精品解析：安徽省临泉第二中学2025-2026学年高三上学期开学摸底检测数学试题

高三开学摸底检测 数学 分值：150分 时间：120分钟 考查范围：全体高中部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数除法运算结合复数模长公式计算即可求解. 【详解】由题得， 所以. 故选：C 2. 如果将一组数据5、4、6、5、4、13、5依次重复写10次，会得到70个数组成的一组新数据，关于这组新数据的中位数、众数、平均数，下列说法正确的是（　　） A. 中位数和众数都是5 B. 众数是10 C. 中位数是4 D. 中位数、平均数都是5 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数，众数，中位数的定义和性质即可求解. 【详解】将这组数据从小到大的顺序排列为4，4，5，5，5，6，13，处于中间位置的那个数是5， 每个数字重复写10次，5依然处于中间位置，由中位数的定义可知，这组新数据的中位数是5， 这组新数据中出现次数最多的数是5，出现了30次，所以众数为5，故A正确，BC错误． 平均数，故D错误． 故选：A 3. 若，恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，分，，，讨论求解. 【详解】解：当时，原不等式化为，不恒成立，不符合题意； 当时，由对应二次函数的性质可知，要使恒成立， 只需满足解得； 当时，由对应二次函数的图象及性质可知，不符合题意． 综上可得，a的取值范围是． 故选：C 4. 已知等差数列的前8项和为48；，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出首项和公差即可. 【详解】依题意，即， 假设等差数列的首项为，公差为， 则，解得, 故选：B. 5. 函数的相邻两个零点之间的距离为（ ） A. B. 6 C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】函数的相邻两个零点之间的距离即为最小正周期，求解即可. 【详解】由正切函数的图象可知， 函数的相邻两个零点之间的距离即为最小正周期， 又最小正周期为， 所以函数的相邻两个零点之间的距离为. 故选：B. 6. 设椭圆的左、右焦点分别为，点M，N在椭圆C上（点M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，利用勾股定理求出，再解方程即得解. 【详解】依题意作下图，由于，并且线段MN，互相平分， ∴四边形是矩形，其中，， 设，则， 根据勾股定理，，， 整理得， 由于点M在第一象限，， 由，得，即， 整理得，即，解得或舍去. 故选：B． 7. “欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.与黄鹤楼、岳阳楼、滕王阁齐名，是中国古代四大名楼之一、下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进80米到达点，此时看点的仰角为，若，则楼高约为（ ）（，结果保留2位小数） A. 80.56米 B. 81.46米 C. 84.32米 D. 86.56米 【答案】B 【解析】 【分析】设，分别在与中利用正弦定理，列方程，解方程即可. 【详解】由已知设，则，， 在中，由正弦定理得， 即， 又在中，由正弦定理得， 即， 则， 则， 故选：B. 8. 函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目条件可构造函数，利用导函数判断出函数单调性，将不等式转化成，即在上恒成立，求出函数在上的最大值即可得的取值范围. 【详解】设，， 所以函数在上为增函数． 由的定义域为可知，得， 将不等式整理得，即， 可得在上恒成立，即在上恒成立； 令，其中，所以 ，令，得． 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 所以，即 故选：B． 二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 在其定义域上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题考查已知函数类型求解析式以及幂函数的性质，先设出幂函数解析式，代入已知点的坐标，求出解析式，再根据解析式逐项判断. 【详解】设，由的图象经过点，得，解得，所以. 选项A，的定义域为，不关于原点对称，所以不具有奇偶性，A错误； 选项B，根据偶次方要的被开方数非负得的定义域为，B正确； 选项C，由在上是增函数，所以函数的值域为，C正确； 选项D，由在上是增函数，D正确. 故选：BCD. 10. 已知圆台的上底半径为，下底半径为，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则（ ） A. 圆台的母线长为 B. 圆台的高为 C. 圆台的表面积为 D. 球O的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出圆台的轴截面，设圆台上、下底面圆心分别为，半径分别为，球的半径为，连接，利用平面几何知识得到，即可根据公式逐项计算求解． 【详解】设梯形为圆台的轴截面，则内切圆为圆台内切球的大圆，如图， 设圆台上、下底面圆心分别为，半径分别为， 球的半径为，则共线，且， 连接，则分别平分，且 故， ，由， 故，即， 即，解得， 母线长为，故A正确； 圆台的高为，故B错误； 圆台的表面积为，故C正确， 球O的表面积为，D正确； 故选：ACD． 11. 对于直线，下列选项正确的是（ ） A 直线l恒过点 B. 当时，直线l在y轴上的截距为3 C. 若直线l不经过第二象限，则 D. 坐标原点到直线l的距离的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】将方程变形为，即可列方程求解定点判断A，令，即可求解截距判断B，取，即可判断C，根据垂直即可求解最大距离判断D. 【详解】已知直线，则， 由，得， 所以直线恒过点，故A正确； 当时，直线,令，，故在轴上的截距为，B错误， 当时，直线的方程为，直线不经过第二象限，故C不正确； 因为直线过定点， 所以坐标原点到直线的距离的最大值为，故D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可； 【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上， 所以所在直线即直线，所以直线为，即； 圆，圆心，半径， 依题意圆心到直线的距离， 即，解得，即； 故答案为： 13. 从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为_________. 【答案】96 【解析】 【分析】根据题意，分2种情况讨论选出参加竞赛的4人，①选出的4人没有甲；②选出的4人有甲；分别求出每一种情况下分选法数目，由分类计数原理计算可得答案 【详解】根据题意，从5名学生中选出4人分别参加竞赛，分2种情况讨论： ①选出的4人没有甲，即选出其他4人即可，有种情况； ②选出的4人有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，在剩余4人中任选3人，参加剩下的三科竞赛，有，则此时共有种选法； 综上，总共有种不同的参赛方案； 答案选D 【点睛】本题考查分类计数原理，属于基础题 14. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15. 已知函数（且）. （1）若在区间上的最大值与最小值之差为1，求的值； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）或 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由对数函数的单调性得到，求解即可； （2）讨论，，结合函数单调性构造不等式求解即可. 【小问1详解】 因为在上为单调函数，且在上的最大值与最小值之差为1， 所以， 解得或. 【小问2详解】 当时，是上的减函数， 所以，即， 故原不等式的解集为； 当时，是上的增函数， 所以，即， 故原不等式解集为. 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 16. 已知函数，． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在区间上最小值和最大值，并求出取得最值时的值； （3）求不等式的解集． 【答案】（1）；单调递减区间是， （2），；， （3） 【解析】 【分析】（1）由的性质求周期，结合余弦函数单调性得减区间； （2）求出的范围，再结合余弦函数的性质得最值； （3）由余弦函数的性质解不等式． 【小问1详解】 的最小正周期， 当，即，时，单调递减， ∴的单调递减区间是，. 【小问2详解】 ∵，则， 故， ∴，此时，即， ，此时，即． 【小问3详解】 ，即， 所以或，， 即或，， 所以不等式的解集为． 17. 已知为坐标原点，，，. （1）若三点共线，求实数的值； （2）若点满足，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先表示出，，依题意，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； （2）首先表示出的坐标，再根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为，，， 所以，， 又三点共线，所以， 所以，解得 小问2详解】 因为，， 所以，， 所以， 所以 ， 所以当时. 18. 已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设公差为d，根据等差数列的前n项和公式与等比中项公式列出关于和d的方程，求解即可得的通项公式； （2）由（1）可得等比数列的第三项，进而得，从而得到的通项公式，利用等差和等比数列前n项和公式分组求和即可求出. 【小问1详解】 因为为等差数列，设公差为d， 由，得，即， 由，，成等比数列得，， 化简得，因为，所以． 所以． 综上． 【小问2详解】 由知，， 又为公比是3的等比数列，， 所以，即， 所以，， 所以 . 综上. 19. 已知曲线上任意一点满足，且. （1）求的方程； （2）设，若过的直线与交于两点，且直线与交于点.证明：点在定直线上. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的定义进行求解； （2）设出经过的直线方程，且，利用的坐标表示出的横坐标，然后结合韦达定理求解. 【小问1详解】 由于，符合双曲线的定义， 于是，即， 故，注意到，且焦点在轴上， 故曲线的方程为 【小问2详解】 若过的直线与交于两点，则斜率不会是，否则和右支只有一个交点， 设该直线为，和双曲线联立可得， 则，故， 设，则方程可写作：，的方程可写作：， 联立的方程可得，，整理可得，， 则， 利用在直线上， 于是， 于是，故， 即，故交点一定落在上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三开学摸底检测 数学 分值：150分 时间：120分钟 考查范围：全体高中部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 如果将一组数据5、4、6、5、4、13、5依次重复写10次，会得到70个数组成的一组新数据，关于这组新数据的中位数、众数、平均数，下列说法正确的是（　　） A. 中位数和众数都是5 B. 众数是10 C. 中位数4 D. 中位数、平均数都是5 3. 若，恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A B. C. D. 或 4. 已知等差数列的前8项和为48；，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 5. 函数的相邻两个零点之间的距离为（ ） A. B. 6 C. D. 12 6. 设椭圆的左、右焦点分别为，点M，N在椭圆C上（点M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. “欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.与黄鹤楼、岳阳楼、滕王阁齐名，是中国古代四大名楼之一、下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进80米到达点，此时看点的仰角为，若，则楼高约为（ ）（，结果保留2位小数） A. 80.56米 B. 81.46米 C. 84.32米 D. 86.56米 8. 函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 在其定义域上单调递增 10. 已知圆台的上底半径为，下底半径为，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则（ ） A. 圆台的母线长为 B. 圆台的高为 C. 圆台的表面积为 D. 球O的表面积为 11. 对于直线，下列选项正确的是（ ） A. 直线l恒过点 B. 当时，直线l在y轴上的截距为3 C. 若直线l不经过第二象限，则 D. 坐标原点到直线l的距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________． 13. 从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为_________. 14. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15. 已知函数（且）. （1）若在区间上的最大值与最小值之差为1，求的值； （2）解关于的不等式. 16. 已知函数，． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； （3）求不等式的解集． 17. 已知为坐标原点，，，. （1）若三点共线，求实数的值； （2）若点满足，求最小值. 18. 已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列． （1）求通项公式； （2）若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和． 19. 已知曲线上任意一点满足，且. （1）求的方程； （2）设，若过直线与交于两点，且直线与交于点.证明：点在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $