精品解析： 黑龙江省大庆市让胡路区景园中学2024-2025学年九年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年黑龙江省大庆市让胡路区景园中学九年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，属于正比例函数是（    ） A. B. C. D. 2. 已知点，若点到两坐标轴的距离相等，求的值（    ） A. B. C. 或 D. 或 3. 下列命题中，为假命题的是（    ） A. 同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行 B. 的平方根是 C. 两直线平行，内错角相等 D. 任何数都有立方根 4. 若，则可化简为（ ）． A. B. C. D. 5. 若关于、的方程组和有相同的解，则的值是（    ） A. B. C. D. 6. A、B两地相距，甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图所示的折线和线段分别表示甲、乙两人与地的距离与时间之间的函数关系，且OP与EF交于点．下列说法中错误的是（ ）． A. 甲乙出发后相遇 B. 甲骑自行车的速度为 C. 两人相遇地点与地的距离为 D. 甲、乙相距时，出发时间为 7. 如图，直线分别与、轴交于点、，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②点；③直线的解析式为；④正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①③④ 8. 若正方形，，，按如图所示的方式放置．点，，，在直线上，且直线与轴的夹角为，点，，，在轴上，已知点，则的坐标是（    ） A. B. C. D. 9. 已知非负数 x，y，z 满足，设 W = 3x－2y + z，则 W 的最大值与最小值的和为（ ） A. -2 B. -3 C. -4 D. -6 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 10. 如果直线经过第二象限，那么m的取值范围是________． 11. 某校在期末考核学生英语成绩时，将口语、听力、笔试成绩按的比例计入总分来确定学生的英语成绩，小明的口语、听力、笔试成绩分别为90分、80分、90分，则小明这学期的英语成绩是______． 12. 已知，，估计的值约为____．（结果精确到两位小数） 13. 函数的自变量的取值范围是________． 14. 已知实数m，n满足(m＋2)2＋＝0，则点P(m，n)和点Q(2m＋2，n－2)关于________轴对称． 15. 已知个数据，，，，的平均数为，方差是；另个数据，，，，的平均数也是，方差是．把这两组数据合在一起得到个数据，，，，，，，，，，则这个数据的方差为______． 16. 如图，一次函数的图象经过点，当时，的取值范围是_____． 17. 用四张形状、大小完全相同的小长方形纸片，在平面直角坐标系中摆成如图所示图案，若点，则点的坐标是______． 18. 关于的不等式组，若其整数解只有2个，则的取值范围是_____． 19. 已知如图，点，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度运动到，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是____时，点在整个运动过程中用时最少。 三、解答题：本题共8小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算： （1）； （2）． 21. 解下列不等式组： （1）； （2）． 22. 如图，三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出关于轴对称的图形（用刻度尺作图，禁止反复涂抹）； （2）求的面积； （3）在轴上作一点，使得的值最小．画出点（在（1）问坐标系作图，保留作点的过程痕迹），并直接写出最小值． 23. 某校甲乙两班联合举办了“经典诵读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理、分析．下面给出了部分信息． 甲班名学生竞赛成绩：，，，，，，，，，． 乙班名学生竞赛成绩：，，，，，，，，，． 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 乙班 ， 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ______， ______， ______； （2）根据【分析数据】中的信息，哪个班成绩比较好？选择一个数据简要说明理由； （3）甲班共有学生人，乙班共有学生人．按竞赛规定，分及分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 24. 已知方程组解x为非正数，y为负数． （1）求a的取值范围； （2）化简； （3）在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式的解集为？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于点A，点B，直线与相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点E，点P是x轴上的一个动点． （1）求直线的表达式； （2）求的面积； （3）当 的面积等于的面积的一半时，请求出点P的坐标． 26. 我市为美化城市，有关部门决定利用甲种花卉和乙种花卉搭配成、两种园艺造型摆放在主干道两侧．搭配数量如下表所示： 甲种花卉（盆） 乙种花卉（盆） 种园艺造型（个） 80盆 40盆 种园艺造型（个） 50盆 90盆 （1）已知搭配一个种园艺造型和一个种园艺造型共需成本500元．若园林局搭配种园艺造型24个，种园艺造型15个共投入9300元．则两种园艺造型的成本分别是多少元？ （2）如果搭配、两种园艺造型共50个，其中甲种花卉不超过3490盆，乙种花卉不超过2950盆，问符合题意搭配方案有哪几种？ （3）在（1）的条件下，若一个种造型的售价是285元，一个种造型的售价是370元，为提高销量，决定对种造型进行促销，每售出一个种造型，返还顾客元，要使（2）中所有方案获利相同，则的值为___________．（直接写出结果） 27. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以为直角顶点在第一象限内作等腰，其中，． （1）求直线解析式和点的坐标； （2）如图，点是的中点，点是直线上一动点，连接、，求的最小值，并求出当取最小值时点的坐标； （3）在（2）的条件下，当取最小值时．直线上存在一点，使，求点坐标．（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年黑龙江省大庆市让胡路区景园中学九年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，属于正比例函数的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数，据此进行判断即可． 【详解】解：，，不符合正比例函数的定义，它们不是正比例函数， 符合正比例函数的定义，它是正比例函数， 故选：C． 2. 已知点，若点到两坐标轴的距离相等，求的值（    ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，列出绝对值方程是解题的关键，难点在于绝对值方程的求解．根据点到两坐标轴的距离相等列出绝对值方程，然后求解即可． 【详解】解：点到两坐标轴的距离相等， ， 或， 解得或． 故选：C． 3. 下列命题中，为假命题的是（    ） A. 同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行 B. 的平方根是 C 两直线平行，内错角相等 D. 任何数都有立方根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平行线的判定、平方根的概念、平行线的性质、立方根的概念判断． 【详解】解：、同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，是真命题，不符合题意； B、的平方根是，故此选项命题是假命题，符合题意； C、两直线平行，内错角相等，是真命题，不符合题意； D、任何数都有立方根，是真命题，不符合题意； 故选：B． 4. 若，则可化简为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．先求出，，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：成立， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 5. 若关于、的方程组和有相同的解，则的值是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，算术平方根，掌握解二元一次方程组的方法，二元一次方程组解的定义是解题的关键．由题意可组成新的方程组为：，利用加减消元法解方程组求出，的值，然后把，的值代入方程和方程，求出，的值，最后再把，的值代入进行计算即可． 【详解】解：由题意，可得方程组， ，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， 把，代入方程和方程，得，， 解得：，， ． 故选：A． 6. A、B两地相距，甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图所示的折线和线段分别表示甲、乙两人与地的距离与时间之间的函数关系，且OP与EF交于点．下列说法中错误的是（ ）． A. 甲乙出发后相遇 B. 甲骑自行车的速度为 C. 两人相遇地点与地的距离为 D. 甲、乙相距时，出发时间为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象中的数据，可以计算出各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可得，甲乙出发后0.5h相遇，故A正确，不符合题意； 乙步行的速度为：（km/h）， 则甲骑车速度为：（km/h），故B正确，不符合题意； 两人相遇地点与A地的距离为：（km），故C正确，不符合题意； 设线段对应的与x的函数关系式是， ∵点在函数的图象上， ∴， 解得， 即线段对应的y甲与x的函数关系式是； 设与x的函数关系式是， ∵点在函数的图象上， ∴，解得， 即与x的函数关系式是， 令， 解得， 即经过小时或小时，甲、乙两人相距，故D错误，符合题意； 故选：D． 7. 如图，直线分别与、轴交于点、，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②点；③直线的解析式为；④正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的解析式求出点、点的坐标，由勾股定理求出的长即可判断①；由折叠的性质可得：，，，由勾股定理可求出的长，进而求出点的坐标，可判断②；利用待定系数法可求的解析式，可判断③；由面积公式可求的长，从而得出点的纵坐标，将其代入直线的解析式中即可求出点的坐标，可判断④． 【详解】解：直线分别与、轴交于点、， 点，点， ，， ，故①正确； 线段沿翻折，点落在边上的点处， ，，， ， ， ， ， 点，故②不正确； 设直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为：，故③正确； 如图，过点作于， ， ， ， ， 当时，， ， 点的坐标为，故④不正确． 故选：B． 【点睛】本题是一次函数的综合题、考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股定理等知识，灵活应用这些性质解决问题是关键． 8. 若正方形，，，按如图所示的方式放置．点，，，在直线上，且直线与轴的夹角为，点，，，在轴上，已知点，则的坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律问题，正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．求出直线解析式为，然后求出，，的坐标，探究规律后即可解决问题． 【详解】解：直线与轴的夹角为， 直线与轴交点坐标为， 设直线解析式为：，代入点， 得， 解得：， ∴直线解析式为， 四边形是正方形， ， 把代入，得：， 的坐标为， 四边形是正方形， ， ∴， 同理可得，坐标为， 坐标为． 的坐标为． 故选：C． 9. 已知非负数 x，y，z 满足，设 W = 3x－2y + z，则 W 的最大值与最小值的和为（ ） A. -2 B. -3 C. -4 D. -6 【答案】D 【解析】 【分析】设，求得，，，则又由x，y，z均为非负实数，即可求得k的取值范围，进而可求得W的取值范围，得出W的最大值和最小值，从而解题． 【详解】解：设， ∴，，， ∵x，y，z均为非负实数， ∴ ， 解得：， ∵， ∴， ∴，即：， ∴W 的最大值是-2，最小值是-4，它们的和为-6； 故选：D． 【点睛】此题考查了最值问题．解此题的关键是设比例式：，根据已知求得k的取值范围及W的取值范围．此题难度适中，注意仔细分析求解． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 10. 如果直线经过第二象限，那么m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．依据题意，由直线经过第二象限，则，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，∵直线经过第二象限， ∴． ∴． 故答案为：． 11. 某校在期末考核学生的英语成绩时，将口语、听力、笔试成绩按的比例计入总分来确定学生的英语成绩，小明的口语、听力、笔试成绩分别为90分、80分、90分，则小明这学期的英语成绩是______． 【答案】88 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数：若个数，，，，的权分别是，，，，则叫做这个数的加权平均数（其中）． 根据加权平均数的公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意得： （分）， 即小明这学期的英语成绩是88分， 故答案为：88． 12. 已知，，估计的值约为____．（结果精确到两位小数） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质及算术平方根的估算，解题的关键是利用二次根式的性质，其中，将待求的算术平方根转化为已知的算术平方根进行计算． 观察可知可分解为与的乘积，而是完全平方数，因此可利用二次根式的性质将转化为，再结合已知的和进行估算． 【详解】解：∵， ∴根据二次根式的性质，可得： ． ∵，， ∴． 故答案为：． 13. 函数的自变量的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，根据被开方数大于等于，零指数幂的底数不等于列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，且﹣， 解得且． 故答案为：且． 14. 已知实数m，n满足(m＋2)2＋＝0，则点P(m，n)和点Q(2m＋2，n－2)关于________轴对称． 【答案】x 【解析】 【详解】【分析】根据非负数性质定理可求m,n；由点P,Q的坐标推出P,Q的位置关系. 【详解】由(m＋2)2＋＝0，可得m+2=0,n-1=0. 所以，m=-2,n=1. 所以，P(-2,1),Q(-2,-1)， 所以点P,Q关于x轴对称. 故答案为x 【点睛】本题考核知识点：非负数性质，用坐标表示轴对称. 解题关键点：求出点的坐标. 15. 已知个数据，，，，的平均数为，方差是；另个数据，，，，的平均数也是，方差是．把这两组数据合在一起得到个数据，，，，，，，，，，则这个数据的方差为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方差和平均数，掌握方差和平均数的计算公式是解决问题的关键．根据方差的定义，代入公式进行计算，即可求出结果． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，一次函数的图象经过点，当时，的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键．先求出一次函数的解析式，再根据数形结合思想求解． 【详解】解：点， 直线：， 一次函数的图象经过点， 由图象得：的解集为：， 故答案为：． 17. 用四张形状、大小完全相同的小长方形纸片，在平面直角坐标系中摆成如图所示图案，若点，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，坐标与图形，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设小长方形纸片的长为x，宽为y，根据点A的坐标，列出二元一次方程组，解得的值，结合点B所在的象限，即可得出结论． 【详解】解：设小长方形纸片的长为x，宽为y， 依题意得：， 解得：， 又∵点B在第二象限， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 18. 关于的不等式组，若其整数解只有2个，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先求出不等式的解集，再根据求出不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组的整数解得出答案即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得 ∴不等式组的解集为：， 整数解只有2个，所以整数解是1，2 ， ． 故答案为：． 19. 已知如图，点，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度运动到，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是____时，点在整个运动过程中用时最少。 【答案】 【解析】 【分析】用AF和DF把时间表示出来，发现用时为，如下图过F作DC的垂线，垂足为E，经论证知，这样就把求时间最短问题，转化为求AF+FE的最短问题，而AF、FE两条线段，F点在BD上运动，E在BC上运动，因此又可把AF+FE的最短问题转化为求A点到BC上一点的连线的最短问题，由垂线短最短知，当AE⊥CD时，AF+FE最短，即用时最短，如下图中的AE1即是最短用时、F1即是所求的点．接下来，只要运用一次函数的知识求出F1的坐标也就是所要求的时间最短时F的坐标． 【详解】 如图，分别作轴，轴，使直线交于点， 又 为等腰直角三角形 过点作于点，连接 又当时，取得最小值 此时 即 此时与交于 的横坐标等于的横坐标 设直线的解析式为 代入两点得 即 把代入得 即当时，在整个运动过程中用时最少． 【点睛】此题是典型的几何最值问题（胡不归）及求直线上点的坐标问题．此类问题包括定和算两部分：定就是运用“两点之间线段最短”、“垂线段最段”等有关最短的几何性质，找到取最值的几何图形；算就是运用勾股定理、相似形、函数等相关知识计算最值是多少和其它需要确定的量． 三、解答题：本题共8小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化简括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，计算负整数指数幂，再算乘法，然后算加法即可； （2）先化简，然后计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 解下列不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤． （1）先根据解一元一次不等式的一般步骤，求出各个不等式的解集，再根据判断不等式组解集的口诀判断不等式组的解集即可； （2）先根据解一元一次不等式的一般步骤，求出各个不等式的解集，再根据判断不等式组解集的口诀判断不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为； 【小问2详解】 解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为． 22. 如图，三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出关于轴对称的图形（用刻度尺作图，禁止反复涂抹）； （2）求的面积； （3）在轴上作一点，使得的值最小．画出点（在（1）问坐标系作图，保留作点的过程痕迹），并直接写出最小值． 【答案】（1）见解析 （2） （3），图见解析 【解析】 【分析】此题重点考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、三角形的面积公式、勾股定理等知识，正确地画出图形并且添加相应的辅助线是解题的关键． （1）先找到点，，关于轴的对称点分别为、、，再画出即可； （2）取点、、，画出正方形，由求得； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则，所以，则的值最小，取点，连接、，求得，则的最小值为． 【小问1详解】 解：点，，， 点，，关于轴的对称点分别为、、， 连接、、， 就是所求的三角形． 【小问2详解】 解：取点、、，连接、、、， ， 的面积为． 【小问3详解】 解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 点就是所求的点， 的最小值为． 理由：取点，连接、、， 被轴垂直平分， ， ， 的值最小， ，， ， 的最小值为． 23. 某校甲乙两班联合举办了“经典诵读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理、分析．下面给出了部分信息． 甲班名学生竞赛成绩：，，，，，，，，，． 乙班名学生竞赛成绩：，，，，，，，，，． 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 乙班 ， 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ______， ______， ______； （2）根据【分析数据】中的信息，哪个班成绩比较好？选择一个数据简要说明理由； （3）甲班共有学生人，乙班共有学生人．按竞赛规定，分及分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 【答案】（1），， （2）乙班成绩比较好，理由见解析 （3）估计这两个班可以获奖的总人数是人． 【解析】 【分析】本题考查方差、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据众数、中位数和方差的定义进行求解即可； （2）根据平均数和方差的意义判断即可； （3）分别用甲乙两个班的人数乘以样本中对应班级成绩在分及分以上的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：甲班名学生竞赛成绩从小到大排列为：，，，，，，，，，， 第个数和第个数都是， 中位数； 甲班成绩中分的最多，所以众数， 乙班成绩的方差， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：乙班成绩比较好， 理由如下：两个班的平均数相同，乙班的方差小于甲班，代表乙班成绩比甲班稳定，所以乙班成绩比较好； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计这两个班可以获奖的总人数是人． 24. 已知方程组的解x为非正数，y为负数． （1）求a的取值范围； （2）化简； （3）在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式的解集为？ 【答案】（1） （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）先把a当作已知求出x、y的值，再根据x、y的取值范围得到关于a的一元一次不等式组，求出a的取值范围即可； （2）根据a的取值范围去掉绝对值符号，把代数式化简即可； （3）根据不等式的解为得出且，解此不等式得到关于a取值范围，找出符合条件的a的值． 【小问1详解】 解：， ∵得：，， 得：，， ∵方程组的解x为非正数，y为负数， ∴且， 解得：； 【小问2详解】 ∵， ∴，， ∴； 【小问3详解】 ， ∵不等式的解为， ∴， ∴， ∵， a为整数， ∴a的值是， ∴当a为时，不等式的解为． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组及解一元一次不等式组、代数式的化简求值，先把a当作已知求出x、y的值，再根据已知条件得到关于a的不等式组求出a的取值范围是解答此题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于点A，点B，直线与相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点E，点P是x轴上的一个动点． （1）求直线的表达式； （2）求的面积； （3）当 的面积等于的面积的一半时，请求出点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何问题，用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数与图形的面积问题是解题的关键． （1）把点的坐标代入计算，求得点C的坐标，再用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）先求出两直线与y轴的交点坐标，即可利用三角形面积公式求解； （3）设点P的坐标为，再用三角形面积公式列出方程，解方程即得答案． 【小问1详解】 解：把点的坐标代入，得， ， 设直线的表达式为， 把点，的坐标代入，得， 解得， 直线的表达式为； 【小问2详解】 解：由题意及（1）可知，， ， 的面积为； 【小问3详解】 解：设点P的坐标为， 当 的面积等于的面积的一半时， ， 解得或， 点P的坐标为或． 26. 我市为美化城市，有关部门决定利用甲种花卉和乙种花卉搭配成、两种园艺造型摆放在主干道两侧．搭配数量如下表所示： 甲种花卉（盆） 乙种花卉（盆） 种园艺造型（个） 80盆 40盆 种园艺造型（个） 50盆 90盆 （1）已知搭配一个种园艺造型和一个种园艺造型共需成本500元．若园林局搭配种园艺造型24个，种园艺造型15个共投入9300元．则两种园艺造型的成本分别是多少元？ （2）如果搭配、两种园艺造型共50个，其中甲种花卉不超过3490盆，乙种花卉不超过2950盆，问符合题意的搭配方案有哪几种？ （3）在（1）的条件下，若一个种造型的售价是285元，一个种造型的售价是370元，为提高销量，决定对种造型进行促销，每售出一个种造型，返还顾客元，要使（2）中所有方案获利相同，则的值为___________．（直接写出结果） 【答案】（1）两种园艺造型成本分别为200元和300元 （2）一共有三种方案：A种园艺造型31，B种园艺造型19；A种园艺造型32，B种园艺造型18；A种园艺造型33，B种园艺造型17 （3）15 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，整式加减中的无关型问题： （1）设A种园艺造型的成本为元，B种园艺造型的成本为元，根据一个种园艺造型和一个种园艺造型共需成本500元，搭配种园艺造型24个，种园艺造型15个共投入9300元，列出方程组进行计算即可； （2）设搭配A种园艺造型m个，搭配B种园艺造型个，根据题意，列出不等式组进行求解即可； （3）设总利润为，进而推出，根据三种费用的利润相同，即利润与的值无关，得到，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设A种园艺造型的成本为元，B种园艺造型的成本为元， 根据题意得：， 解得：； 答：两种园艺造型成本分别为200元和300元； 【小问2详解】 解：设搭配A种园艺造型m个，搭配B种园艺造型个， 根据题意得：， 解得：， ∵为整数， ∴， ∴； 故共有3种方案：A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；A种园艺造型33个，B种园艺造型17个； 【小问3详解】 解：设总利润为， 由题意，得： ， ∵三种费用的利润相同，即利润与的值无关， ∴， ∴． 27. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以为直角顶点在第一象限内作等腰，其中，． （1）求直线的解析式和点的坐标； （2）如图，点是的中点，点是直线上一动点，连接、，求的最小值，并求出当取最小值时点的坐标； （3）在（2）的条件下，当取最小值时．直线上存在一点，使，求点坐标．（直接写出答案） 【答案】（1）， （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）设直线的表达式为，将点，点代入求出，，进而可得直线的表达式；过点作轴于点，证明和全等得，，则，由此可得点的坐标； （2）延长到，使，连接交于点，连接，则是线段的垂直平分线，进而得，则，由此得当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，则当，，共线时，为最小，此时点与点重合，再分别求出点，点，利用待定系数法求出直线的表达式为，解方程组可得点的坐标； （3）在的条件下，直线的表达式为，点，设点的坐标为，先求出，进而得，过点作直线轴，交于点，过点作于点，过点M作于点，连接，再求出点，由此得，，，则，因此线段上不存在点，所以有以下两种情况：当点在的延长线上时，过点作于点，则，根据得，由此解得，进而可得点的坐标为；当点在的延长线上时，过点作于点，则，根据得，由此解得，进而可得点的坐标为，综上所述即可得出答案 【小问1详解】 解：设直线的表达式为：， 直线与轴交于点，与轴交于点， ， 解得：， 直线的表达式为：， 过点作轴于点，如图所示： ， ， 是等腰直角三角形，且，， ， ， 在和中， ， ， ，， 点，点， ，， ，， ， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：延长到，使，连接交于点，连接，如图所示： ， 是线段的垂直平分线， ， ， 当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， 当，，共线时，为最小，最小值为线段的长， 此时点与点重合， 点，点，点是的中点， 点的坐标为， 点，点，点是的中点， 点的坐标为， 设直线的表达式为：， 将点，点代入， 得：， 解得：， 直线的表达式为：， 解方程组：，得：， 点的坐标为， 当为最小时，点与点重合， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：点的坐标为或，理由如下： 在的条件下， 直线的表达式为：，点为， 设点的坐标为， ，， ， ， 过点作直线轴，交于点，过点作于点，过点作于点，连接，如图所示： 点， 点的横坐标为， 对于，当时，， 点， 点，点为， ，，， ， ， 线段上不存点，使， 有以下两种情况： 当点在的延长线上时，过点作于点，如图所示： 点， ， ， ， ， 解得：， ， 点的坐标为； 当点在的延长线上时，过点作于点，图所示： ， ， ， ， 解得：， ， 点的坐标为， 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数的交点坐标，待定系数法求一次函数的表达式，利用轴对称的性质求短路线，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，理解一次函数的图象，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，利用轴对称的性质求短路线的方法，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $