精品解析： 甘肃省武威市武威第九中学2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年甘肃省武威九中八年级（下）期末数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用当二次根式有意义时，被开方数为非负数，得到有关的一元一次不等式，解之即可得到本题答案． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 故选：D． 2. 下列计算正确的是（　　） A. 3 B. C. D. （）2＝2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和二次根式的加法法则和除法法则逐一进行计算，从而得出答案； 【详解】解：，选项A错误； 与不是同类二次根式，不能合并，选项B错误； ，选项C错误； （）2＝2，选项D正确； 故选：D 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 3. 如图，在中，则（　　） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的特征量，勾股定理，根据题意，，得到，根据勾股定理，得，选择即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 故选B． 4. 如图，平行四边形中，的平分线交于，则的长（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．根据平行四边形的性质得，，，则，结合为角平分线可知，则，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5. 如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和定理，由矩形的性质可得，则由等边对等角和三角形外角的性质可得，据此根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，   故选：C ． 6. 如图，在中，，，点D，E分别是边，中点，点F在线段上，且，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.利用三角形中位线定理得到，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可．解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 【详解】解：∵点D、E分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴． ∵，D是的中点，， ∴， ∴． 故选：A． 7. 在端午节道来之前，双十中学高中部食堂推荐了A，B，C三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购．下面的统计量中最值得关注的是（　　） A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 【答案】D 【解析】 【详解】因为众数是数据中出现次数最多的数， 所以学校食堂最值得关注的应该是统计调查数据的众数； 故选D 【点睛】本题考查了统计量的有关知识，解题的关键在于掌握各统计量的定义；首先，根据题意可知学校食堂最关注的为数据中出现次数最多的数；然后，依次寻找各选项中哪个统计量表示数据中出现次数最多的数，即为正确选项． 8. 下列各点在正比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别代入x＝1，x＝-2，x＝和x＝4求出与之对应的y值，再对照四个选项中点的坐标即可得出结论． 【详解】解：A、当x＝1时，y＝-2x＝﹣2， ∴点（1，﹣2）在正比例函数y＝-2x的图象上． 故A正确，符合题意； B、当x＝-2时，y＝-2x＝4， ∴点（-2，1）不在正比例函数y＝-2x的图象上； 故B不正确，不符合题意； C、当x＝4时，y＝-2x＝-8， ∴点（4，﹣2）不在正比例函数y＝-2x的图象上； 故C不正确，不符合题意； D、当x＝时，y＝-2x＝-1， ∴点（，1）不在正比例函数y＝-2x的图象上； 故D不正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，牢记图象上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx是解题的关键． 9. 如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由一次函数的交点求二元一次方程组的解，由图象可得一次函数的图象与的图象相交于点，由此即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得一次函数的图象与的图象相交于点， ∴方程组的解为， 故选：C． 10. 如图，甲乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动，图中，分别表示甲乙两人前往目的地所行驶的路程与时间的关系．根据图象判断下列说法错误的是（ ） A. 甲比乙早出发 B. 甲行驶的路程s与时间t的函数关系式为 C. 甲的速度是，乙的速度是 D. 乙出发后两人相遇，这时他们离学校 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求一次函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据函数图象可判断A、D 选项；利用待定系数法可判断B选项；利用速度路程时间，可判断C选项． 【详解】解：A、甲比乙早出发，说法正确，不符合题意； B、设甲行驶的路程s与时间t的函数关系式为，则，解得：， 即甲行驶的路程s与时间t的函数关系式为，说法正确，不符合题意； C、甲的速度是，乙的速度是，说法正确，不符合题意； D、乙出发后两人相遇，这时他们离出发地，说法错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 化简_____． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查化简二次根式，根据即可求解． 【详解】解：， 故答案为：2025． 12. 中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小丰家有一个菱形中国结装饰如图所示，其示意图如图所示，测得，，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．先根据菱形的性质可得，再根据菱形的面积公式计算即可得． 【详解】解：四边形是菱形， ， ∵，， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 13. 一次函数的图象向上平移个单位长度后，所得图象的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键．根据一次函数图象的平移规律求解即可得． 【详解】解：一次函数的图象向上平移个单位长度后，所得图象的解析式为，即为， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（4，0），点N为线段AB的中点，则点N的坐标为_____________． 【答案】(2，1) 【解析】 【详解】【分析】直接运用线段中点坐标的求法，易求N的坐标. 【详解】点N的坐标是：（），即（2，1）. 故答案为(2，1) 【点睛】本题考核知识点：平面直角坐标系中求线段的中点. 解题关键点：理解线段中点的坐标求法. 15. 若点在一次函数图象上， 则______(填或) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 利用一次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：由一次函数得， ， ∴随的增大而减小， 由得，， ∴， 故答案为：． 16. 已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质．根据绝对值、完全平方数和算术平方根的非负性，可求解出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理求得此三角形是直角三角形，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由非负性得：， 解得：， ∵， ∴此三角形是直角三角形， ∴三角形的面积为：． 故答案为：3． 17. 如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在对角线处，若，，则 ______． 【答案】4.5 【解析】 【分析】此题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得，，求出，设，则，，再根据勾股定理可得方程，再解方程即可，解答本题的关键是掌握折叠的性质． 【详解】解：在矩形中，，， ，， 由勾股定理得：， 将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在对角线处， ∴，， ∴， 设，则，， 在中：由勾股定理得， ∴， 解得：， 的长为， 故答案为：． 18. 有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形（如图1），且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了图2，如此继续“生长”下去，则“生长”第次后所有正方形的面积和为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，根据勾股定理，发现：经过一次生长后，两个小正方形的面积和等于第一个正方形的面积，故经过一次生长后，所有正方形的面积之和等于；依此类推，经过次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的倍，进而得问题答案，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 【详解】解：如图： 设直角三角形的三条边分别是，，． 根据勾股定理，得， 即正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 所有正方形的面积之和为； 正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积 正方形的面积正方形的面积 正方形的面积 ， 所有正方形的面积之和为， …， 推而广之，“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、实数的混合运算、零指数幂，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先计算有理数的乘法与乘方、算术平方根、零指数幂，再计算加减法即可得； （2）先计算二次根式的乘法与除法，再计算减法即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先将分式化简，然后代入求解即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： .当时， 原式． 21. 为大力弘扬中华优秀传统文化，引导学生从千年中华传统文化中汲取养分，推动文化自信自强．某校开展了“诵国家经典，承传统文化”朗诵比赛活动，七年级和八年级各有400名学生参加竞赛，学校为了解这两个年级的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下： 收集数据 从七、八两个年级各随机抽取20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下： 七年级：70 70 80 90 80 80 90 60 100 80 80 80 90 90 70 90 70 70 100 60 八年级：60 70 80 70 70 90 60 90 90 90 70 90 100 70 70 60 90 90 90 100 整理数据 成绩 人数 年级 七年级 八年级 （说明：优秀成绩为，良好成绩为，合格成绩为） 分析数据 两组样本数据的平均分、中位数、众数、方差如下表所示： 平均分 中位数 众数 方差 七年级 80 80 130 八年级 80 90 170 请解答下列问题： （1）______；______； （2）估计八年级参加此次竞赛的学生中达到良好成绩以上的学生有多少名？ （3）小明认为七，八年级竞赛成绩的平均数相等，因此两个年级的成绩一样好，你认为小明的说法正确吗？请你用所学的统计知识说明理由.（写出一条即可） 【答案】（1）85；80 （2）220名 （3） 解：小明的说法是错误的，理由如下： 虽然八年级和七年级的平均分相同，都是80分，但是从中位数看，八年级的中位数为85，大于七年级的中位数80，说明八年级80分以上的人数更多， 八年级学生的竞赛成绩较好； 或从众数看，八年级竞赛成绩的众数是90，大于七年级竞赛成绩的众数80， 八年级学生的竞赛成绩较好； 或从方差看，八年级竞赛成绩的方差大于七年级竞赛成绩的方差， 七年级竞赛成绩比较稳定． 