精品解析： 江苏省镇江市扬中市2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年江苏省镇江市扬中市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 将一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于的一元二次方程有实数根的是 A. B. C. D. 3. 八年级某同学次数学小测验的成绩分别为：分，分，分，分，分，分，则该同学这次成绩的众数和平均数分别是（    ） A. 分，分 B. 分，分 C. 分，分 D. 分，分 4. 若的直径为8，点A到圆心O的距离为4，那么点A与的位置关系是（ ） A. 点A在圆外 B. 点A在圆上 C. 点A在圆内 D. 不能确定 5. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点，，在上，若，则的度数是（    ） A. B. C. D. 7. 已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，则的周长为（ ） A. 8 B. 或8 C. D. 8. 如图，点A，B，C，D，E均在上，且经过圆心O，连接，若，则弧所对的圆心角的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 某旅社有100张床位，若每张床位每晚收费100元，床位可全部租出，若每张床位每晚收费提高20元，则减少10张床位租出；若每张床位每晚收费再提高20元，则再减少10张床位租出．以每次提高20元的这种方法变化下去，为了投资少而收入最多，每张床位每晚应提高（ ） A. 60元 B. 50元 C. 40元 D. 40元或60元 10. 如图，矩形纸片中，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，若，，则与的函数关系式为（    ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 的半径为圆心到直线l的距离为则直线与的位置关系是___________． 12. 若是一元二次方程的一个根，则______． 13. 在一次跳远训练中，甲、乙两人每人5次跳远的平均成绩都是米，方差分别是（米），（米），则在这次跳远训练中成绩比较稳定的是_____． 14. 如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED=_______°． 15. 如图，、在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）、，使为的外心，则的长度是______． 16. 人工智能给我们的生活、工作带来了很多便利，机器狗可以通过热成像仪和声呐系统协助我们完成搜索和救援工作．一次搜索任务中，机器狗从指挥中心先向南偏东方向行驶到达事故现场，再以事故现场为中心，距离的范围内展开搜索．若机器狗在指挥中心正东方向时，距离指挥中心最远可以为______． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 选择合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若方程的两根互为相反数，求的值． 19. 如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝65°. (1)求∠B的度数； (2)已知AD＝6，求圆心O到BD的距离． 20. 为了解七年级男生体能情况，某校随机抽取了七年级20名男生进行体能测试，并对测试成绩（单位：分）进行了统计分析： 【收集数据】 100 94 88 88 52 79 83 64 83 87 76 89 91 68 77 97 72 83 96 73 【整理数据】 该校规定：为不合格，为合格，为良好，为优秀．（成绩用表示） 等次 频数（人数） 频率 不合格 1 0.05 合格 a 0.20 良好 10 0.50 优秀 5 b 合计 20 1.00 【分析数据】 此组数据的平均数是82，众数是83，中位数是c； 【解决问题】 （1）填空：__________，__________，__________； （2）若该校七年级共有300名男生，估计体能测试能达到优秀的男生约有多少人？ （3）根据上述统计分析情况，写一条你的看法． 21. 某校2024年元旦晚会上，九年级共有20名同学参加志愿者的工作，其中男生15人，女生5人． （1）若从这20人中随机选取一人作为联络员，则选到女生的概率为 ； （2）若某项志愿工作只在甲、乙两人选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将3张牌面数字分别为1、2、3的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，甲从中任取1张，记录后放回，乙再从中任取1张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加，试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由． 22. 年我国经济回暖向好，粮食产量约为万亿斤，中国碗装了更多中国粮根据国家统计局网站信息可知年我国粮食产量约为万亿斤．（参考数据：，） （1）求这两年粮食产量的平均增长率；（结果精确到） （2）以这两年的粮食产量平均增长率，预测年我国粮食产量能否突破万亿斤？ 23. 如图，已知平行四边形的三个顶点、、在以为圆心的半圆上，过点作，分别交、的延长线于点、，交半圆于点，连接． （1）判断直线与半圆的位置关系，并说明理由； （2）①求证：； 若半圆的半径为，求阴影部分的面积． 24. 关于的一元二次方程经过适当变形可以写成的形式现列表探究的变形： 变形 【观察】表格中的值为______，与满足的等量关系为______，的值随值的增大而______（填“增大”或“减小”）； 【尝试】若一元二次方程变形为，求、的值； 【拓展】若一元二次方程经过变形可写成，则的最大值为______（用含有、的代数式表示）． 25. 请根据所提供的信息，完成探究任务． 制定建设方案 信息 设计部：如图，一个边长为的正方形花坛由块全等的小正方形组成，对每个小正方形进行统一的建设， 在小正方形中，点、、分别在、、上，且，在、两个区域上种植不同的花卉，五边形内铺设地砖，并在地砖上以正方形的中心为圆心、半径为的范围内建一个雕塑． 信息 工程部：在、两个区域上种植的花卉每平方米种植成本分别是元、元，铺设地砖的成本每平方米是元，每个雕塑费用为元． 信息 市场部：（1）投标方根据设计部与工程部提供信息自行设计方案，中标价的利润率为；（2）甲、乙、丙三家公司参与投标，他们的投标价分别为元、元、元． 任务 建立数学模型 设长为，用含有的代数式表示大正方形花坛种花卉的总成本为______，铺设地砖的总成本为______，大正方形花坛建设的总成本为______；直接写出的取值范围为______． 任务 确定实施方案 你认为哪一家公司可以中标，并说明这家公司的实施方案即求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省镇江市扬中市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 将一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式．根据一元二次方程的一般式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 2. 下列关于的一元二次方程有实数根的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于0的方程即可． 【详解】解：A、这里，，， △， 方程没有实数根，本选项不合题意； B、这里，，， △， 方程没有实数根，本选项不合题意； C、这里，，， △， 方程没有实数根，本选项不合题意； D、这里，，， △， 方程有两个不相等实数根，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式的意义． 3. 八年级某同学次数学小测验的成绩分别为：分，分，分，分，分，分，则该同学这次成绩的众数和平均数分别是（    ） A. 分，分 B. 分，分 C. 分，分 D. 分，分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数和平均数，解题的关键是掌握众数和平均数的计算方法．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 根据众数和平均数的定义计算即可． 【详解】解：分出现的次数最多， 该同学这次成绩的众数为分， 该同学这次成绩的平均数为：分． 故选：C． 4. 若的直径为8，点A到圆心O的距离为4，那么点A与的位置关系是（ ） A. 点A在圆外 B. 点A在圆上 C. 点A在圆内 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据直径求出圆的半径，比较点A到圆心的距离和半径的大小即可判断点A和圆的位置关系． 本题考查点和圆的位置关系，熟悉圆的相关基本概念是解题关键． 【详解】∵的直径为8， ∴的半径为4， ∵点A到圆心O的距离为4， ∴点A在上． 故选：B． 5. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分的面积为个面积相等的三角形，根据概率公式可知，指针落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积除以正八边形的面积，据此计算即可，熟练掌握概率的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分的面积为个面积相等的三角形， ∴指针落在阴影部分的概率是， 故选：． 6. 如图，点，，在上，若，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，三角形内角和定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解题的关键．连接，先根据三角形内角和定理求出的度数，再由圆周角定理求出的度数，根据三角形内角和定理求出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：连接， ， ，， ， ，即原图中的度数是． 故选：B． 7. 已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，则的周长为（ ） A. 8 B. 或8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得方程的两根，再把方程两根分别为底可求得三角形的三边长，即可求得答案． 【详解】解方程可得或， 当的底为2时，则三角形的三边长为，满足三角形三边关系，其周长为， 当的底为4时，则三角形的三边长为4、2、2，不满足三角形三边关系，舍去， ∴的周长为． 故答案选：C 【点睛】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形定义、解一元二次方程等知识，解题的关键是熟练的掌握三角形的三边关系与等腰三角形的性质以及根据因式分解法解一元二次方程． 8. 如图，点A，B，C，D，E均在上，且经过圆心O，连接，若，则弧所对的圆心角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴弧所对的圆心角的度数为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键． 9. 某旅社有100张床位，若每张床位每晚收费100元，床位可全部租出，若每张床位每晚收费提高20元，则减少10张床位租出；若每张床位每晚收费再提高20元，则再减少10张床位租出．以每次提高20元的这种方法变化下去，为了投资少而收入最多，每张床位每晚应提高（ ） A. 60元 B. 50元 C. 40元 D. 40元或60元 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用二次函数解决实际问题，根据已知题意建立二次函数模型，然后化为二次函数顶点式，确定最大值及此时x的值. 【详解】设每张床位每晚收费应提高个20元，收入为元，根据题意得： ， ∵时，取得最大值， 又∵取整数， ∴当或3时，取得最大值， 当时，每张床位每晚收费提高60元，床位最少，即投资少， ∴为了投资少而收入多，每张床位每晚收费应提高60元， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，如何根据已知题意建立二次函数模型是解答本题的关键，同时要熟练掌握二次函数一般式化为顶点式. 10. 如图，矩形纸片中，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，若，，则与的函数关系式为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数关系式，掌握圆的周长计算公式、以及理解圆锥的侧面展开的扇形的弧长等于圆锥的底面周长是解题的关键． 利用圆的周长公式，根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长得到关于和的等式，将表示成的函数即可． 【详解】解：根据题意，得，则， 与的函数关系式为． 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 的半径为圆心到直线l的距离为则直线与的位置关系是___________． 【答案】相交 【解析】 【分析】由⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，根据若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线与圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，即可求得答案． 【详解】解：∵⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离为3， ∴d＜r， ∴直线l与⊙O的位置关系是：相交． 故答案为：相交． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 12. 若是一元二次方程的一个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解满足方程是解答的关键．将代入方程中求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，解的， 故答案为：． 13. 在一次跳远训练中，甲、乙两人每人5次跳远的平均成绩都是米，方差分别是（米），（米），则在这次跳远训练中成绩比较稳定的是_____． 【答案】甲 【解析】 【分析】根据方差的意义即方差越小数据越稳定，从而得出答案． 【详解】解：∵甲、乙两人每人5次跳远的平均成绩都是米， （米），（米）， ∴， ∴两名男生中成绩较稳定的是甲； 故答案为：甲． 【点睛】本题考查了方差．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 14. 如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED=_______°． 【答案】45° 【解析】 【详解】∵正六边形ADHGFE的内角为120°， 正方形ABCD的内角为90°， ∴∠BAE=360°-90°-120°=150°， ∵AB=AE， ∴∠BEA=（180°-150°）÷2=15°， ∵∠DAE=120°，AD=AE， ∴∠AED=（180°-120°）÷2=30°， ∴∠BED=15°+30°=45°． 15. 如图，、在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）、，使为的外心，则的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据为的外心，可得，从而以点为圆心，以长为半径作圆，交格点为点，点，然后利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：如图：连接，以点为圆心，以长为半径作圆，交格点为点，点， 由题意得：， 的长度是， 故答案为：． 16. 人工智能给我们的生活、工作带来了很多便利，机器狗可以通过热成像仪和声呐系统协助我们完成搜索和救援工作．一次搜索任务中，机器狗从指挥中心先向南偏东方向行驶到达事故现场，再以事故现场为中心，距离的范围内展开搜索．若机器狗在指挥中心正东方向时，距离指挥中心最远可以为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方向角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，理解方向角的定义，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 根据方向角的定义和题意画出相应的图形，再根据直角三角形的边角关系即可求出答案． 【详解】解：如图，根据题意可知，，，，过点作于D． 在中，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 选择合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）先移项，再根据直接开平方法解一元二次方程即可； （2）先移项，再根据因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ． 【小问2详解】 ， ， 或， ． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若方程的两根互为相反数，求的值． 【答案】（1） 证明：， ，，， ， 该方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键． （1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断； （2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：该方程的两根互为相反数， ， ． 19. 如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝65°. (1)求∠B的度数； (2)已知AD＝6，求圆心O到BD的距离． 【答案】（1）25°（2）3 【解析】 【详解】解：(1） ∴∠C=65°-40°=25° ∴∠B=∠C=25° （2）作OE⊥BD于E,则DE=BE, 又 圆心O到BD的距离为3 考点:1.三角形内外角之间的关系；2.圆的性质；2.中位线的性质 20. 为了解七年级男生体能情况，某校随机抽取了七年级20名男生进行体能测试，并对测试成绩（单位：分）进行了统计分析： 【收集数据】 100 94 88 88 52 79 83 64 83 87 76 89 91 68 77 97 72 83 96 73 【整理数据】 该校规定：为不合格，为合格，为良好，为优秀．（成绩用表示） 等次 频数（人数） 频率 不合格 1 0.05 合格 a 0.20 良好 10 0.50 优秀 5 b 合计 20 1.00 【分析数据】 此组数据的平均数是82，众数是83，中位数是c； 【解决问题】 （1）填空：__________，__________，__________； （2）若该校七年级共有300名男生，估计体能测试能达到优秀的男生约有多少人？ （3）根据上述统计分析情况，写一条你的看法． 【答案】（1）4，0.25，83 （2）75人 （3）男生体能状况良好 【解析】 【分析】本题考查频数分布表和用样本估计总体： （1）利用频数=频率×数据总数可求出a的值；利用频率=频数÷数据总数可求出b，最后根据中位数定义可求出c； （2）用样本估计总体可得结论； （3）结合分析，得出看法 【小问1详解】 解：； ； 把20个数据按从小到大的顺序排列为：52，64，68，72，73，76，77，79，83，83，83，87，88，88，89，91，94，96，97，100， 最中间的两个数据为83，83， 所以，， 故答案为：4，0.25，83； 【小问2详解】 解：（人） 答：估计体能测试能达到优秀的男生约有75人； 【小问3详解】 解：从样本的平均数、中位数和众数可以看出，男生整体体能状况良好 21. 某校2024年元旦晚会上，九年级共有20名同学参加志愿者的工作，其中男生15人，女生5人． （1）若从这20人中随机选取一人作为联络员，则选到女生的概率为 ； （2）若某项志愿工作只在甲、乙两人选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将3张牌面数字分别为1、2、3的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，甲从中任取1张，记录后放回，乙再从中任取1张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加，试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由． 【答案】（1） （2） 解：不公平，理由： 根据题意画树状图如图： 由图可知，所有可能的结果共有9种情况，和为偶数的情况有5种， 牌面数字之和为偶数的概率是， 甲参加的概率是，乙参加的概率是， ∵， 这个游戏不公平． 【解析】 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求出即可； （2）利用树状图表示出所有可能的结果数和牌面数字之和为偶数的结果数，进而利用概率公式求出即可． 【小问1详解】 解：共20名志愿者，女生5人， 选到女生的概率是：； 【小问2详解】 略 22. 年我国经济回暖向好，粮食产量约为万亿斤，中国碗装了更多中国粮根据国家统计局网站信息可知年我国粮食产量约为万亿斤．（参考数据：，） （1）求这两年粮食产量的平均增长率；（结果精确到） （2）以这两年的粮食产量平均增长率，预测年我国粮食产量能否突破万亿斤？ 【答案】（1）这两年粮食产量的平均增长率约为； （2）预测年我国粮食产量能突破万亿斤． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及近似数，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两年粮食产量的平均增长率为，根据年和年我国粮食产量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）根据题意列式计算，再比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：设这两年粮食产量的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这两年粮食产量的平均增长率约为； 【小问2详解】 解：（万亿斤）， ， 答：预测年我国粮食产量能突破万亿斤． 23. 如图，已知平行四边形的三个顶点、、在以为圆心的半圆上，过点作，分别交、的延长线于点、，交半圆于点，连接． （1）判断直线与半圆的位置关系，并说明理由； （2）①求证：； 若半圆的半径为，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 解：结论：是的切线． 理由：连接， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ， ，都是等边三角形， ， ， ， 是直径，， ， 四边形是矩形， ， 是的切线； （2）①证明：由（1）可知：，， 是等边三角形， ； ② 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质以及证明即可； （2）①只要证明是等边三角形即可解决问题；②求出、，阴影部分的面积即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：在中，，，， ，， ． 【点睛】本题考查切线的判定，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积公式，掌握相关知识是解决问题的关键． 24. 关于的一元二次方程经过适当变形可以写成的形式现列表探究的变形： 变形 【观察】表格中的值为______，与满足的等量关系为______，的值随值的增大而______（填“增大”或“减小”）； 【尝试】若一元二次方程变形为，求、的值； 【拓展】若一元二次方程经过变形可写成，则的最大值为______（用含有、的代数式表示）． 【答案】观察：，，减小．尝试：，．拓展：． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法、解一元二次方程公式法、不等式的性质、函数的表示方法，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 观察：结合表格数据即可判断得解； 尝试：依据题意，由，则，从而，结合变形为，进而可以判断得解； 拓展：依据题意，由一元二次方程经过变形可写成，即，可得，，故，又，则，可得，最后即可判断得解． 【详解】解：观察：由表格可得； 由、、、知， 对于，，； 对于，，； 对于，，； 对于，，． 可以发现的值从逐渐减小到，的值从逐渐增大到， 的值随值的增大而减小． 故答案为：，，减小． 尝试：由题意，， ， ， 变形为， ，． 拓展：由题意，一元二次方程经过变形可写成，即． ，． ． ， ． ． 的最大值为． 故答案为：． 25. 请根据所提供的信息，完成探究任务． 制定建设方案 信息 设计部：如图，一个边长为的正方形花坛由块全等的小正方形组成，对每个小正方形进行统一的建设， 在小正方形中，点、、分别在、、上，且，在、两个区域上种植不同的花卉，五边形内铺设地砖，并在地砖上以正方形的中心为圆心、半径为的范围内建一个雕塑． 信息 工程部：在、两个区域上种植的花卉每平方米种植成本分别是元、元，铺设地砖的成本每平方米是元，每个雕塑费用为元． 信息 市场部：（1）投标方根据设计部与工程部提供信息自行设计方案，中标价的利润率为；（2）甲、乙、丙三家公司参与投标，他们的投标价分别为元、元、元． 任务 建立数学模型 设长为，用含有的代数式表示大正方形花坛种花卉的总成本为______，铺设地砖的总成本为______，大正方形花坛建设的总成本为______；直接写出的取值范围为______． 任务 确定实施方案 你认为哪一家公司可以中标，并说明这家公司的实施方案即求的长． 【答案】任务1：元，元，元， ；任务2：甲公司更容易中标． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用： 任务：计算种花卉的总成本，需分别计算两个三角形和的面积，再结合各自的种植单价，将两者成本相加得到总成本．核心是利用三角形面积公式底高，把面积转化为含变量的表达式，再乘以单价计算成本．计算铺设地砖的总成本，地砖铺设区域为五边形，其面积需用小正方形的总面积，减去花卉种植的两个三角形面积和圆形区域面积．得到地砖面积后，乘以地砖单价即为总成本．核心是通过“总面积减非地砖区域面积”确定地砖面积．计算大正方形花坛建设的总成本，总成本为花卉种植成本、地砖铺设成本与固定成本元的总和．将前两问得到的成本表达式代入求和，化简后得到含的总成本公式．确定的取值范围，表示的长度，而点在上，长为，因此需满足大于且小于，即； 任务：根据利润率公式成本投标价利润率，先算出各公司对应的总成本，再代入总成本表达式解方程．结合的取值范围，判断哪个公司的方程有符合条件的解，进而确定中标公司及对应的长度即值． 【详解】解：任务：在中，， ∴的面积为，其种植成本为元． 在中，因为大正方形边长为，小正方形边长为，， ∴，， ∴，其种植成本为（元）． ∴种花卉的总成本（元）． ∵小正方形的面积为，的面积为，的面积为，以为圆心、半径为的圆的面积为， ∴五边形的面积 ∴铺设地砖的成本为元． ∵大正方形花坛建设的总成本  元． ∵在上，， ∴ ． 任务：甲公司更容易中标，理由如下： 甲公司：投标价元，元． 乙公司：投标价元，元． 丙公司：投标价元，元． ∵总成本 ，是二次函数，开口向上，对称轴为， ∴ 当时，元，当时，元， ∴当时，总成本在元到元之间． ∵甲公司元、乙公司元、丙公司元，均大于实际最大总成本约元 又∵甲公司成本最低，与实际成本的差距最小，更可能满足条件． ∴甲公司更容易中标．为了节约成本，提高利润，故总成本越低越好，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $