+b)+2h。设长方形的长为 x，宽为 y，则有 2 (x+y)=2 (a+b)+2h。解得 x 和 y。） 已知长方形的周长是 36 cm, 长比宽的 2 倍多 3 cm, 求长方形的长与宽各是多少？ （学生继续解答：设长方形的宽为 z cm，则长为 (2z+3) cm。根据周长公式 2 (z + 2z + 3) = 36，解得 z。然后计算长。） 学生练习 学生独立完成练习题，教师巡视指导，发现问题及时纠正。 完成后，学生之间互相检查，教师挑选几位学生展示答案，并进行点评。 五、布置作业 习题作业 习题 5.3 T1、T4。 思考：地面上钉着用一根彩绳围成的直角三角形，将其变形为一个矩形，求矩形的长和宽。 课后作业： （1）请学生利用家中的物品，自行设计一个关于 “等积问题” 的实际情况，列出一元一次方程并求解，记录下设计的过程和结果。 （2）根据课堂上学到的知识，选择一个 “等长问题” 的实际案例，例如测量家中某物体的周长，然后利用这一数据设计一个长方形或正方形的作业题，求解其面积，并写出解题过程。 学科网（北京）股份有限公司 $$