【解析】 【分析】本题考查了频数（率）分布表，众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数、方差的定义是解题的关键． （1）由原始数据根据中位数和众数的概念可得； （2）利用八年级学生被抽取20名学生中在这次竞赛中成绩达到良好成绩以上的学生的比例乘总人数可得； （3）根据平均数、众数、中位数和方差多方面的意义解答可得． 【小问1详解】 解：八年级的名同学的成绩按照从小到大的顺序排列，第个和第个数据是和， 中位数； 七年级的名同学的成绩中分出现次数最多， 众数为分，即； 【小问2详解】 解：（名） 答：估计八年级参加此次竞赛的学生中达到良好成绩以上的学生有220名； 【小问3详解】 略 22. 为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】 如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度米，最后测量放风筝的小康同学的身高米． 【数据应用】 当点均在同一平面内，已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上． （1）求此时风筝的垂直高度． （2）若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升18米到点的位置，则还需要放出风筝线多少米？ 【答案】（1）米 （2）14米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用： （1）根据题意可得米，再由勾股定理求出的长即可得到答案； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，米，， 在中，由勾股定理得米， ∴米； ∴此时风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 解：由题意得，米， 在中，由勾股定理得米， ∵米， ∴还需要放出风筝线14米． 23. 如图，在四边形中，，，垂足分别为点，． （1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是________； （2）添加了条件后，证明四边形为平行四边形． 【答案】（1）（答案不唯一，符合题意即可）； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，要使得四边形为平行四边形，则使得即可，从而添加适当条件即可； （2）根据（1）的思路，利用平行四边形的定义证明即可． 【详解】（1）显然，直接添加，可根据定义得到结果， 故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）； （2）略 【点睛】本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 24. 如图，在中，交的延长线于点E，． （1）求证：四边形是矩形； （2）F为的中点，连接，．已知，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）先由四边形是平行四边形，得，，因为，故，，得证四边形是平行四边形，再结合有一个角是的平行四边形是矩形，即可作答． （2）因为四边形是矩形，则，因为为CD的中点，所以，因为，由勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得四边形是矩形，， ， 为的中点， ， ∵ ， 由勾股定理得． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，矩形的判定与性质，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25. 已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A（3，4），点B在x轴负半轴上，且OA=OB． （1）求两个函数的解析式； （2）求△AOB的面积． 【答案】（1）y=x，；（2）10 【解析】 【分析】（1）根据A的坐标先求出正比例函数的解析式，再根据已知条件求出点B的坐标，进而可得一次函数解析式； （2）由A点坐标可求得A到y轴的距离，根据三角形面积公式可求得S． 【详解】解：（1）∵A(3，4)， ∴OA=， ∴OB= OA=5 ∴ B(-5，0) 设正比例函数的解析式为y=mx，∵正比例函数的图象过A(3，4) ∴4=3m，m=， ∴正比例函数的解析式为y=x； 设一次函数的解析式为y=kx+b， ∵过A(3，4)、B(-5，0) ∴． 解得：． ∴一次函数的解析式为； （2）∵A(3，4)，B(-5，0)， ∴三角形AOB的面积为5×4×=10． 【点睛】主要考查了用待定系数法解函数解析式和一次函数图象的性质，还考查了学生的分析能力和读图能力． 26. 综合与探究 如图，在正方形中，点（不与点，重合）在对角线所在的直线上，连接．过点作，交直线于点． （1）如图1，当点在对角线上时，求证：． （2）如图2，当点在的延长线上时，（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）若正方形的边长为5，，直接写出由，，，四点构成的四边形的面积． 【答案】（1） 证明：如图1，过点作于点，作于点． ∵为正方形对角线上的点， ∴平分，， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． （2） 成立，证明如下： 证明：如图2，过点作于点，作于点． ∵为正方形对角线上的点， ∴平分， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． （3）21或121． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，作于点．通过正方形的性质以及角平分线的性质得出四边形是矩形，由矩形的性质进一步证明，由全等三角形的性质得出． （2）过点作于点，作于点．四边形是矩形，由矩形的性质进一步证明，由全等三角形的性质得出． （3）由正方形的性质得出，分两种情况讨论：当点在的延长线上时和当点在的延长线上时，结合（1）（2）的解题过程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵正方形的边长为5， ∴． 分两种情况讨论： ①如图3，当点在的延长线上时，过点作于点，作于点． ∵， ∴， ∴， 在中，． 由（2）可知是等腰直角三角形， ∴； ②如图4，当点在的延长线上时，过点作于点，作于点． ∵，， ∴． 由（1）（2），可知四边形是正方形，， ∴，， ∴． 综上所述，由，，，四点构成的四边形的面积为21或121． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的综合问题，角平分线的性质定理，以及等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握这些知识作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年甘肃省武威九中八年级（下）期末数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. 3 B. C. D. （）2＝2 3. 如图，在中，则（　　） A. B. C. D. 4 4. 如图，平行四边形中，的平分线交于，则的长（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 5. 如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 6. 如图，在中，，，点D，E分别是边，中点，点F在线段上，且，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 在端午节道来之前，双十中学高中部食堂推荐了A，B，C三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购．下面的统计量中最值得关注的是（　　） A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 8. 下列各点在正比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则方程组的解为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，甲乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动，图中，分别表示甲乙两人前往目的地所行驶的路程与时间的关系．根据图象判断下列说法错误的是（ ） A. 甲比乙早出发 B. 甲行驶的路程s与时间t的函数关系式为 C. 甲的速度是，乙的速度是 D. 乙出发后两人相遇，这时他们离学校 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 化简_____． 12. 中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小丰家有一个菱形中国结装饰如图所示，其示意图如图所示，测得，，则菱形的面积为______． 13. 一次函数的图象向上平移个单位长度后，所得图象的解析式为______． 14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（4，0），点N为线段AB的中点，则点N的坐标为_____________． 15. 若点在一次函数图象上， 则______(填或) 16. 已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是________． 17. 如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在对角线处，若，，则 ______． 18. 有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形（如图1），且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了图2，如此继续“生长”下去，则“生长”第次后所有正方形的面积和为______． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 为大力弘扬中华优秀传统文化，引导学生从千年中华传统文化中汲取养分，推动文化自信自强．某校开展了“诵国家经典，承传统文化”朗诵比赛活动，七年级和八年级各有400名学生参加竞赛，学校为了解这两个年级的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下： 收集数据 从七、八两个年级各随机抽取20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下： 七年级：70 70 80 90 80 80 90 60 100 80 80 80 90 90 70 90 70 70 100 60 八年级：60 70 80 70 70 90 60 90 90 90 70 90 100 70 70 60 90 90 90 100 整理数据 成绩 人数 年级 七年级 八年级 （说明：优秀成绩为，良好成绩为，合格成绩为） 分析数据 两组样本数据的平均分、中位数、众数、方差如下表所示： 平均分 中位数 众数 方差 七年级 80 80 130 八年级 80 90 170 请解答下列问题： （1）______；______； （2）估计八年级参加此次竞赛的学生中达到良好成绩以上的学生有多少名？ （3）小明认为七，八年级竞赛成绩的平均数相等，因此两个年级的成绩一样好，你认为小明的说法正确吗？请你用所学的统计知识说明理由.（写出一条即可） 22. 为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】 如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度米，最后测量放风筝的小康同学的身高米． 【数据应用】 当点均在同一平面内，已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上． （1）求此时风筝的垂直高度． （2）若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升18米到点的位置，则还需要放出风筝线多少米？ 23. 如图，在四边形中，，，垂足分别为点，． （1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是________； （2）添加了条件后，证明四边形为平行四边形． 24. 如图，在中，交的延长线于点E，． （1）求证：四边形是矩形； （2）F为的中点，连接，．已知，，求的长． 25. 已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A（3，4），点B在x轴负半轴上，且OA=OB． （1）求两个函数的解析式； （2）求△AOB的面积． 26. 综合与探究 如图，在正方形中，点（不与点，重合）在对角线所在的直线上，连接．过点作，交直线于点． （1）如图1，当点在对角线上时，求证：． （2）如图2，当点在的延长线上时，（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）若正方形的边长为5，，直接写出由，，，四点构成的四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $