精品解析： 黑龙江省大庆市让胡路区景园中学2024-2025学年九年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年黑龙江省大庆市让胡路区景园中学九年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，属于正比例函数的是（ ）． A. B. C. D. 2. 已知点，若点到两坐标轴的距离相等，求的值（ ）． A. 1 B. 2 C. 0或2 D. 1或2 3. 下列命题中，为假命题的是（    ） A. 同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行 B. 的平方根是 C. 两直线平行，内错角相等 D. 任何数都有立方根 4. 若，则可化简为（ ）． A. B. C. D. 5. 若关于的方程组和有相同的解，则的值是（ ） A. －1 B. 1 C. －5 D. 5 6. A、B两地相距，甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图所示的折线和线段分别表示甲、乙两人与地的距离与时间之间的函数关系，且OP与EF交于点．下列说法中错误的是（ ）． A. 甲乙出发后相遇 B. 甲骑自行车的速度为 C. 两人相遇地点与地的距离为 D. 甲、乙相距时，出发时间为 7. 如图，直线分别与、轴交于点、，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②点；③直线的解析式为；④正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①③④ 8. 若正方形，，，按如图所示的方式放置．点，，，在直线上，且直线与轴的夹角为，点，，，在轴上，已知点，则的坐标是（    ） A. B. C. D. 9. 已知非负数 x，y，z 满足，设 W = 3x－2y + z，则 W 的最大值与最小值的和为（ ） A. -2 B. -3 C. -4 D. -6 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 10. 如果直线经过第二象限，那么m的取值范围是________． 11. 某校在期末考核学生的英语成绩时，将口语、听力、笔试成绩按的比例计入总分来确定学生的英语成绩，小明的口语、听力、笔试成绩分别为90分、80分、90分，则小明这学期的英语成绩是______． 12. 已知，，估计的值约为____．（结果精确到两位小数） 13. 函数的自变量的取值范围是________． 14. 已知实数m，n满足(m＋2)2＋＝0，则点P(m，n)和点Q(2m＋2，n－2)关于________轴对称． 15. 已知个数据，，，，的平均数为，方差是；另个数据，，，，的平均数也是，方差是．把这两组数据合在一起得到个数据，，，，，，，，，，则这个数据的方差为______． 16. 如图，一次函数的图象经过点，当时，的取值范围是_____． 17. 用四张形状、大小完全相同的小长方形纸片，在平面直角坐标系中摆成如图所示图案，若点，则点的坐标是______． 18. 关于的不等式组，若其整数解只有2个，则的取值范围是_____． 19. 已知如图，点，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度运动到，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是____时，点在整个运动过程中用时最少。 三、解答题：本题共8小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算 （1） （2） 21. 解下列不等式组 （1） （2） 22. 如图，三个顶点的坐标分别是． （1）画出关于轴对称的图形（用刻度尺作画，禁止反复涂抹）； （2）求的面积； （3）在轴上作一点，使得的值最小．画出点（在（1）问坐标系作图，保留作点的过程痕迹），并直接写出最小值． 23. 某校甲乙两班联合举办了“经典诵读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理、分析．下面给出了部分信息． 甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89 乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 51.4 乙班 80 80 80，85 c 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： _____， _____， _____； （2）根据【分析数据】中的信息，哪个班成绩比较好？选择一个数据简要说明理由； （3）甲班共有学生45人，乙班共有学生40人．按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 24. 已知关于、的方程组的解为非正数，为负数． （1）求的取值范围； （2）化简； （3）当为何整数时，不等式的解集为？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于点A，点B，直线与相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点E，点P是x轴上的一个动点． （1）求直线的表达式； （2）求的面积； （3）当 的面积等于的面积的一半时，请求出点P的坐标． 26. 我市为美化城市，有关部门决定利用甲种花卉和乙种花卉搭配成、两种园艺造型摆放在主干道两侧．搭配数量如下表所示： 甲种花卉（盆） 乙种花卉（盆） 种园艺造型（个） 80盆 40盆 种园艺造型（个） 50盆 90盆 （1）已知搭配一个种园艺造型和一个种园艺造型共需成本500元．若园林局搭配种园艺造型24个，种园艺造型15个共投入9300元．则两种园艺造型的成本分别是多少元？ （2）如果搭配、两种园艺造型共50个，其中甲种花卉不超过3490盆，乙种花卉不超过2950盆，问符合题意的搭配方案有哪几种？ （3）在（1）的条件下，若一个种造型的售价是285元，一个种造型的售价是370元，为提高销量，决定对种造型进行促销，每售出一个种造型，返还顾客元，要使（2）中所有方案获利相同，则的值为___________．（直接写出结果） 27. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以为直角顶点在第一象限内作等腰，其中，． （1）求直线的解析式和点的坐标； （2）如图，点是的中点，点是直线上一动点，连接、，求的最小值，并求出当取最小值时点的坐标； （3）在（2）的条件下，当取最小值时．直线上存在一点，使，求点坐标．（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年黑龙江省大庆市让胡路区景园中学九年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，属于正比例函数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数定义，根据正比例函数的定义进行解答即可，解题的关键是熟练掌握正比例函数的定义：一般地，形如（其中为常数且）的函数为正比例函数． 【详解】解：A．是一次函数，但不是正比例函数，故A不符合题意； B．不是正比例函数，故B不符合题意； C．是正比例函数，故C符合题意； D．不是正比例函数，故D不符合题意． 故选：C． 2. 已知点，若点到两坐标轴的距离相等，求的值（ ）． A. 1 B. 2 C. 0或2 D. 1或2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值，据此可得即或，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题可得 ∴或， 解得或2， 故选：C． 3. 下列命题中，为假命题的是（    ） A. 同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行 B. 的平方根是 C. 两直线平行，内错角相等 D. 任何数都有立方根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平行线的判定、平方根的概念、平行线的性质、立方根的概念判断． 【详解】解：、同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，是真命题，不符合题意； B、的平方根是，故此选项命题是假命题，符合题意； C、两直线平行，内错角相等，是真命题，不符合题意； D、任何数都有立方根，是真命题，不符合题意； 故选：B． 4. 若，则可化简为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．先求出，，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：成立， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 5. 若关于的方程组和有相同的解，则的值是（ ） A. －1 B. 1 C. －5 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知方程组和有相同的解，由可得，代入可得a，b的值，即可求的值． 【详解】解：根据题意，则， 由得：，解得：， 把代入①得：， 解得：； 把代入，则， 解得：， ， 故选：A． 6. A、B两地相距，甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图所示的折线和线段分别表示甲、乙两人与地的距离与时间之间的函数关系，且OP与EF交于点．下列说法中错误的是（ ）． A. 甲乙出发后相遇 B. 甲骑自行车的速度为 C. 两人相遇地点与地的距离为 D. 甲、乙相距时，出发时间为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象中的数据，可以计算出各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可得，甲乙出发后0.5h相遇，故A正确，不符合题意； 乙步行的速度为：（km/h）， 则甲骑车的速度为：（km/h），故B正确，不符合题意； 两人相遇地点与A地的距离为：（km），故C正确，不符合题意； 设线段对应的与x的函数关系式是， ∵点在函数的图象上， ∴， 解得， 即线段对应的y甲与x的函数关系式是； 设与x的函数关系式是， ∵点在函数的图象上， ∴，解得， 即与x的函数关系式是， 令， 解得， 即经过小时或小时，甲、乙两人相距，故D错误，符合题意； 故选：D． 7. 如图，直线分别与、轴交于点、，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②点；③直线的解析式为；④正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的解析式求出点、点的坐标，由勾股定理求出的长即可判断①；由折叠的性质可得：，，，由勾股定理可求出的长，进而求出点的坐标，可判断②；利用待定系数法可求的解析式，可判断③；由面积公式可求的长，从而得出点的纵坐标，将其代入直线的解析式中即可求出点的坐标，可判断④． 【详解】解：直线分别与、轴交于点、， 点，点， ，， ，故①正确； 线段沿翻折，点落在边上的点处， ，，， ， ， ， ， 点，故②不正确； 设直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为：，故③正确； 如图，过点作于， ， ， ， ， 当时，， ， 点的坐标为，故④不正确． 故选：B． 【点睛】本题是一次函数的综合题、考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股定理等知识，灵活应用这些性质解决问题是关键． 8. 若正方形，，，按如图所示的方式放置．点，，，在直线上，且直线与轴的夹角为，点，，，在轴上，已知点，则的坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律问题，正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．求出直线解析式为，然后求出，，的坐标，探究规律后即可解决问题． 【详解】解：直线与轴的夹角为， 直线与轴交点坐标为， 设直线解析式为：，代入点， 得， 解得：， ∴直线解析式为， 四边形是正方形， ， 把代入，得：， 的坐标为， 四边形是正方形， ， ∴， 同理可得，的坐标为， 坐标为． 的坐标为． 故选：C． 9. 已知非负数 x，y，z 满足，设 W = 3x－2y + z，则 W 的最大值与最小值的和为（ ） A. -2 B. -3 C. -4 D. -6 【答案】D 【解析】 【分析】设，求得，，，则又由x，y，z均为非负实数，即可求得k的取值范围，进而可求得W的取值范围，得出W的最大值和最小值，从而解题． 【详解】解：设， ∴，，， ∵x，y，z均为非负实数， ∴ ， 解得：， ∵， ∴， ∴，即：， ∴W 的最大值是-2，最小值是-4，它们的和为-6； 故选：D． 【点睛】此题考查了最值问题．解此题的关键是设比例式：，根据已知求得k的取值范围及W的取值范围．此题难度适中，注意仔细分析求解． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 10. 如果直线经过第二象限，那么m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．依据题意，由直线经过第二象限，则，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，∵直线经过第二象限， ∴． ∴． 故答案为：． 11. 某校在期末考核学生的英语成绩时，将口语、听力、笔试成绩按的比例计入总分来确定学生的英语成绩，小明的口语、听力、笔试成绩分别为90分、80分、90分，则小明这学期的英语成绩是______． 【答案】88 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数：若个数，，，，的权分别是，，，，则叫做这个数的加权平均数（其中）． 根据加权平均数的公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意得： （分）， 即小明这学期的英语成绩是88分， 故答案为：88． 12. 已知，，估计的值约为____．（结果精确到两位小数） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质及算术平方根的估算，解题的关键是利用二次根式的性质，其中，将待求的算术平方根转化为已知的算术平方根进行计算． 观察可知可分解为与的乘积，而是完全平方数，因此可利用二次根式的性质将转化为，再结合已知的和进行估算． 【详解】解：∵， ∴根据二次根式的性质，可得： ． ∵，， ∴． 故答案为：． 13. 函数的自变量的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，根据被开方数大于等于，零指数幂的底数不等于列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，且﹣， 解得且． 故答案为：且． 14. 已知实数m，n满足(m＋2)2＋＝0，则点P(m，n)和点Q(2m＋2，n－2)关于________轴对称． 【答案】x 【解析】 【详解】【分析】根据非负数性质定理可求m,n；由点P,Q的坐标推出P,Q的位置关系. 【详解】由(m＋2)2＋＝0，可得m+2=0,n-1=0. 所以，m=-2,n=1. 所以，P(-2,1),Q(-2,-1)， 所以点P,Q关于x轴对称. 故答案为x 【点睛】本题考核知识点：非负数性质，用坐标表示轴对称. 解题关键点：求出点的坐标. 15. 已知个数据，，，，的平均数为，方差是；另个数据，，，，的平均数也是，方差是．把这两组数据合在一起得到个数据，，，，，，，，，，则这个数据的方差为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方差和平均数，掌握方差和平均数的计算公式是解决问题的关键．根据方差的定义，代入公式进行计算，即可求出结果． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，一次函数的图象经过点，当时，的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键．先求出一次函数的解析式，再根据数形结合思想求解． 【详解】解：点， 直线：， 一次函数的图象经过点， 由图象得：的解集为：， 故答案为：． 17. 用四张形状、大小完全相同的小长方形纸片，在平面直角坐标系中摆成如图所示图案，若点，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，坐标与图形，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设小长方形纸片的长为x，宽为y，根据点A的坐标，列出二元一次方程组，解得的值，结合点B所在的象限，即可得出结论． 【详解】解：设小长方形纸片的长为x，宽为y， 依题意得：， 解得：， 又∵点B在第二象限， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 18. 关于的不等式组，若其整数解只有2个，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先求出不等式的解集，再根据求出不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组的整数解得出答案即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得 ∴不等式组的解集为：， 整数解只有2个，所以整数解是1，2 ， ． 故答案为：． 19. 已知如图，点，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度运动到，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是____时，点在整个运动过程中用时最少。 【答案】 【解析】 【分析】用AF和DF把时间表示出来，发现用时为，如下图过F作DC的垂线，垂足为E，经论证知，这样就把求时间最短问题，转化为求AF+FE的最短问题，而AF、FE两条线段，F点在BD上运动，E在BC上运动，因此又可把AF+FE的最短问题转化为求A点到BC上一点的连线的最短问题，由垂线短最短知，当AE⊥CD时，AF+FE最短，即用时最短，如下图中的AE1即是最短用时、F1即是所求的点．接下来，只要运用一次函数的知识求出F1的坐标也就是所要求的时间最短时F的坐标． 【详解】 如图，分别作轴，轴，使直线交于点， 又 为等腰直角三角形 过点作于点，连接 又当时，取得最小值 此时 即 此时与交于 的横坐标等于的横坐标 设直线的解析式为 代入两点得 即 把代入得 即当时，在整个运动过程中用时最少． 【点睛】此题是典型的几何最值问题（胡不归）及求直线上点的坐标问题．此类问题包括定和算两部分：定就是运用“两点之间线段最短”、“垂线段最段”等有关最短的几何性质，找到取最值的几何图形；算就是运用勾股定理、相似形、函数等相关知识计算最值是多少和其它需要确定的量． 三、解答题：本题共8小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，计算负整数指数幂，再算乘法，然后算加法即可； （2）先化简，然后计算加减法即可． 本题考查二次根式的混合运算，负整数指数幂，立方根，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 21. 解下列不等式组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【小问1详解】 解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：； 【小问2详解】 解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 22. 如图，三个顶点的坐标分别是． （1）画出关于轴对称的图形（用刻度尺作画，禁止反复涂抹）； （2）求的面积； （3）在轴上作一点，使得的值最小．画出点（在（1）问坐标系作图，保留作点的过程痕迹），并直接写出最小值． 【答案】（1） 如图，即为所求， ； （2）3.5 （3） 如图，点即为所求； 【解析】 【分析】（1）根据关于轴对称的点的坐标特征（纵坐标不变，横坐标互为相反数 ），找到、、三点关于轴的对称点，再顺次连接得到对称图形． （2）利用割补法，用矩形面积减去周围三个三角形的面积，从而计算出的面积． （3）依据轴对称的性质，作点关于轴的对称点（或利用（1）中关于轴对称点相关思路 ），连接与轴交点即为点，此时最小值为的长度，通过两点间距离公式计算． 本题主要考查了平面直角坐标系中的轴对称变换、三角形面积的割补法计算以及利用轴对称求最短路径，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标变化规律、割补法求面积和轴对称性质求最短路径是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：最小值为． 23. 某校甲乙两班联合举办了“经典诵读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理、分析．下面给出了部分信息． 甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89 乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 51.4 乙班 80 80 80，85 c 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： _____， _____， _____； （2）根据【分析数据】中的信息，哪个班成绩比较好？选择一个数据简要说明理由； （3）甲班共有学生45人，乙班共有学生40人．按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 【答案】（1）79，79，27 （2） 乙班成绩比较好， 理由如下：两个班的平均数相同，乙班的方差小于甲班，代表乙班成绩比甲班稳定，所以乙班成绩比较好； （3）估计这两个班可以获奖的总人数是42人 【解析】 【分析】本题考查方差、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据众数、中位数和方差的定义进行求解即可； （2）根据平均数和方差的意义判断即可； （3）分别用甲乙两个班的人数乘以样本中对应班级成绩在80分及80分以上的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：甲班10名学生竞赛成绩从小到大排列为：70，71，72，78，79，79，85，86，89，91， 第5个数和第6个数都是79， ∴中位数； 甲班成绩中79分的最多，所以众数， 乙班成绩的方差， 故答案为：79，79，27； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计这两个班可以获奖的总人数是42人． 24. 已知关于、的方程组的解为非正数，为负数． （1）求的取值范围； （2）化简； （3）当为何整数时，不等式的解集为？ 【答案】（1） （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）先把a当作已知求出x、y的值，再根据x、y的取值范围得到关于a的一元一次不等式组，求出a的取值范围即可； （2）根据a的取值范围去掉绝对值符号，把代数式化简即可； （3）根据不等式的解为得出且，解此不等式得到关于a取值范围，找出符合条件的a的值． 【小问1详解】 解：， 得： 解得， 得： 解得， 方程组的解为非正数，为负数， 且， 解得：； 【小问2详解】 ， ，， ； 【小问3详解】 不等式的解为， ， ， ，为整数， 的值是， 当为－1时，不等式的解为． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组及解一元一次不等式组、代数式的化简求值，先把a当作已知求出x、y的值，再根据已知条件得到关于a的不等式组求出a的取值范围是解答此题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于点A，点B，直线与相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点E，点P是x轴上的一个动点． （1）求直线的表达式； （2）求的面积； （3）当 的面积等于的面积的一半时，请求出点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何问题，用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数与图形的面积问题是解题的关键． （1）把点的坐标代入计算，求得点C的坐标，再用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）先求出两直线与y轴的交点坐标，即可利用三角形面积公式求解； （3）设点P的坐标为，再用三角形面积公式列出方程，解方程即得答案． 【小问1详解】 解：把点的坐标代入，得， ， 设直线的表达式为， 把点，的坐标代入，得， 解得， 直线的表达式为； 【小问2详解】 解：由题意及（1）可知，， ， 的面积为； 【小问3详解】 解：设点P的坐标为， 当 的面积等于的面积的一半时， ， 解得或， 点P的坐标为或． 26. 我市为美化城市，有关部门决定利用甲种花卉和乙种花卉搭配成、两种园艺造型摆放在主干道两侧．搭配数量如下表所示： 甲种花卉（盆） 乙种花卉（盆） 种园艺造型（个） 80盆 40盆 种园艺造型（个） 50盆 90盆 （1）已知搭配一个种园艺造型和一个种园艺造型共需成本500元．若园林局搭配种园艺造型24个，种园艺造型15个共投入9300元．则两种园艺造型的成本分别是多少元？ （2）如果搭配、两种园艺造型共50个，其中甲种花卉不超过3490盆，乙种花卉不超过2950盆，问符合题意的搭配方案有哪几种？ （3）在（1）的条件下，若一个种造型的售价是285元，一个种造型的售价是370元，为提高销量，决定对种造型进行促销，每售出一个种造型，返还顾客元，要使（2）中所有方案获利相同，则的值为___________．（直接写出结果） 【答案】（1）两种园艺造型成本分别为200元和300元 （2）一共有三种方案：A种园艺造型31，B种园艺造型19；A种园艺造型32，B种园艺造型18；A种园艺造型33，B种园艺造型17 （3）15 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，整式加减中的无关型问题： （1）设A种园艺造型的成本为元，B种园艺造型的成本为元，根据一个种园艺造型和一个种园艺造型共需成本500元，搭配种园艺造型24个，种园艺造型15个共投入9300元，列出方程组进行计算即可； （2）设搭配A种园艺造型m个，搭配B种园艺造型个，根据题意，列出不等式组进行求解即可； （3）设总利润为，进而推出，根据三种费用的利润相同，即利润与的值无关，得到，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设A种园艺造型的成本为元，B种园艺造型的成本为元， 根据题意得：， 解得：； 答：两种园艺造型成本分别为200元和300元； 【小问2详解】 解：设搭配A种园艺造型m个，搭配B种园艺造型个， 根据题意得：， 解得：， ∵为整数， ∴， ∴； 故共有3种方案：A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；A种园艺造型33个，B种园艺造型17个； 【小问3详解】 解：设总利润为， 由题意，得： ， ∵三种费用的利润相同，即利润与的值无关， ∴， ∴． 27. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以为直角顶点在第一象限内作等腰，其中，． （1）求直线的解析式和点的坐标； （2）如图，点是的中点，点是直线上一动点，连接、，求的最小值，并求出当取最小值时点的坐标； （3）在（2）的条件下，当取最小值时．直线上存在一点，使，求点坐标．（直接写出答案） 【答案】（1）， （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）设直线的表达式为，将点，点代入求出，，进而可得直线的表达式；过点作轴于点，证明和全等得，，则，由此可得点的坐标； （2）延长到，使，连接交于点，连接，则是线段的垂直平分线，进而得，则，由此得当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，则当，，共线时，为最小，此时点与点重合，再分别求出点，点，利用待定系数法求出直线的表达式为，解方程组可得点的坐标； （3）在的条件下，直线的表达式为，点，设点的坐标为，先求出，进而得，过点作直线轴，交于点，过点作于点，过点M作于点，连接，再求出点，由此得，，，则，因此线段上不存在点，所以有以下两种情况：当点在的延长线上时，过点作于点，则，根据得，由此解得，进而可得点的坐标为；当点在的延长线上时，过点作于点，则，根据得，由此解得，进而可得点的坐标为，综上所述即可得出答案 【小问1详解】 解：设直线的表达式为：， 直线与轴交于点，与轴交于点， ， 解得：， 直线的表达式为：， 过点作轴于点，如图所示： ， ， 是等腰直角三角形，且，， ， ， 在和中， ， ， ，， 点，点， ，， ，， ， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：延长到，使，连接交于点，连接，如图所示： ， 是线段的垂直平分线， ， ， 当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， 当，，共线时，为最小，最小值为线段的长， 此时点与点重合， 点，点，点是的中点， 点的坐标为， 点，点，点是的中点， 点的坐标为， 设直线的表达式为：， 将点，点代入， 得：， 解得：， 直线的表达式为：， 解方程组：，得：， 点的坐标为， 当为最小时，点与点重合， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：点的坐标为或，理由如下： 在的条件下， 直线的表达式为：，点为， 设点的坐标为， ，， ， ， 过点作直线轴，交于点，过点作于点，过点作于点，连接，如图所示： 点， 点的横坐标为， 对于，当时，， 点， 点，点为， ，，， ， ， 线段上不存在点，使， 有以下两种情况： 当点在的延长线上时，过点作于点，如图所示： 点， ， ， ， ， 解得：， ， 点的坐标为； 当点在的延长线上时，过点作于点，图所示： ， ， ， ， 解得：， ， 点的坐标为， 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数的交点坐标，待定系数法求一次函数的表达式，利用轴对称的性质求短路线，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，理解一次函数的图象，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，利用轴对称的性质求短路线的方法，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $