第二十三章旋转课后提升训练 2025—2026学年人教版九年级数学上册

第二十三章旋转课后提升训练人教版2025—2026学年九年级上册 一、选择题 1．纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．B． C．D． 2．如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，若将△ABD经过旋转到△ACP的位置，则旋转角的度数为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 3．如图，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（　　） A．72° B．108° C．144° D．216° 4．四边形ABCD各顶点坐标分别为A（5，0），B（﹣2，3），C（﹣1，0），D（﹣1，﹣5），它们关于原点对称的点A1，B1，C1，D1的坐标正确的是（　　） A．A1（0，5） B．B1（2，﹣3） C．C1（0，1） D．D1（5，﹣1） 5．如图，△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转70°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接BE，点C恰在线段BE上，下列结论一定正确的是（　　） A．AC∥DE B．∠BED＝70° C．AC＝BC D．BE⊥AD 第3题图 第2题图 第5题图 6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2．点D在BC上，且BD：CD＝1：3．连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接BE，DE．则△BDE的面积是（　　） A． B． C． D． 7．菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，将该菱形绕顶点A在平面内旋转30°，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（　　） A．3﹣ B．2﹣ C．﹣1 D．2﹣2 8．如图，在正方形ABCD中，连接对角线BD，BE平分∠DBC，交DC于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF．若CF＝1，则S△BDE＝（　　） A． B． C． D．．04 第6题图 第8题图 第10题图 二、填空题 9．在平面直角坐标系中，若点P（2，﹣1）与点Q（﹣2，m）关于原点对称，则m的值是 　 　． 10．如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF．若∠ABE＝55°，则∠EGC＝　 　度． 11．如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E，F是边AB上的点，G，H是边BC上的点，且EFAB，GHBC，若S1，S2分别表示△EOF 和△GOH 的面积，则 　 ． 第13题图 第12题图 第11题图 12．如图，在平面直角坐标系中，点B坐标（8，4），连接OB，将OB绕点O逆时针旋转90°，得到OB'，则点B′的坐标为 　 　． 13．如图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转一定的角度后能与△CBP′重合，若PB＝3，AP＝4，∠APB＝135°，则PC＝ 　 ． 14．如图，把正方形ABCD的边DA绕点D逆时针旋转30°，得到线段DF，连接BF并延长交DA于点E，连接CE，若AB＝2，则CE2的值是 　 ． 三、解答题 15．如图所示的方格纸（1格长为一个单位长度）中，△AOB的顶点坐标分别为A（3，0），O（0，0），B（3，4）． （1）将△AOB沿x轴向左平移5个单位，画出平移后的△A1O1B1（不写作法，但要标出顶点字母）； （2）将△AOB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2O2B2（不写作法，但要标出顶点字母）； （3）在（2）的条件下，求点B绕点O旋转到点B2所经过的路径长（结果保留π）． 16．如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB＝CD，将边CA绕点C旋转到CE的位置，使得∠ECA＝∠DCB，连接DE与AC交于点F，且∠B＝70°，∠A＝10°． （1）求证：AB＝ED； （2）求∠AFE的度数． 17．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证： （1）EA是∠QED的平分线； （2）EF2＝BE2+DF2． 18．如图，将Rt△ABC绕直角顶点B逆时针旋转90°得到△DBE，DE的延长线恰好经过AC的中点F，连接AD，CE． （1）求证：AE＝CE． （2）若BC＝2，求AB的长． 19．如图，点O是等边△ABC内一点，将BO绕点B逆时针旋转60°得到BD，连接OD，AO，BO，AD． （1）求证：△BCO≌△BAD． （2）若OA＝10，OB＝6，OC＝8，求∠BOC的度数． 20．如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，连接AE，将AE绕点A逆时针旋转，使得点E的对应点F落在边CD的延长线上． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）连接BD、EF交于点M，若∠BAE＝20°，则∠BMF的度数为　160　 °． 21．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OB＝OC＝ODAB． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若H是边AB上一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G．设四边形BGEF的面积为s1，以HB，BC为邻边的矩形的面积为s2，且s1＝s2．当AB＝2时，求AH的长． 参考答案 一、选择题 1．纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．B． C．D． 【解答】解：A中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则A不符合题意； B中图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，则B符合题意； C中图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，则C不符合题意； D中图形不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则D不符合题意； 故选：B． 2．如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，若将△ABD经过旋转到△ACP的位置，则旋转角的度数为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC， ∵将△ABD经过旋转到△ACP的位置， ∴旋转角为∠BAC＝60°， 故选：D． 3．如图，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（　　） A．72° B．108° C．144° D．216° 【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、C、D都正确，不能与其自身重合的是B． 故选：B． 4．四边形ABCD各顶点坐标分别为A（5，0），B（﹣2，3），C（﹣1，0），D（﹣1，﹣5），它们关于原点对称的点A1，B1，C1，D1的坐标正确的是（　　） A．A1（0，5） B．B1（2，﹣3） C．C1（0，1） D．D1（5，﹣1） 【解答】解：四边形ABCD各顶点坐标分别为A（5，0），B（﹣2，3），C（﹣1，0），D（﹣1，﹣5），它们关于原点对称的点A1，B1，C1，D1的坐标分别为： A1（﹣5，0），B1（2，﹣3），C1（1，0），D1（1，5）． 故选：B． 5．如图，△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转70°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接BE，点C恰在线段BE上，下列结论一定正确的是（　　） A．AC∥DE B．∠BED＝70° C．AC＝BC D．BE⊥AD 【解答】解：如图，∵将△ABC绕点A逆时针旋转70°得到△ADE，∠B＝30°， ∴∠D＝∠B＝30°，∠BAD＝∠CAE＝70°，AC＝AE， ∴∠ACE＝∠AEC（180°﹣70°）＝55°， ∴∠BAC＝55°﹣30°＝25°， ∴∠CAD＝70°﹣25＝45°， ∴∠CAD≠∠D， ∴AC与DE不平行，故A不符合题意； ∵∠ACE＝∠AEC＝55°， ∴∠ACB＝∠AED＝180°﹣55°＝125°， ∴∠BED＝125°﹣55°＝70°，故B符合题意； ∵∠BAC＝25°，∠B＝30°， ∴∠BAC≠∠B， ∴AC≠BC，故C不符合题意； ∵∠BAD＝70°，∠B＝30°， ∴BE不垂直AD，故D不符合题意． 故选：B． 6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2．点D在BC上，且BD：CD＝1：3．连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接BE，DE．则△BDE的面积是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝90°， ∴∠EAB+∠BAD＝90°， 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠C＝∠ABC＝45°， ∴∠EAB＝∠CAD， ∴△EAB≌△DAC（SAS）， ∴∠C＝∠ABE＝45°，CD＝BE， ∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝90°， ∵BC＝2，BD：CD＝1：3， ∴BD＝，CD＝BE＝， ∴＝， 故选：B． 7．菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，将该菱形绕顶点A在平面内旋转30°，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（　　） A．3﹣ B．2﹣ C．﹣1 D．2﹣2 【解答】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°， 连接AC，BD相交于点O，BC与C'D'交于点E， ∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°， ∴∠CAB＝30°＝∠CAD，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO， ∵AB＝2， ∴DO＝1，AO＝DO＝， ∴AC＝2， ∵菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB'C'D'， ∴∠D'AB＝30°，AD＝AD'＝2， ∴A，D'，C三点共线， ∴CD'＝CA﹣AD'＝2﹣2， 又∵∠ACB＝30°， ∴D'E＝﹣1， CE＝D'E＝3﹣， ∵重叠部分的面积＝△ABC的面积﹣△D'EC的面积， ∴重叠部分的面积＝×＝3﹣； ②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转30°，同①方法可得重叠部分的面积＝3﹣， 故选：A． 8．如图，在正方形ABCD中，连接对角线BD，BE平分∠DBC，交DC于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF．若CF＝1，则S△BDE＝（　　） A． B． C． D．．04 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，BD为正方形ABCD的对角线， ∴BC＝CD，∠CBD＝∠CDB＝45°，∠BCE＝90°， ∵BE平分∠DBC， ∴， 由旋转得CF＝CE＝1，∠CDF＝∠CBE＝22.5°，∠DCF＝90°， ∴∠F＝90°﹣∠CDF＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∵∠BDF＝∠BDC+∠CDF＝45°+22.5°＝67.5°， ∴∠BDE＝∠F， ∴BD＝BF， 设BC＝CD＝x， 则，BF＝BC+CF＝x+1， ∴， 解得：， ∴， ∵CF＝CE＝1， ∴DE＝CD﹣CE， ∴1， 故选：B． 二、填空题 9．在平面直角坐标系中，若点P（2，﹣1）与点Q（﹣2，m）关于原点对称，则m的值是 　1　． 【解答】解：在平面直角坐标系中，若点P（2，﹣1）与点Q（﹣2，m）关于原点对称，则m的值是1． 故答案为：1． 10．如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF．若∠ABE＝55°，则∠EGC＝　80　度． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°， ∵∠ABE＝55°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝35°， 由旋转得：BE＝BF，∠EBF＝90°， ∴∠BEF＝∠BFE＝45°， ∵∠EGC是△BEG的一个外角， ∴∠EGC＝∠BEF+∠EBC＝80°， 故答案为：80． 11．如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E，F是边AB上的点，G，H是边BC上的点，且EFAB，GHBC，若S1，S2分别表示△EOF 和△GOH 的面积，则　　 ． 【解答】解：如图，连接AC，OB， ∵点O是平行四边形ABCD的对称中心， ∴点O是线段AC的中点，且S△AOB＝S△BOCS平行四边形ABCD， 令S△AOB＝S△BOC＝S， ∵EFAB，GHBC， ∴S△EOFS，S△GOHS， ∴． 故答案为：． 12．如图，在平面直角坐标系中，点B坐标（8，4），连接OB，将OB绕点O逆时针旋转90°，得到OB'，则点B′的坐标为 　（﹣4，8）　． 【解答】解：分别过点B、B′向x轴作垂线，垂足分别为M、N． （方法一）∵∠BOB′＝90°， ∴∠BOM+∠B′ON＝90°． 又∵∠BOM+∠OBM＝90°， ∴∠B′ON＝∠OBM． 在Rt△OMB和Rt△B′NO中， ， ∴Rt△OMB≌Rt△B′NO（AAS）， ∴B′N＝OM＝8，ON＝BM＝4， ∴点B′的坐标为（﹣4，8）． 13．如图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转一定的角度后能与△CBP′重合，若PB＝3，AP＝4，∠APB＝135°，则PC＝ 　　． 【解答】解：连接PP′， ∵将△ABP绕点B顺时针方向旋转一定的角度后能与△CBP′重合， ∴∠ABP＝∠CBP′，CP′＝AP＝4，BP′＝BP＝3，∠BP′C＝∠APB＝135°， ∴∠PBP′＝∠ABC＝90°， ∴，∠BP′P＝∠P′PB＝45°， ∴∠P′PC＝90°， ∴， 故答案为：． 14．如图，把正方形ABCD的边DA绕点D逆时针旋转30°，得到线段DF，连接BF并延长交DA于点E，连接CE，若AB＝2，则CE2的值是 　20﹣8　 ． 【解答】解：连接AF，CF，过F作FH⊥AD于H，如图： ∵边DA绕点D逆时针旋转30°，得到线段DF， ∴AD＝DF，∠ADF＝30°， ∵四边形ABCD是正方形，AB＝2， ∴AB＝AD＝DF＝2， ∴HFDF2＝1，DHHF， ∴AH＝AD﹣DH＝2， ∵∠FDC＝90°﹣∠ADF＝90°﹣30°＝60°，CD＝AD＝DF， ∴△CDF是等边三角形， ∴DF＝CF，∠DCF＝60°， ∴∠BCF＝90°﹣∠DCF＝30°＝∠ADF， ∵AD＝DF＝CF＝BC， ∴△ADF≌△BCF（SAS）， ∴AF＝BF， ∴∠FAB＝∠FBA， ∴90°﹣∠FAB＝90°﹣∠FBA，即∠FAE＝∠FEA， ∴AF＝EF， ∴BF＝EF， ∵∠BAE＝90°＝∠FHE， ∴HF∥AB， ∴EH＝AH＝2， ∴DE＝DH﹣EH（2）＝22， ∴CE2＝DE2+CD2＝（22）2+22＝20﹣8， 故答案为：20﹣8． 三、解答题 15．如图所示的方格纸（1格长为一个单位长度）中，△AOB的顶点坐标分别为A（3，0），O（0，0），B（3，4）． （1）将△AOB沿x轴向左平移5个单位，画出平移后的△A1O1B1（不写作法，但要标出顶点字母）； （2）将△AOB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2O2B2（不写作法，但要标出顶点字母）； （3）在（2）的条件下，求点B绕点O旋转到点B2所经过的路径长（结果保留π）． 【解答】解：（1）如图，△A1O1B1即为所求； （2）如图，△A2O2B2即为所求； （3）在Rt△AOB中，， ∴． 16．如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB＝CD，将边CA绕点C旋转到CE的位置，使得∠ECA＝∠DCB，连接DE与AC交于点F，且∠B＝70°，∠A＝10°． （1）求证：AB＝ED； （2）求∠AFE的度数． 【解答】解：（1）证明：∵∠ECA＝∠DCB， ∴∠ECA+∠ACD＝∠DCB+∠ACD， 即∠ECD＝∠BCA， 由旋转可得CA＝CE， 在△BCA和△DCE中， ， ∴△BCA≌△DCE（SAS）． ∴AB＝ED． （2）由（1）中结论可得∠CDE＝∠B＝70°， 又CB＝CD， ∴∠B＝∠CDB＝70°， ∴∠EDA＝180°﹣∠BDE＝180°﹣70°×2＝40°， ∴∠AFE＝∠EDA+∠A＝40°+10°＝50°． 17．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证： （1）EA是∠QED的平分线； （2）EF2＝BE2+DF2． 【解答】证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ， ∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF， ∵∠EAF＝45°， ∴∠DAF+∠BAE＝45°， ∴∠QAE＝45°， ∴∠QAE＝∠FAE， 在△AQE和△AFE中 ， ∴△AQE≌△AFE（SAS）， ∴∠AEQ＝∠AEF， ∴EA是∠QED的平分线； （2）由（1）得△AQE≌△AFE， ∴QE＝EF， 由旋转的性质，得∠ABQ＝∠ADF， ∠ADF+∠ABD＝90°， 则∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°， 在Rt△QBE中， QB2+BE2＝QE2， 又∵QB＝DF， ∴EF2＝BE2+DF2． 18．如图，将Rt△ABC绕直角顶点B逆时针旋转90°得到△DBE，DE的延长线恰好经过AC的中点F，连接AD，CE． （1）求证：AE＝CE． （2）若BC＝2，求AB的长． 【解答】（1）证明：∵将Rt△ABC绕直角顶点B逆时针旋转90°得到△DBE， ∴△ABC≌△DBE， ∴∠BAC＝∠CDF， ∵∠BAC+∠ACB＝90°， ∴∠CDF+∠ACB＝90°， ∴DF⊥AC， ∵点F是AC中点， ∴DF垂直平分AC， ∴AE＝CE； （2）解：∵△ABC≌△DBE， ∴BE＝CB＝2， ∴CE＝AE＝2， ∴AB＝AE+BE＝2+2． 19．如图，点O是等边△ABC内一点，将BO绕点B逆时针旋转60°得到BD，连接OD，AO，BO，AD． （1）求证：△BCO≌△BAD． （2）若OA＝10，OB＝6，OC＝8，求∠BOC的度数． 【解答】（1）证明：由题意可得： BO＝BD，∠OBD＝60°， ∵△ABC是等边三角形． ∴BA＝BC，∠CBA＝60°， ∴∠OBD＝∠CBA， ∴∠CBO＝∠ABD， 在△BCO和△BAD中， ， ∴△BCO≌△BAD（SAS）； （2）解：由题意可得：OD＝OB＝6，∠ODB＝60°， ∵△BCO≌△BAD， ∴AD＝OC＝8，∠BOC＝∠ADB， ∵OA＝10， ∴AD2+OD2＝82+62＝100，OA2＝100， ∴OA2＝AD2+OD2， ∴∠ADO＝90°， ∴∠ADB＝∠ADO+∠BDO＝150°， ∴∠BOC＝∠ADB＝150°． 20．如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，连接AE，将AE绕点A逆时针旋转，使得点E的对应点F落在边CD的延长线上． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）连接BD、EF交于点M，若∠BAE＝20°，则∠BMF的度数为　160　 °． 【解答】（1）证明：由旋转的性质得AF＝AE，∠EAF＝90° ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠BAE+∠DAE＝∠DAE+∠DAF＝90°， ∴∠BAE＝∠DAF， ∴△ABE≌△ADF（SAS）； （2）解：如图，设BD，AE交点为N， 由旋转的性质得AF＝AE，∠EAF＝90°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴∠AEF＝45°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABD＝45°， ∴∠AEF＝∠ABD＝45°， ∵∠ANB＝∠ENM，∠BAE＝20°， ∴∠BAE＝∠BME＝20°， ∴∠BMF＝180°﹣∠BAE＝160°， 故答案为：160． 21．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OB＝OC＝ODAB． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若H是边AB上一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G．设四边形BGEF的面积为s1，以HB，BC为邻边的矩形的面积为s2，且s1＝s2．当AB＝2时，求AH的长． 【解答】（1）证明：∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形， ∵OA＝OB＝OC＝ODAB， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴∠AOB＝90°， 即AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形； （2）解：∵EF⊥BC，EG⊥AG， ∴∠G＝∠EFB＝∠FBG＝90°， ∴四边形BGEF是矩形， ∵将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE， ∴∠DHE＝90°，DH＝HE， ∴∠ADH+∠AHD＝∠AHD+∠EHG＝90°， ∴∠ADH＝∠EHG， ∵∠DAH＝∠G＝90°， ∴△ADH≌△GHE（AAS）， ∴AD＝HG，AH＝EG， ∵AB＝AD， ∴AB＝HG， ∴AH＝BG， ∴BG＝EG， ∴矩形BGEF是正方形， 设AH＝x，则BG＝EG＝x， ∵s1＝s2． ∴x2＝2（2﹣x）， 解得：x1（负值舍去）， ∴AH1． 学科网（北京）股份有限公司 $$