第十三章三角形训练2025—2026学年人教版数学八年级上册

第十三章 三角形 训练 一、单选题 1．如图所示图形中具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，是上的中线，是的中点，的面积是，则的面积是（　　） A．10 B．6 C．5 D．4 3．已知三角形的两条边长分别等于和，则第三边的长不可能是（   ） A． B． C． D． 4．以下列各组数据为边长，能构成三角形的是（   ） A．3，4，5 B．4，4，8 C．3，7，10 D．10，4，5 5．如图，，连接，是线段上一点，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，，两点分别位于一个池塘的两端，小丽在池塘的一侧选取点，测得，，那么，间的距离可能是（ ） A． B． C． D． 7．如图，在中，是边上的中线，点是边上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C．5 D．6 8．如图，正方形和长方形的面积相等，点E，F分别在边，上，过点D，连接，的面积为1．若记长为x，长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，的边在直线上，与的平分线交于点D，的平分线交于点E．若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，点是的中点，、交于点，则四边形的面积的最大值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 二、填空题 11．数一数，图中共有 个三角形． 12．如图，是的中线，，，和的周长差为 ．    13．如图，在长方形中，厘米，厘米，四边形 的面积是9平方厘米，请问：阴影部分的面积是 平方厘米． 14．如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．若和同时成为“准直角三角形”，则的度数为 ． 15．如图，将长方形的一角折叠，以（点在上，不与A，重合）为折痕，得到，连接，设，的度数分别为，，若，则，之间的数量关系是 ． 三、解答题 16．如图， 中，是角平分线，点E，F分别在边，上，，相交于点G，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 17．如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，则，则与的周长差为 ___________，与的面积差为 ___________ ； (2)若，是的高，求的度数． 18．如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 19．是等边三角形，D是边端点除外)上一动点，连接． (1)如图1，以为边作等边，连接． ①求证：； ②，F为的中点，连接，当的长取最小值时，求的长． (2)如图2，M是延长线上的点，，N为的中点，连接，，求证：． 20．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出和边上的高；（不用写结论） (2)点D的坐标为________；（直接写出答案） (3)求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十三章 三角形 训练2025—2026学年人教版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D A B C A B A B 1．A 【分析】根据三角形的稳定性作答即可． 此题考查三角形的稳定性，多边形，解题关键在于掌握其性质． 【详解】解：∵三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性， ∴图形中具有稳定性的是A． 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了三角形面积的求法，三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可解答． 【详解】解：∵是边上的中线 ∴， ∵是的中点，则是中边上的中线， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选：C． 3．D 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，关键是熟记三边关系定理：三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边． 首先根据三角形三边关系定理，来确定第三边边长的取值范围，即可得出答案． 【详解】 解：设第三边长为，由三角形三边关系定理得： ，即． ∴第三边的长不可能是． 故选：D． 4．A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系逐项判断即可得解. 【详解】解：A、因为，，，所以3，4，5满足三边关系，故能构成三角形； B、因为，两边之和等于第三边，所以4，4，8不满足三边关系，故不能构成三角形； C、因为，两边之和等于第三边，所以3，7，10不满足三边关系，故不能构成三角形； D、因为，两边之和小于第三边，所以10，4，5不满足三边关系，故不能构成三角形． 故选：A ． 5．B 【分析】利用平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数．本题主要考查平行线的性质与三角形内角和定理，熟练掌握“两直线平行，内错角相等”及三角形内角和为是解题的关键． 【详解】解：， （两直线平行，内错角相等）． 在中，，， ∴． 故选： ． 6．C 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， ， ， ，间的距离可能是． 故选：C． 7．A 【分析】本题考查了三角形中线的性质（中点分三角形为面积相等的两部分）、点到直线的最短距离（垂线段）及三角形面积公式的应用，解题的关键是利用中点性质得出的面积，再通过面积公式直接求点D到的垂线段长度． 由D是中点，得利用的面积公式（以为底，点D到的距离为高），列方程求解得该距离；此距离即为的最小值． 【详解】的最小值为点D到边的垂线段长度（垂线段最短）． ∵是边上的中线， ∴D为中点， ∴与的面积相等（等底同高），且均为面积的一半． 已知，则． 又∵，（h为点D到的距离）， 即，解得：， ∴的最小值为． 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了三角形的面积，单项式与多项式的乘法，等式的性质． 连接，，设，，根据题意可知，根据图形得到，分别求出每个三角形的面积，列等式计算即可． 【详解】解：如图，连接，， 设，， ∵，，正方形和长方形的面积相等， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即代数式的值不变的是， 故选：B． 9．A 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，三角形内角和知识点，熟练运用三角形外角的性质是解题的关键；根据与的平分线交于点，的平分线交于点，设，，，可以得到，再结合，根据三角形内角和整理可以得到：． 【详解】解： 与的平分线交于点， ，， ∵的平分线交于点， ， 是的外角， ， ， 是的外角， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故选：A． 10．B 【分析】本题考查了三角形的面积，已知两边三角形面积的最大值等知识，解题关键是理解运用同高的两个三角形面积之比等于底边之比． 连接，设，由三角形面积公式可得，，由点E是的中点，得，，进而得，，，，，，得出，通过讨论的面积最大值得四边形的面积最大值． 【详解】解：连接，    设， ∵， ，， 点是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ∴当时，的面积最大，为， 四边形的面积的最大值是， 故选：B． 11． 【分析】直接数出三角形的个数即可得解，本题考查图形计数，解本题的关键是掌握数三角形的方法． 【详解】解：图中共有三角形（个）． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，三角形周长计算，根据三角形中线的定义得到，再分别求出两个三角形的周长，然后作差即可得到答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 的周长， 的周长， ∵， ∴， ∴和的周长差为， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查三角形的面积，由图可知，三角形、三角形面积的和比所求的阴影部分多算了（三角形面积与四边形面积），由此列式计算即可． 【详解】解：三角形、三角形、三角形都可以以为底，为高，故它们的面积都等于(平方厘米)， 阴影部分面积三角形面积三角形面积三角形面积四边形面积(平方厘米)． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的新定义，三角形内角和及外角性质，设，由，可得，由折叠可得，当为“准直角三角形”时，或，解得或，分别代入计算各角的度数，根据“准直角三角形”的定义判断即可求解，解题的关键是读懂“准直角三角形”的定义及分类讨论思想的应用． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处， ∴， 当为“准直角三角形”时，或， ∴或， ∴或， ①当时，即， ∴， ∴， ∴， 此时，， ∴不是“准直角三角形”； ②当时，即， ∴， ∴， ∴， 此时， ∴是“准直角三角形”； 综上所述，能使和同时成为“准直角三角形”的的度数为， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查折叠，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握折叠的性质，平行线的性质是解题的关键． 根据长方形的性质，折叠的性质得到，根据平行线的性质，直角三角形两锐角互余得到，化简即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，掌握平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义是解本题的关键． （1）首先根据，，等量代换可得，进而得到，最后利用平行线的性质即可得证 （2）根据三角形的内角和定理得出，再利用角平分线的定义得出，又因为，所以，进而可求出的度数． 【详解】（1）证明：，， ， ， ． （2）解：，， ， 是角平分线， ， ， ， ． 17．(1)1，0 (2) 【分析】本题考查三角形的三线，熟练掌握三角形的三线的定义和性质，是解题的关键： （1）根据中线的定义，以及三角形的中线平分面积，进行求解即可； （2）根据角平分线平分角，高线的定义，以及三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴，， ∴与的周长差为； 与的面积差为0； （2）∵是角平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 18．(1)见详解 (2)①；② 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； ②根据角平分线的定义可得，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ， ． （2）解：∵在和中，， 在和中，， ， ∵平分平分， ， ，即， ． ②、、之间的关系为． 理由如下：如下图， ∵和分别平分和， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ， ∴、、之间的关系为． 19．(1)①见详解；②3 (2)见详解 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识． （1）①由等边三角形的性质得出，，，，证明，由全等三角形的性质得出； ②由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质可得出答案； （2）过点A作交的延长线于点P，连接，，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，，证出是等边三角形，由等边三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）①证明：∵，都是等边三角形， ∴，，，， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∵，F为的中点， ∴， 当时，的长取最小值， 此时，，， ∴； （2）证明：过点A作交的延长线于点P，连接，， ∴， ∵N是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 20．(1)见解析 (2) (3)12 【分析】本题主要考查了坐标与图形： （1）在坐标系中描出点A，B，C即可解答； （2）直接写出点D的坐标即可； （3）直接根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：如图，和高即为所求； （2）解：点D的坐标为； 故答案为： （3）解：的面积为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$