精品解析：2025年河北省邯郸市冀南新区精英中学中考四模试卷

2025年河北省邯郸市冀南新区精英中学中考四模试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知算式的值为1，则“□”内应填入的运算符号为（ ） A. B. － C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是有理数的除法，由商为1结合“有理数的除法法则”解题是关键． 【详解】解：∵， ∴“□”内应填入的运算符号为， 故选D 2. 下列算式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用合并同类项，同底数幂除法，幂的乘方运算法则及完全平方公式逐一判断即可． 【详解】解：A．，故该选项计算正确，符合题意， B．，故该选项计算错误，不符合题意， C．，故该选项计算错误，不符合题意， D．与不是同类项，无法合并，，故该选项计算错误，不符合题意． 3. 已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 依据题意，有一个长方形面积是，宽是，则它的长为：，进而得解． 【详解】解：由题意，一个长方形面积是，宽是， 它的长为：， 故选：A． 4. 如图，C点在D点的正下方，从C点测得A点的仰角为，，则从D点测得A点的俯角的正切值是（　　） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣俯角仰角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．根据平行线的性质以及三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：过A作于H， 则， ∵从C点测得A点的仰角为，， ∴， ∴， ∴， ∴从D点测得A点的俯角的正切值是1， 故选：C． 5. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程根与系数的关系，先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ， 故选：C． 6. 小红在班上做节水意识调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下：5，5，6，7，8，9，10．她发现，若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数、众数保持不变，则去掉的两个数可能是（ ） A. 5，10 B. 5，9 C. 6，8 D. 7，8 【答案】C 【解析】 【分析】先求出已知数组的中位数和众数，再根据中位数和众数的定义逐项判断即可． 【详解】数列5，5，6，7，8，9，10的众数是5，中位数是7， 去掉两个数后中位数和众数保持不变，据此逐项判断： A项，去掉5之后，数列的众数不再是5，故A项错误； B项，去掉5之后，数列的众数不再是5，故B项错误； C项，去掉6和8之后，新数列的中位数和众数依旧保持不变，故C项正确； D项，去掉7和8之后，新数列的中位数为6，发生变化，故D项错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了中位数和众数的知识，掌握中位数和众数的定义是解答本题的关键． 7. 如图，四边形中，点E、F、G、H分别是线段、、、的中点，则四边形的周长（    ） A. 只与、的长有关 B. 只与、的长有关 C. 只与、的长有关 D. 与四边形各边的长都有关 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．根据三角形的中位线定理解答即可． 【详解】解：点E、F、G、H分别是线段、、、的中点， ，，，， 四边形EGFH的周长， 故选∶B． 8. 如图，用四根木条制作一个平行四边形框架，双手将它的两个对角慢慢向两边拉动，直至变为矩形框架停止，在这个变化过程中，设平行四边形的面积为y，高为x，则y与x之间的函数图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查判断正反比例的关系，根据题意得出平行四边形的面积底高，底是一定的，即可判断，熟练掌握正反比例的关系是解题关键． 【详解】解：∵平行四边形的面积底高，底是一定的为常数， ∴y与x之间的函数是成正比例关系，且随着x增大而增大， 故选：B． 9. 如图，在正五边形中，以为斜边作等腰直角，连接，交于点G，连接，交于点H，则下列两位同学的说法正确的是（ ） 嘉嘉：为直角三角形 淇淇：为等腰三角形 A. 只有嘉嘉 B. 只有淇淇 C. 两人都正确 D. 两人都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，连接，，首先证明出，得到，然后判断出垂直平分，即可判断嘉嘉同学的说法正确；求出，然后根据等边对等角和三角形内角和定理逐步求出，，得到，即可判断淇淇同学的说法正确． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在正五边形中， ∴，， ∴ ∴ ∵以为斜边作等腰直角， ∴ ∴垂直平分 ∴ ∴为直角三角形， ∴嘉嘉同学的说法正确； ∵在正五边形中， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴为等腰三角形 ∴淇淇同学的说法正确 综上所述，两人都正确． 故选：C． 【点睛】此题考查了正多边形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 10. 如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， CE= DE， ∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，继而设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处， ∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， ∵折叠纸片，使点C与点D重合， ∴CE= DE， ∠C=∠CDE， ∵∠BAC = 90°， ∴∠B+ ∠C= 90°， ∴∠ADB + ∠CDE = 90°， ∴∠ADE = 90°， ∴AD2 + DE2 = AE2， 设AE=x，则CE=DE=3-x， ∴22+(3-x)2 =x2， 解得 即AE= 故选A 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 11. 公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，称为最早的有关黄金分割的论著．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图，点C把线段 分成两份，如果，那么称点C是线段AB的黄金分割点．冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，他泛着可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处，若玩偶身高，则玩偶嘴巴离地高度是___m． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据黄金分割比，即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴， 设玩偶嘴巴离地高度是， ∴，解得：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割比为． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线l：，点，是l上两点，且，将上方抛物线沿向下翻折，翻折后得到一个形如“”的新图像．当这个新图像与直线恰好只有2个公共点时，关于m的取值范围，甲说：；乙说：；丙说：；丁说：，则（ ）． A. 甲丁合在一起才正确 B. 乙丙合在一起才正确 C. 乙丁合在一起才正确 D. 甲丙合在一起才正确 【答案】C 【解析】 【分析】题主要考查了抛物线的变化，根据题意画出各组情况的函数图像成为解题的关键． 先画出各种情况的函数图像，函数根据函数图像即可解答． 【详解】解：当，可画出如图图像：显然新图像与直线没有交点，即，甲说法错误； 当，可画出如图图像：显然新图像与直线有2个交点，即乙说法正确； 当，可画出如图图像：显然新图像与直线有4个交点，故丙说法错误； 当，可画出如图图像：显然新图像与直线有2个交点，故丁说法正确； 综上，乙丁合在一起才正确． 故选C． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 分解因式：________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式y，然后再利用平方差公式进行二次分解． 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，也是关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过等边的边的中点M．若等边的面积为16，则k的值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】过点A作轴，垂足为C，过点M作轴，垂足为D，根据k的几何意义，确定，证明，得到，根据的面积是16，求出，根据图象的分布确定k值即可； 【详解】解：过点A作轴，垂足为C，过点M作轴，垂足为D， ∵反比例函数的图象经过点M， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∵等边的面积为16， ∴， ∴， ∴，解得． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义，灵活运用相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 15. 如图，直线，等腰直角和等边在，之间，点A，D分别在，上，点B，C，E，F在同一直线上．若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，关键是掌握平行线的性质． 延长交于G，得出，根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质得出相关角的度数，然后利用四边形的内角和求出，最后利用邻补角即可求解． 【详解】解：延长交于G， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 故答案为： ． 16. 如图已知中，，，点D、点E分别是边和边上的动点，将线段绕点逆时针旋转，点对应点恰好落在斜边上，同时将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）当时，设，则______； （2）最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）过点F作于点H，证明是等腰直角三角形得，由旋转性质得，，进而可证明，由此依据“”判定和全等得，，再根据得，则，继而得，由此可得x的值； （2）过F作于点H，过点G作于点P，同证明和全等，是等腰直角三角形得，，，则，设，则，进而得，再证明和全等得，，则，在中，由勾股定理得，由此得当时，的值为最小，最小值为，继而即可得出BG的最小值． 【详解】解：（1）过点F作于点H，如图1所示： ， 在中，，， ，， ∴， ∴， 由旋转性质得：，， ， 在中，， ∴， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）过点F作于点H，过点G作于点P，如图2所示： 同证明： ，是等腰直角三角形， ，，， ， 设，则， ， ， ，， ， 由旋转性质得：，， ， 在中，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ，， 当时，的值为最小，最小值为， 的最小值为： 故答案为： 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，图形的旋转变换及其性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值，理解等腰直角三角形的性质，图形的旋转变换及其性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，利用勾股定理构造二次函数是解决问题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知分式． （1）化简分式； （2）若的值为方程的解，求该分式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，分式的混合运算． （1）根据分式混合运算法则，先算小括号里面的分式减法，然后再算分式的除法即可； （2）先把分式方程转变为整式方程，解分式方程求出x的值，然后检验，把分式方程的解代入（1）中化简后的分式，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：对于方程， 去分母，得， 解得． 检验：把代入，得， 分式方程的解为， 原分式的值为． 18. 为推广垃圾分类，某社区设置智能回收箱，居民投放可回收物后，设备自动称重并计算积分．已知1千克塑料可兑换8积分，1千克废纸可兑换12积分．嘉嘉投放了千克塑料和千克废纸，淇淇的塑料投放量是嘉嘉的2倍，废纸投放量比嘉嘉少3千克． （1）用含的式子分别表示嘉嘉和淇淇的积分； （2）淇淇的积分能否是嘉嘉的2倍？请说明理由． 【答案】（1）嘉嘉：，淇淇： （2） 解：不能．理由如下： 若淇淇的积分是嘉嘉的2倍，则， 去括号，得， 整理，得， 解得，不符合实际， 淇淇的积分不能是嘉嘉的2倍． 【解析】 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，正确读懂题意是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）若淇淇的积分是嘉嘉的2倍，则，整理求解出，不符合实际，即可说明． 【小问1详解】 解：嘉嘉的积分为， 淇淇的积分为． 【小问2详解】 略 19. 甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，，，除正面的代数式不同外，其余均相同． （1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当，时，求取出的卡片上代数式的值为正数的概率； （2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和可以分解因式的概率． 第一次和第二次 【答案】（1） （2）， 补全表格如下： 第一次和第二次   【解析】 【分析】本题考查用概率公式求概率，整式加法，因式分解，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先将a，b的值代入三个代数式求值，再根据概率公式计算值为正数的概率； （2）通过分别计算两次抽取卡片上代数式相加的结果补全表格，然后根据概率公式计算和可以分解因式的概率． 【小问1详解】 解：当，时， ， ， ， 从三张卡片中随机抽取一张，总共有3种等可能的抽取情况，而其中代数式的值为正数的只有这1种情况． ∴取出的卡片上代数式的值为正数的概率为． 【小问2详解】 解：当第一次抽取的卡片为，第二次抽取的卡片为时，两式相加：， 当第一次抽取的卡片为，第二次抽取的卡片为时，两式相加：， 当第一次抽取的卡片为，第二次抽取的卡片为时，两式相加：， 当第一次抽取的卡片为，第二次抽取的卡片为时，两式相加：， 当第一次抽取的卡片为，第二次抽取的卡片为时，两式相加：， 当第一次抽取的卡片为，第二次抽取的卡片为时，两式相加：， 补全表格如下： 第一次和第二次  对于和，由于是单项式，不是多项式，不能分解因式； 对于不能分解因式， 对于和，可分解因式为； 对于和，可分解因式为； 对于和，由于是单项式，不是多项式，不能分解因式； 对于和，可分解因式为， ∴可以分解因式的情况有5种．两次抽取卡片上代数式之和共有9种等可能的结果．  ∴可得和可以分解因式的概率为． 20. 如图，某品牌滤水壶有净水区和蓄水区．给净水区加满水，净水区中的水匀速流向蓄水区，一段时间后再将净水区补满（不计加水时间）．已知净水区水面与蓄水区水面的距离与水流时间的函数图象如图所示． （1）直接写出线段与线段的位置关系； （2）求线段所在直线的函数表达式； （3）求净水区水面与蓄水区水面重合时t的值． 【答案】（1）线段与线段的位置是互相平行 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和函数图象可知，线段与线段互相平行； （2）根据函数图象中的数据，可以计算出线段所在直线的函数表达式； （3）根据函数图象中的数据，可以计算出线段对应的函数解析式，然后令函数值为0求出相应的x的值即可． 【小问1详解】 解：由图象可得，线段与线段互相平行； 【小问2详解】 解：设线段所在直线的函数表达式为， 点和点在该函数图象上， ， 解得， 即线段所在直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：设线段所在的直线解析式为， 在该函数图象上， ， 解得， 即线段所在的直线解析式为， 将代入得：， 解得， 即净水区水面与蓄水区水面重合时t的值为 21. 如图是某风车平面示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，此时各叶片影子在点M右侧形成线段，O的对应点为D，测得，此时太阳的与地面的夹角为（即）． （1）求旋转中心到地面的距离的值． （2）风车转动时，要求叶片外端离地面的最低高度高于米，请判断此风车是否符合要求． 【答案】（1） （2）此风车符合要求 【解析】 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理求得，再利用三角形函数的定义求解即可； （2）过点C作，垂足为F，则四边形为矩形，利用特殊角的三角函数值求得，进一步计算即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点C作，垂足为F，则四边形为矩形． ∵， ∴，即， ∴叶片外端离地面的最低高度为， ∵． ∴此风车符合要求． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，平行线分线段成比例，及勾股定理和矩形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 22. 【情境】在一次综合实践活动课上，老师给每名同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何确定正方形一边上的一个三等分点． 嘉嘉通过折叠的方法确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作1】如图1，他先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折，得折痕，交于点G；过点G折叠正方形纸片，使折痕． （1）嘉嘉的思路是先证明，再证明，就可以证明M是边的三等分点，请你按照嘉嘉的证明思路写出证明过程． 淇淇利用折叠和尺规作图相结合的方法确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作2】如图2，她先将正方形纸片对折，使点A和点D重合，然后展开铺平，确定的中点E；再利用尺规作图在正方形内作，最后延长，交边于点G，淇淇猜想点G即为边的三等分点． （2）①利用尺规作图补全图形． ②淇淇的猜想______（填“正确”或“不正确”） 【答案】 （1）证明：由折叠可知，， 四边形是正方形， ，，， ，， ， ， 由折叠知，， ， ∴， ， ， 即M是的三等分点； （2）①如图， ②正确 【解析】 【分析】（1）根据折叠可知，根据得出，从而，根据得出，从而，从而得出M是的三等分点； （2）①分别以C和E为圆心，和为半径画弧，两弧交于点F，延长EF，交于点G； ②连接CG，可证得，从而，设，，则，，，根据勾股定理得出，从而得出，求得，进而得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：①分别以C和E为圆心，和为半径画弧，两弧交于点F，延长，交于点G； ②淇淇猜想是正确的，理由如下： 连接， ，，， ∴， ， ，，， ，， ， ∴ ， 设，，则，，， ， ， ， ， ，故淇淇的猜想是正确的， 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，正方形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 23. 用若干张半径为的圆形纸片（）剪不同的扇形纸片，如图1和图． （1）当扇形的圆心C在上时，如图1，为的直径，点C为弧的中点．求扇形的面积（结果保留）； （2）当扇形的圆心C在内部时，如图2，已知为扇形与的公共弦，，，求点O与点C的距离，并直接写出扇形的面积（结果保留）； （3）在半径为的圆形纸片（）上剪一个圆心角的扇形（点A，B在上），直接写出所剪的扇形面积S的取值范围（结果保留）． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到，则是等腰直角三角形，据此求出AC的长，再根据扇形面积计算公式求解即可； （2）过点C作于T，连接，，可证明O、C、T三点共线，根据勾股定理和扇形的面积公式即可得到结论； （3）可证明OC垂直平分，则点C一定在的某条直径EF上运动，设，交于M，解直角三角形得到的值，则随着的增大而增大，即扇形的面积随着的增大而增大，当点C与点E重合时，有最小值，当点M恰好与点O重合时，有最大值，据此讨论求解即可． 【小问1详解】 解：连接，如图1， 为弧的中点．是直径，圆的半径为， ，， 是等腰直角三角形， ， 在直角三角形AOC中，由勾股定理得：， ； 【小问2详解】 解：如图2，过点C作于T，连接，， ，， 垂直平分AB， 、C、T三点共线， ，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 点O与点C的距离为， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， ， ； 【小问3详解】 解：，， 垂直平分， 点C一定在的某条直径上运动， 设，交于M， ，， ， 随着的增大而增大，即扇形的面积随着的增大而增大， 如图3，当点C与点E重合时， ， ， ， 是等边三角形， ， ； 如图4，当点M恰好与点O重合时，此时， ， ． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了扇形面积计算，解直角三角形，垂径定理，三线合一定理，线段垂直平分线的判定和性质等等，熟知扇形面积计算公式是解题的关键． 24. 如图①，点A在直线l上，现有一台粒子发射器在A处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与相同，发射出的粒子最终落在l上．若在直线l上的点O处有一块挡板，，，由于挡板的遮挡，使得直线l上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为．（粒子的反弹忽略不计） （1）如图②，若，，则______． （2）如图③，若，，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系． ①点P坐标为______； ②当抛物线与直线相切时，求抛物线的解析式，并直接写出m的值． （3）如图④，B是直线l上一点，O是的中点，现要使发射的粒子能覆盖段的每一处，且落不到段．在满足上述要求的所有挡板位置中，直接写出挡板的长的最小值． 【答案】（1） （2）①；②， （3） 【解析】 【分析】（1）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线解析式为，把代入求解即可； （2）①以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于G，解直角三角形求出，，则；②当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为，当粒子的轨迹与相切有唯一交点时，函数图象为刚好落在处，此时由于遮挡，粒子无法落到上，类似（1）可求，设，抛物线解析式为，根据待定系数法求出直线解析式为，联立方程组，化简得，根据直线与的图象有唯一的交点，可得出，即可求解； （3）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于H，根据正切的定义可求出，设，则，则，类似（1）求出的解析式为，把代入求出，根据勾股定理得出，则可求，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则， ∴， ，， ，， 设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， 故答案为：2； 【小问2详解】 解：①以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于G， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为， 当粒子的轨迹与相切有唯一交点时，函数图象为，刚好落在处，此时由于遮挡，粒子无法落到上， 设， 经过、、， 设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， ， 设， ∵经过、， 设抛物线解析式为， 设直线解析式为，则，解得， ， 联立方程组， 化简得， 直线与的图象有唯一的交点， 方程有两个相等的实数根， 即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 即m的值为； 【小问3详解】 解：以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于H， 则， ∴，则， ∴， ， ， 的解析式为， 点P在的图象上， ∴， 又， ∴， 当时，有最小值为8， 的最小值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，正切的定义等知识，明确题意，找准临界位置是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河北省邯郸市冀南新区精英中学中考四模试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知算式的值为1，则“□”内应填入的运算符号为（ ） A. B. － C. D. 2. 下列算式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（    ） A. B. C. D. 4. 如图，C点在D点的正下方，从C点测得A点的仰角为，，则从D点测得A点的俯角的正切值是（　　） A. B. C. 1 D. 5. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 6. 小红在班上做节水意识调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下：5，5，6，7，8，9，10．她发现，若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数、众数保持不变，则去掉的两个数可能是（ ） A. 5，10 B. 5，9 C. 6，8 D. 7，8 7. 如图，四边形中，点E、F、G、H分别是线段、、、的中点，则四边形的周长（    ） A. 只与、的长有关 B. 只与、的长有关 C. 只与、的长有关 D. 与四边形各边的长都有关 8. 如图，用四根木条制作一个平行四边形框架，双手将它的两个对角慢慢向两边拉动，直至变为矩形框架停止，在这个变化过程中，设平行四边形的面积为y，高为x，则y与x之间的函数图象可能为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正五边形中，以为斜边作等腰直角，连接，交于点G，连接，交于点H，则下列两位同学的说法正确的是（ ） 嘉嘉：为直角三角形 淇淇：为等腰三角形 A. 只有嘉嘉 B. 只有淇淇 C. 两人都正确 D. 两人都不正确 10. 如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ） A. B. C. D. 11. 公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，称为最早的有关黄金分割的论著．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图，点C把线段 分成两份，如果，那么称点C是线段AB的黄金分割点．冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，他泛着可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处，若玩偶身高，则玩偶嘴巴离地高度是___m． A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线l：，点，是l上两点，且，将上方抛物线沿向下翻折，翻折后得到一个形如“”的新图像．当这个新图像与直线恰好只有2个公共点时，关于m的取值范围，甲说：；乙说：；丙说：；丁说：，则（ ）． A. 甲丁合在一起才正确 B. 乙丙合在一起才正确 C. 乙丁合在一起才正确 D. 甲丙合在一起才正确 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 分解因式：________________ ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过等边的边的中点M．若等边的面积为16，则k的值为_________． 15. 如图，直线，等腰直角和等边在，之间，点A，D分别在，上，点B，C，E，F在同一直线上．若，则的度数为______． 16. 如图已知中，，，点D、点E分别是边和边上的动点，将线段绕点逆时针旋转，点对应点恰好落在斜边上，同时将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）当时，设，则______； （2）最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知分式． （1）化简分式； （2）若的值为方程的解，求该分式的值． 18. 为推广垃圾分类，某社区设置智能回收箱，居民投放可回收物后，设备自动称重并计算积分．已知1千克塑料可兑换8积分，1千克废纸可兑换12积分．嘉嘉投放了千克塑料和千克废纸，淇淇的塑料投放量是嘉嘉的2倍，废纸投放量比嘉嘉少3千克． （1）用含的式子分别表示嘉嘉和淇淇的积分； （2）淇淇的积分能否是嘉嘉的2倍？请说明理由． 19. 甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，，，除正面的代数式不同外，其余均相同． （1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当，时，求取出的卡片上代数式的值为正数的概率； （2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和可以分解因式的概率． 第一次和第二次 20. 如图，某品牌滤水壶有净水区和蓄水区．给净水区加满水，净水区中的水匀速流向蓄水区，一段时间后再将净水区补满（不计加水时间）．已知净水区水面与蓄水区水面的距离与水流时间的函数图象如图所示． （1）直接写出线段与线段的位置关系； （2）求线段所在直线的函数表达式； （3）求净水区水面与蓄水区水面重合时t的值． 21. 如图是某风车平面示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，此时各叶片影子在点M右侧形成线段，O的对应点为D，测得，此时太阳的与地面的夹角为（即）． （1）求旋转中心到地面的距离的值． （2）风车转动时，要求叶片外端离地面的最低高度高于米，请判断此风车是否符合要求． 22. 【情境】在一次综合实践活动课上，老师给每名同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何确定正方形一边上的一个三等分点． 嘉嘉通过折叠的方法确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作1】如图1，他先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折，得折痕，交于点G；过点G折叠正方形纸片，使折痕． （1）嘉嘉的思路是先证明，再证明，就可以证明M是边的三等分点，请你按照嘉嘉的证明思路写出证明过程． 淇淇利用折叠和尺规作图相结合的方法确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作2】如图2，她先将正方形纸片对折，使点A和点D重合，然后展开铺平，确定的中点E；再利用尺规作图在正方形内作，最后延长，交边于点G，淇淇猜想点G即为边的三等分点． （2）①利用尺规作图补全图形． ②淇淇的猜想______（填“正确”或“不正确”） 23. 用若干张半径为的圆形纸片（）剪不同的扇形纸片，如图1和图． （1）当扇形的圆心C在上时，如图1，为的直径，点C为弧的中点．求扇形的面积（结果保留）； （2）当扇形的圆心C在内部时，如图2，已知为扇形与的公共弦，，，求点O与点C的距离，并直接写出扇形的面积（结果保留）； （3）在半径为的圆形纸片（）上剪一个圆心角的扇形（点A，B在上），直接写出所剪的扇形面积S的取值范围（结果保留）． 24. 如图①，点A在直线l上，现有一台粒子发射器在A处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与相同，发射出的粒子最终落在l上．若在直线l上的点O处有一块挡板，，，由于挡板的遮挡，使得直线l上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为．（粒子的反弹忽略不计） （1）如图②，若，，则______． （2）如图③，若，，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系． ①点P坐标为______； ②当抛物线与直线相切时，求抛物线的解析式，并直接写出m的值． （3）如图④，B是直线l上一点，O是的中点，现要使发射的粒子能覆盖段的每一处，且落不到段．在满足上述要求的所有挡板位置中，直接写出挡板的长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $