精品解析：[安徽省安庆市第一中学2025-2026学年高三上学期8月开学考数学试题

数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交集、补集概念运算即可. 【详解】由题意，，则. 故选：C． 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由共轭复数的概念求，再根据复数的运算公式求结论. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：B． 3. 设等差数列的前项和为，若，，则的值为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设公差为，依题意得到关于、的方程组，求出、，再由等差数列求和公式计算可得. 【详解】设公差为，由，，所以，解得， 则. 故选：D 4. 树人学校开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分配成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（ ） A. 20种 B. 40种 C. 60种 D. 80种 【答案】C 【解析】 【分析】利用分组分配问题分类讨论一一计算即可. 【详解】由题意可知两名男生必须分开在两组，则有1女1男一组，余下一组； 2女1男一组，余下一组；3女1男一组，余下一组；4女1男一组，余下一组； 所以分配方法为. 故选：C 5. 有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，任取一个零件，则它是次品的概率（ ） A. 0.054 B. 0.0535 C. 0.0515 D. 0.0525 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件、、，该零件为次品为事件，根据全概率公式求解. 【详解】根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件、、，该零件为次品为事件， 则，，，，， 任取一个零件是次品的概率 ， 故选：D 6. 已知函数的部分图象如图，则曲线与的交点个数为（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的图象相关信息，依次求出的值，即得函数解析式，在同一坐标系中作出两函数的图象，即得答案. 【详解】由图可知的周期为：，则； 由，可得，且， 所以，所以，所以； 又由，可得，解得，故， 在同一坐标系中，作出与的图象如图，可见两者有7个交点. 故选：B 7. 已知正数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式和常值代换法，对各选项逐一判断即得. 【详解】由，，可得. 对于A，，（当且仅当时取等号），故A错误； 对于B，，（当且仅当时取等号），故B错误； 对于C，因，由B已得；， 则，（当且仅当时取等号），故C错误； 对于D，因， 由C项已得：，则，故，即得， （当且仅当时取等号），故D正确. 故选：D． 8. 已知双曲线的右焦点为，以OF（为坐标原点）为直径的圆与一条渐近线交于点，直线MF与另一条渐近线交于点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，根据求出，，再在中求出，利用算两次的思想即可求出关于的等式，进而求出离心率. 【详解】由题意可知，，， 设，，则由渐近线的对称性可知，， 因，则， ， 因，则，，， 则在中，则，化简得， 则离心率. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线的焦点为，经过点的直线的倾斜角为，直线与抛物线相交于两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据抛物线的焦半径公式可得，即可结合选项求解. 【详解】由，选项AB错误． ，故， 故，CD正确． 故选：CD 10. 在棱长为2的正方体中，O是BD中点，P是直线上的动点，则（ ） A. 存在唯一点P，使得平面 B. 当平面时， C. 当时， D. 当时，三棱锥外接球半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直关系判断A；根据三棱锥体积公式判断B；根据在延长线上另有一点也满足，判断C；根据外接球计算方式判断D. 【详解】 对于A，因为当平面时，面，所以，又因为， 所以，所以，又因为，，所以， 所以棱存在唯一的点P，故A正确； 对于B，平面时，，， 所以，所以，故B正确； 对于C，在延长线上另有一点也满足，故C错误： 对于D，易知P为中点，此时平面平面， 如图，分别为和外接圆的圆心，O为所求外接球球心， 在中，易知，所以其外接圆半径， 在中，易知，根据等腰三角形， 所以，因此由正弦定理得， 其外接圆半径，故， 所以，所求外接球半径，选项D正确； 故选：ABD. 11. 首项为正数数列满足．则以下结论正确的是（ ） A. 若为奇数，则对一切都是奇数 B. 若数列单调递增，则 C. 若时，数列单调递增 D 对任意，不等式都成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据可得即可求解A，利用作差可得即可根据同号求解D，根据即可求解CB. 【详解】若，则也是奇数，因为为奇数，所以对一切都是奇数A正确． 因为且数列都是正数， 故，故同号，所以不等式成立，故选项D正确． 对于B，数列单调递增，只需得或者，故选项B错误， 当时，，故， 由于，故， 又，故， 同理，故， 又，故， 同理可得，且故数列单调递增，C正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量垂直关系的坐标表示求解. 【详解】因为，所以， 故，解得． 故答案为：. 13. 已知四面体中的各棱长均为整数，，则该四面体的体积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】把看成一长方体的四个顶点，构造长方体，设长方体的长，宽，高分别为，列出方程组，再结合棱长为整数，可确定的值，再结合“割补法”可求四面体的体积. 【详解】如图构造长方体， 记，设， 则， 因而， 其中，由题意. 而. 故答案为： 【点睛】方法点睛：将三棱锥补形成长方体，结合条件，确定的值，再利用“割补法”求三棱锥的体积. 14. 已知且，函数有三个零点，则实数取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分类讨论参数和来研究函数零点，利用等式进行分离参变量，构造不含参函数来求导研究单调性和取值情况，从而确定参数范围. 【详解】当时，作出函数与的图象: 可知：两函数与在第二象限必有一个交点， 所以函数必有一个零点， 由函数有三个零点，等价于当时，方程有两个解， 两边取自然对数，变形可得：． 令，， 则当，，即在上单调递增； 当，，则在上单调递减． 又，；，，． 故， 作出函数的图象： 要使得方程要有两个解， 等价于直线与函数的图象要有两个交点， 即只需要满足，故． 当时，由与关于轴对称， 可利用时，满足方程要有两个正根， 可知当时，也满足方程要有两个负根， 故此时，也满足题意． 综上可得：实数的取值范围是． 故答案为： 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的大小； （2）若的平分线CD的长为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的正弦公式化简即可求解. （2）利用三角形面积公式及余弦定理即可求出三角形周长. 【小问1详解】 在中，由，得， 则，而，于是，即， 因此，所以． 【小问2详解】 依题意，，即， 则，解得， 由余弦定理得， 所以的周长为． 16. 如图，在正三棱柱中，，分别是与的中点． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，证明，根据线面平行判定定理证明结论， （2）建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，利用向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 取中点，连接，， 因为D，E分别是与的中点， 所以，，，， 故，，故是平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 因 平面，则 平面，又为正三角形， 则两两垂直，故可以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设，则，，， 则， 设平面的法向量为， 则，， 即，故可取， 因 平面，故平面的法向量可取为， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 高三联考数学试卷的多项选择题每小题满分6分，每小题有4个选项，其中只有2个或者3个选项是正确的.若正确选项有2个，则选对其中1个得3分；若正确选项有3个，则选对其中1个得2分，选对其中2个得4分，答案中有错误选项的得0分.设一套数学试卷的多项选择题中有2个选项正确的概率为，有3个选项正确的概率为.在一次模拟考试中： （1）小明可以确认一道多项选择题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得分X的数学期望为3，求p； （2）小明可以确认另一道多项选择题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个.共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？ 【答案】（1） （2）② 【解析】 【分析】（1）根据离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可， （2）分别求解三种情况下的期望，即可比较期望大小求解. 【小问1详解】 根据题意可知，， 若该题有2个选项正确，则， 若该题有3个选项正确，则， 则分布列如下： X 0 4 6 P 所以， 解之得； 【小问2详解】 不妨记一道多选题“有2个选项正确”为事件， “有3个选项正确”为事件， 若小明选择方案①， 记小明该题得分为，则的可能取值为2，3，对应概率为： ， 故； 若小明选择方案②， 记小明该题得分为，则的可能取值为，对应概率为： ， ， 故， 若小明选择方案③， 记小明该题得分为Z，则Z的可能取值为，对应概率为： ， . 故， ， 故以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择方案②. 18. 已知点在离心率为的椭圆上，过点的直线与椭圆只有1个公共点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求直线的方程； （3）若直线与直线相交于点，证明：以为直径的圆经过椭圆的右焦点． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的标准方程和几何性质列方程组求解即可； （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，令判别式等于0解出即可； （3）联立直线与直线，解出点坐标，进而得到以为直径的圆的方程，判断该方程是否过右焦点即可. 【小问1详解】 由题意可知该椭圆中，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，联立解得， 此时点直线与椭圆有2个公共点，不符合题意， 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 联立方程，消去得， 因为直线与椭圆只有1个公共点，所以， 解得， 所以直线的方程为. 【小问3详解】 联立方程，解得， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以该圆的方程为， 令可得，解得或， 所以以为直径的圆经过点，即椭圆的右焦点． 19. 给出以下三个材料： ①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似的，函数的二阶导数的导数叫做函数的三阶导数，记作，函数的三阶导数的导数叫做函数的四阶导数……，一般地，函数的阶导数的导数叫做函数的n阶导数，记作，； ②若，定义； ③若函数在包含的某个开区间上具有任意阶的导数，那么对于任意有，我们将称为函数在点处的泰勒展开式. 例如在点处的泰勒展开式为 根据以上三段材料，完成下面的题目： （1）求出在点处的泰勒展开式； （2）用在点处的泰勒展开式前三项计算的值，精确到小数点后4位； （3）现已知，试求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用阶泰勒展开式的定义，可求， （2）由（1）可求； （3）由（1）可得，进而可得，结合已知可得结论. 【小问1详解】 ，，，， 所以，，，， 由 所以 【小问2详解】 由（1）可得 【小问3详解】 因为①， 对， 两边求导可得：， 所以， 所以②， 比较①②中的系数，可得： ， 所以. 【点睛】关键点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确阶泰勒展开式的具体定义；第三问关键在于用阶泰勒展开式表示. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 设等差数列的前项和为，若，，则的值为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 4. 树人学校开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分配成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（ ） A. 20种 B. 40种 C. 60种 D. 80种 5. 有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，任取一个零件，则它是次品的概率（ ） A. 0.054 B. 0.0535 C. 0.0515 D. 0.0525 6. 已知函数的部分图象如图，则曲线与的交点个数为（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 7. 已知正数a，b满足，则（ ） A B. C. D. 8. 已知双曲线的右焦点为，以OF（为坐标原点）为直径的圆与一条渐近线交于点，直线MF与另一条渐近线交于点，且，则的离心率为（ ） A B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线的焦点为，经过点的直线的倾斜角为，直线与抛物线相交于两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在棱长为2的正方体中，O是BD中点，P是直线上的动点，则（ ） A. 存在唯一的点P，使得平面 B. 当平面时， C. 当时， D. 当时，三棱锥外接球半径为 11. 首项为正数的数列满足．则以下结论正确的是（ ） A. 若为奇数，则对一切都是奇数 B. 若数列单调递增，则 C. 若时，数列单调递增 D. 对任意，不等式都成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若，则______． 13. 已知四面体中的各棱长均为整数，，则该四面体的体积为__________． 14. 已知且，函数有三个零点，则实数的取值范围是______． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的大小； （2）若的平分线CD的长为，求的周长． 16. 如图，在正三棱柱中，，分别是与的中点． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角余弦值． 17. 高三联考数学试卷的多项选择题每小题满分6分，每小题有4个选项，其中只有2个或者3个选项是正确的.若正确选项有2个，则选对其中1个得3分；若正确选项有3个，则选对其中1个得2分，选对其中2个得4分，答案中有错误选项的得0分.设一套数学试卷的多项选择题中有2个选项正确的概率为，有3个选项正确的概率为.在一次模拟考试中： （1）小明可以确认一道多项选择题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得分X的数学期望为3，求p； （2）小明可以确认另一道多项选择题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个.共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？ 18. 已知点在离心率为椭圆上，过点的直线与椭圆只有1个公共点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求直线的方程； （3）若直线与直线相交于点，证明：以为直径的圆经过椭圆的右焦点． 19 给出以下三个材料： ①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似的，函数的二阶导数的导数叫做函数的三阶导数，记作，函数的三阶导数的导数叫做函数的四阶导数……，一般地，函数的阶导数的导数叫做函数的n阶导数，记作，； ②若，定义； ③若函数在包含的某个开区间上具有任意阶的导数，那么对于任意有，我们将称为函数在点处的泰勒展开式. 例如在点处的泰勒展开式为 根据以上三段材料，完成下面的题目： （1）求出在点处的泰勒展开式； （2）用在点处的泰勒展开式前三项计算的值，精确到小数点后4位； （3）现已知，试求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$