精品解析： 广东省江门市新会区正雅学校2024-2025学年七年级下学期月考数学试卷（B卷）

2024-2025学年广东省江门市新会区正雅学校 七年级（下）月考数学试卷（B卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、填空题：本题共6小题，共33分． 1. 三个互不相等的有理数，既可以表示为，，的形式，也可以表示为，，的形式，则___________． 2. 已知关于x，y方程组的解为整数，且关于y的多项式为二次三项式，则所有满足条件的整数a的和为_____ 3. 如图，已知，，，则______． 4. 已知是一个正整数，记的值，例如，．若，则______． 5. 某公司有四个部门：、、、，需要选择会议室，部门、、、需要的会议室数量分别为2、3、4、5个．会议室的编号为1至15号，电梯口左右两侧分别是单数编号的会议室和双数编号的会议室，如图所示．每个部门在选择会议室时，只能选择相邻的会议室，并且所选会议室的编号之和尽可能小．如果部门先选，它选择了1号和2号会议室，接着部门选择了3号、5号、7号会议室，要使部门、都能选到会议室，则接下来应该让___________（填或者）部门选．如果部门首先选择会议室，要使其他三个部门都能选到会议室，写出一种满足条件的选择会议室的先后顺序___________． 6. 某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk（xk，yk）处，其中x1＝1，y1＝1，当k≥2时，xk＝xk﹣1+1﹣5（[]﹣[]），yk＝yk﹣1+[]﹣[]，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.8]＝2，[0.3]＝0．按此方案，则第2019棵树种植点的坐标为_____． 二、解答题：本题共5小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 7. 平面上有6条直线，共有12个不同的交点，画出它们可能的位置关系(画三种图形)． 8. 已知整点（横纵坐标都整数）P在平面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋字型跳跃）．例如在图1中，从点A做一次“跳马运动”，可以到点B，也可以到达点C．设P0做一次跳马运动到点P1，做第二次跳马运动到点P2，做第三次跳马运动到点P3，…，如此依次进行． （1）若P0（1，0），则P1可能是下列的点 　 　． D（﹣1，2）；E（﹣2，0）；F（0，2） （2）已知点P0（4，2），P2（1，3），则点P1的所有可能坐标为 　 　； （3）若P0（0，0），则、可能与P0重合是 　 　． （4）如图2，点P0（1，0）沿x轴正方向向右上方做跳马运动，若P跳到Q1位置，称为做一次“正横跳马”；若P跳到Q2位置，称为做一次“正竖跳马”．当点P连续做了a次“正横跳马”和b次“正竖跳马”后，到达点Pn（14，11），求a+b的值． 9. 数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 10. 介绍一个“能被13整除数的特征”的数学小知识：一个多位数（数位大于等于4）的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差记为，如果能被13整除，则这个多位数就一定能被13整除．例如数字160485，这个数末三位是485，末三位以前是160，，．即325能被13整除，那么160485也能被13整除．（注：这个规律也适用于11和7） （1）______，16142______（填能或不能）被13整除．另请证明这个“能被13整除的数的特征”的数学原理． （2）若，均为13的倍数，且，，（，，，且，，均为整数）．规定，当时，求的最大值． 11. 小明在学习历史时，想到可以用数轴上点表示年份．由于历史上只有公元1年和公元前1年，没有公元0年，所以他制作了一条没有数0的“历史数轴”，其中公元前的年份表示为负数，如图所示． （1）记历史事件发生的年份为，历史事件发生的年份为，并记这条“历史数轴”上表示数和数的两个点之间的距离为． ①据资料记载： 历史事件：公元前287年，阿基米德诞生； 历史事件：公元前212年，阿基米德逝世； 历史事件：公元前104年，我国古代第一部完整的历法《太初历》颁布实施； 历史事件：公元85年，《太初历》停止使用． 则___________；___________（均用数字填空）； ②小明查阅了某初中数学教材中出现过的8位数学家的生卒年份，如下表所示： 数学家 徐光启 伽利略 牛顿 莱布尼兹 布丰 欧拉 高斯 华罗庚 生年 1562 1564 1642 1646 1707 1707 1777 1910 卒年 1633 1642 1727 1716 1788 1783 1855 1985 根据以上数据可知，在公元_________年，这8位数学家中同时在世的人数最多（填写一个年份即可，且不能填写表中已出现过的年份）； （2）小亮受“历史数轴”启发，也制作了一个有趣的“缺数码的数轴”（2，3，…，9）：“数轴”上仍有原点和单位长度，自原点向右，距离原点1，2，3，4，…个单位长度的点表示的数仍为从小到大依次排列的正整数，但每个数中都不包含数码．例如，当时，自原点向右，距离原点1，2，3，…，20，…个单位长度的点表示的数依次为1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，13，14，15，16，17，18，19，30，31，33，…．记该“数轴”上表示正数和正数的两个点之间的距离为． ①若，则的值为__________； ②若为正整数，，则__________（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省江门市新会区正雅学校 七年级（下）月考数学试卷（B卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、填空题：本题共6小题，共33分． 1. 三个互不相等的有理数，既可以表示为，，的形式，也可以表示为，，的形式，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数的运算和有理数的乘方，根据题意可得或或，分别求解即可．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵三个互不相等有理数，既可以表示为，，的形式，也可以表示为，，的形式， ∴这两组的数分别对应相等， ①当时，则， 那么，，， ∴； ②当时，则， 此时，与三个互不相等的有理数矛盾； ③当时， 若，，则，与三个互不相等的有理数矛盾； 若，则不成立； 综上所述，． 故答案为：． 2. 已知关于x，y的方程组的解为整数，且关于y的多项式为二次三项式，则所有满足条件的整数a的和为_____ 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组、多项式等知识点，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 先解方程组，再根据其解是整数，确定a的可能值，再根据多项式的次数和项数，进一步求出a的值，然后求和即可． 【详解】解：得：， ∵关于x，y的方程组的解为整数且a为整数， ∴， ∴或4或1或3； ∵是二次三项式， ∴，即； ∴或4或3， ∴所有满足条件的整数a的和为． 故答案为：7． 3. 如图，已知，，，则______． 【答案】##360度 【解析】 【分析】本题考查了平行公理推理，平行线的性质等知识．过作，再证明，先证明，，再证明，，分别代入原式即可得到一个周角，问题得解． 【详解】解：如图，过作． ∵， ∴． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 4. 已知是一个正整数，记的值，例如，．若，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据F（x）的意义，用含m和绝对值的式子表示出方程F（1）+F（2）+…+F（20）=30，根据m是正整数，可以依次试验，确定m的值． 【详解】解：由题意可得：F（1）+F（2）+…+F（20）=30 +++…+=30 m为正整数， ∴当m=1时， +++…+30 则m1 当m=2时， +++…+30 则m2 … 当m=6时， +++…+=30 则m=6 当m=7时， +++…+30 则m7 … 当m=20时，+++…+30 则m20 综上m=6 【点睛】本题考查了绝对值和新定义运算．明白新定义并会运用新定义是解决本题的关键． 5. 某公司有四个部门：、、、，需要选择会议室，部门、、、需要的会议室数量分别为2、3、4、5个．会议室的编号为1至15号，电梯口左右两侧分别是单数编号的会议室和双数编号的会议室，如图所示．每个部门在选择会议室时，只能选择相邻的会议室，并且所选会议室的编号之和尽可能小．如果部门先选，它选择了1号和2号会议室，接着部门选择了3号、5号、7号会议室，要使部门、都能选到会议室，则接下来应该让___________（填或者）部门选．如果部门首先选择会议室，要使其他三个部门都能选到会议室，写出一种满足条件的选择会议室的先后顺序___________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题主要考查了逻辑与推理，理解题意列举出所有的顺序情况是解题的关键． （1）如果部门先选，接着部门选择，列举出接下来让部门选和让部门选的情况，分别判断是否符合题意即可得出结论； （2）如果部门首先选择会议室，由题意可知，它会选择1号、2号、4号、6号会议室，分3种情况讨论：①接下来让部门选；②接下来让部门选；③接下来让部门选，列举出所有的顺序情况，逐个分析判断即可得出结论． 【详解】解：（1）如果部门先选，它选择了1号和2号会议室，接着部门选择了3号、5号、7号会议室， 若接下来让部门选，它会选择4号、6号、8号、10号会议室，此时剩下的会议室没有5个相邻的，则部门不能选上会议室，不符合题意； 若接下来让部门选，它会选择4号、6号、8号、10号、12号会议室，最后让部门选，它会选择9号、11号、13号、15号会议室，则部门、都能选到会议室，符合题意； 故答案为：． （2）如果部门首先选择会议室，由题意可知，它会选择1号、2号、4号、6号会议室， 下面分3种情况讨论： ①接下来让部门选，它会选择3号、5号会议室： 若接下来让部门选，它会选择7号、9号、11号会议室，此时剩下的会议室没有5个相邻的，则部门不能选上会议室，不符合题意； 若接下来让部门选，它会选择7号、9号、11号、13号、15号会议室，最后让部门选，它会选择8号、10号、12号会议室，则部门、、都能选到会议室，符合题意； ②接下来让部门选，它会选择3号、5号、7号会议室，此时剩下的会议室没有5个相邻的，则部门不能选上会议室，不符合题意； ③接下来让部门选，它会选择3号、5号、7号、9号、11号会议室： 若接下来让部门选，它会选择8号、10号会议室，此时剩下的会议室没有3个相邻的，则部门不能选上会议室，不符合题意； 若接下来让部门选，它会选择8号、10号、12号会议室，最后让部门选，它会选择13号、15号会议室，则部门、、都能选到会议室，符合题意； 综上所述，满足条件的选择会议室的先后顺序为或． 故答案为：或． 6. 某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk（xk，yk）处，其中x1＝1，y1＝1，当k≥2时，xk＝xk﹣1+1﹣5（[]﹣[]），yk＝yk﹣1+[]﹣[]，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.8]＝2，[0.3]＝0．按此方案，则第2019棵树种植点的坐标为_____． 【答案】（4，404） 【解析】 【分析】分别根据所给的xk和yk的关系式找到种植点的横坐标与纵坐标的规律性的式子，然后把2019代入计算即可． 【详解】解：根据题意，x1＝1 x2﹣x1＝1﹣5[]+5[] x3﹣x2＝1﹣5[]+5[] x4﹣x3＝1﹣5[]+5[] … xk﹣xk﹣1＝1﹣5[]+[] ∴x1+（x2﹣x1）+（x3﹣x2）+（x4﹣x3）+…+（xk﹣xk﹣1） ＝1+1﹣5[]+5[]+1﹣5[]+5[]+1﹣5[]+5[]+…+1﹣5[]+[] ∴xk＝k﹣5[] 当k＝2019时，x2019＝2019﹣5[] ＝2019﹣5×403 ＝4 y1＝1 y2﹣y1＝[]﹣[] y3﹣y2＝[]﹣[] y4﹣y3＝[]﹣[] … yk﹣yk﹣1＝[]﹣[] ∴yk＝1+[] 当k＝2019时，y2019＝1+[]＝1+403＝404 ∴第2019棵树种植点的坐标为（4，404）． 故答案为：（4，404）． 【点睛】本题考查了如何根据坐标确定位置，根据题意发现点的横纵坐标的规律是解题的关键． 二、解答题：本题共5小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 7. 平面上有6条直线，共有12个不同的交点，画出它们可能的位置关系(画三种图形)． 【答案】详见解析. 【解析】 【分析】从平行线的角度考虑，先考虑只有二条直线平行，再考虑三条平行，作出草图即可看出． 【详解】如下图． 【点睛】本题考查平行线与相交线的综合运用．没有明确平面上六条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想． 8. 已知整点（横纵坐标都是整数）P在平面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋字型跳跃）．例如在图1中，从点A做一次“跳马运动”，可以到点B，也可以到达点C．设P0做一次跳马运动到点P1，做第二次跳马运动到点P2，做第三次跳马运动到点P3，…，如此依次进行． （1）若P0（1，0），则P1可能是下列的点 　 　． D（﹣1，2）；E（﹣2，0）；F（0，2） （2）已知点P0（4，2），P2（1，3），则点P1的所有可能坐标为 　 　； （3）若P0（0，0），则、可能与P0重合的是 　 　． （4）如图2，点P0（1，0）沿x轴正方向向右上方做跳马运动，若P跳到Q1位置，称为做一次“正横跳马”；若P跳到Q2位置，称为做一次“正竖跳马”．当点P连续做了a次“正横跳马”和b次“正竖跳马”后，到达点Pn（14，11），求a+b的值． 【答案】（1）F（0，2）；（2）P1（2，1）或（3，4）；（3）；（4）． 【解析】 【分析】（1）根据跳马运动一次，则有2种情况，一种为横坐标之差的绝对值为1个单位，纵坐标之差的绝对值为2个单位；另一种为横坐标之差的绝对值为2个单位，纵坐标之差的绝对值为1个单位可得答案； （2）分类讨论，根据规律求解可得答案； （3）假设第一次跳马跳到（1，2），第二次跳马跳到（0，0），，寻找规律，由n为偶数时，与重合，据此即可求解； （4）根据题意得出方程组，解方程组可得答案． 【详解】（1）由题意得：与的横坐标之差的绝对值为1个单位，纵坐标之差的绝对值为2个单位或横坐标之差的绝对值为2个单位，纵坐标之差的绝对值为1个单位， ，=2，不满足条件； ，，不满足条件； ，，满足条件； 则P1可能是点F（0，2）； 故答案：F（0，2）； （2）∵，∴或， ①当即时，， 当，即时，，， ∴满足条件，此时P1（3，4）； 当，即时，，， ∴此时，不满足条件； ②当即时，， 当，即时，，， ∴此时，不满足条件； 当，即时，，， ∴满足条件，此时P1（2，1）； 综上，P1（2，1）或（3，4）； （3）假设第一次跳马跳到（1，2），第二次跳马跳到（0，0）， 第三次跳马跳到（1，2），第四次跳马跳到（0，0）， ， 依此类推，由n为偶数时，与重合， 则、可能与重合的是； 故答案为：； （4）做正横跳马时，横坐标增加2，纵坐标增加1； 做正竖跳马时，横坐标增加1，纵坐标增加2； ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查的是点的坐标以及二元一次方程组，掌握其规律是解决此题的关键． 9. 数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 【答案】〖任务1〗 〖任务2〗 〖任务3〗 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，角平分线的定义，作辅助线构造平行线是解题的关键． （1）根据折叠的性质和平行线的性质解题即可； （2）根据平行线的性质得到，然后根据角的和差得到，然后根据解题即可； （3）根据任务的结论计算，然后过点作，则，然后根据平行线的性质得到，，然后根据即可得到结论． 【详解】解：〖任务1〗如图1，则， 又∵ ∴， ∴； 〖任务2〗解：由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； 〖任务3〗由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 10. 介绍一个“能被13整除的数的特征”的数学小知识：一个多位数（数位大于等于4）的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差记为，如果能被13整除，则这个多位数就一定能被13整除．例如数字160485，这个数末三位是485，末三位以前是160，，．即325能被13整除，那么160485也能被13整除．（注：这个规律也适用于11和7） （1）______，16142______（填能或不能）被13整除．另请证明这个“能被13整除的数的特征”的数学原理． （2）若，均为13的倍数，且，，（，，，且，，均为整数）．规定，当时，求的最大值． 【答案】（1）126；不能；证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）①根据题干中的条件将142减去16即为所求；②将16142除以13不能除尽，因此可得出结论“不能”；③设出这个数为1000m+n，将它的F（1000m+n）的表达式求出来，利用它是13的整数倍，设它为13k，将得到的等式再带回到1000m+n中，即可证明出结论； （2）利用a、b、c的限定范围和为13的倍数，先确定出a的值，进而得到，进一步求出，得到，进一步判断即可得到b和c的对应值，从而可完成求解． 【详解】解：（1）①142－16=126； ②∵16142÷13=124……2， ∴16142不能被13整除； ③证明：设这个数为1000m+n； 因此这个数的末3位数为n，末三位数以前的数为m， ∴F（1000m+n）=， 若能被13整除，则设=13k， ∴m=13k+n或n=13k+m， ∴1000m+n=1000（13k+n）+n=13000k+1001n=13（1000k+77n）， 或1000m+n=1000m+13k+m=1001m+13k=13（77m+k）， ∴一个多位数，如果能被13整除，则这个多位数就一定能被13整除． （2）∵，，（，，，且，，均为整数） ∴，， ∴，， ∵为13的倍数， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴，即， ∴ ∵，，且，均为整数， ∴，，，，； ∴或或或或， ∴的最大值为． 【点睛】本题属于新定义题型，综合考查了学生对代数的认识和分析推理的能力，解题的关键是要求学生能读懂题意，提取出正确的代数式，能通过计算确定其中字母的取值，或通过缩小范围来判断出字母的所有可能的取值等；本题蕴含了分类讨论的思想方法． 11. 小明在学习历史时，想到可以用数轴上的点表示年份．由于历史上只有公元1年和公元前1年，没有公元0年，所以他制作了一条没有数0的“历史数轴”，其中公元前的年份表示为负数，如图所示． （1）记历史事件发生的年份为，历史事件发生的年份为，并记这条“历史数轴”上表示数和数的两个点之间的距离为． ①据资料记载： 历史事件：公元前287年，阿基米德诞生； 历史事件：公元前212年，阿基米德逝世； 历史事件：公元前104年，我国古代第一部完整的历法《太初历》颁布实施； 历史事件：公元85年，《太初历》停止使用． 则___________；___________（均用数字填空）； ②小明查阅了某初中数学教材中出现过的8位数学家的生卒年份，如下表所示： 数学家 徐光启 伽利略 牛顿 莱布尼兹 布丰 欧拉 高斯 华罗庚 生年 1562 1564 1642 1646 1707 1707 1777 1910 卒年 1633 1642 1727 1716 1788 1783 1855 1985 根据以上数据可知，在公元_________年，这8位数学家中同时在世人数最多（填写一个年份即可，且不能填写表中已出现过的年份）； （2）小亮受“历史数轴”启发，也制作了一个有趣的“缺数码的数轴”（2，3，…，9）：“数轴”上仍有原点和单位长度，自原点向右，距离原点1，2，3，4，…个单位长度的点表示的数仍为从小到大依次排列的正整数，但每个数中都不包含数码．例如，当时，自原点向右，距离原点1，2，3，…，20，…个单位长度的点表示的数依次为1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，13，14，15，16，17，18，19，30，31，33，…．记该“数轴”上表示正数和正数的两个点之间的距离为． ①若，则的值为__________； ②若为正整数，，则__________（用含的式子表示）． 【答案】（1）①75；188；②1708（答案不唯一） （2）①3；② 【解析】 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，有理数的乘方，数字类规律探索，理解题意是解题关键． （1）①根据“历史数轴”的定义求解即可； ②画出各数学家的生卒年份数轴即可得解； （2）①根据“缺数码的数轴”的定义，得出不符合题意；当或时，不符合题意；即或，再分类讨论求解即可； ②分别求出；；，即得出规律，即得出． 【小问1详解】 解：（1）①，； ②由题意画出年份如图， 由图可知这8位数学家中同时在世的人数最多的为1707到1716年，为四位数学家， ∴填写1707到1716年中任一个年份即可（不包含1707年和1716年）， 故可填1708． 故答案为：1708（答案不唯一）； 【小问2详解】 解：①表示24的点和表示68的点在正常数轴上的距离为， 由“缺数码的数轴”的定义可知原来距离为10的两点现在距离为9， 设缺码的数为k， ∵， ∴正常数轴中若以距离10为1组，则表示24的点和表示68的点之间有4组，还余4． 若，则，与不符； ∵中有和两数， ∴当或时，，与不符； ∴或． 当时，，，，，， ∴符合题意； 当时，，，，，， ∴不符合题意． 综上可知； ②由题意可知正常数轴距离为10的，现在距离为9； 原来距离为100的，现在距离为； 原来距离为1000的，现在距离为， ……， ∴； ； ， ……， ∴当正整数，时， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $