精品解析：江苏省泰州市靖江市靖江外国语学校2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题

靖江市外国语学校2023－2024学年度第二学期调研测试 八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 以下调查中，适宜全面调查的是（ ） A. 调查某批次汽车的抗撞击能力 B. 调查全国快递包裹产生包装垃圾的数量 C. 调查春节联欢晚会的收视率 D. 调查某班学生的身高情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：A．调查某批次汽车的抗撞击能力，适合使用抽样调查，故本选项不合题意； B．调查全国快递包裹产生包装垃圾的数量，适合使用抽样调查，故本选项不合题意； C．调查春节联欢晚会的收视率，适合使用抽样调查，故本选项不合题意； D．调查某班学生的身高情况，适合使用全面调查，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 在下列实数中无理数有（　　）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据有理数和无理数的定义和区别即可得到． 【详解】，﹣8，0.6，0是有理数；，，是无理数，故无理数有3个． 故选B． 【点睛】注意特殊的无理数，熟练掌握并区分有理数和无理数． 4. 用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”，应先假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都小于 C. 有一个内角大于 D. 每一个内角都大于 【答案】B 【解析】 【分析】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的第一步是假设命题的结论不成立，据此可以得到答案． 【详解】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”， 应先假设这个三角形中每一个内角都小于． 故选：B． 5. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减．利用分式的基本性质，把等式变形即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 6. 已知正方形的对角线、交于，如图， 是的中点，线段 （点在点的左边）在直线上运动，连结、，若，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，轴对称的性质，中位线的性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．取的中点，连接，，，且交于点，证明四边形为平行四边形，得出，由正方形的性质得出，则可得出，由勾股定理求出的长，则可得出答案． 【详解】解：正方形中，， ， ， 如图，取的中点，连接，，，且交于点， 为的中点， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形是正方形， ，关于对称， ， ， 即与重合时，最小，最小值为的长， ，， ， 的最小值为． 故选：A 7. 使得代数式有意义的x的取值范围是_____． 【答案】x＞3 【解析】 【分析】二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴x﹣3＞0， ∴x＞3， ∴x的取值范围是x＞3， 故答案为：x＞3． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 8. 下列事件：①太阳从东方升起；②三条线段能组成一个三角形；③a是实数，；④购买一张大乐透彩票，中大奖500万．其中确定事件是 _____（填写序号）． 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据随机事件、必然事件概念对选项进行判断即可． 【详解】解：∵①是必然事件；②是随机事件；③是不可能事件；④是随机事件； ∴确定事件是①③， 故答案为：①③． 【点睛】此题考查了随机事件、必然事件，解题的关键是熟悉随机事件、必然事件的概念． 9. 若关于的分式方程有增根，则的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】此题主要考查分式方程的增根问题．先去分母，化成整式方程，再把增根代入即可求出m的值． 【详解】解：去分母得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴，即增根， 把代入得， 解得， 故答案为：3． 10. 社团课上，同学们进行了“摸球游戏”在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图如图所示，经分析可以估计盒子里黑球与白球的个数比为__________． 【答案】1：4 【解析】 【分析】根据频率估计概率得出摸到黑球的近似概率，再得出摸到白球的概率，即可得出黑球与白球的个数比． 【详解】解：由图可知，摸到黑球的概率约为0.2，则摸到白球的概率为0.8， ∴可以估计盒子里黑球与白球的个数比为0.2：0.8=1：4， 故答案为：1：4． 【点睛】本题考查用频率估计概率，解答的关键是实验的次数足够大，次数太少不能估计概率． 11. 若实数满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、绝对值的化简、算术平方根．先求得，则，进而得到，然后求解即可． 【详解】解：依题意得，则， ∴， ∴原式化为，即， 得， ∴． 故答案为：． 12. 已知，满足，则的值为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．由整理得，再对所求式子化简整理，整体代入即可求解． 【详解】解：， ，即， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为点，连接，则的度数为_____________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，熟记各性质是解题的关键． 连接，根据菱形的对角线平分一组对角线可得，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再根据菱形的邻角互补求出，然后求出，最后根据菱形的对称性可得． 【详解】解：如图，连接， 在菱形中，， 是的垂直平分线， ， ， 菱形的对边， ， ， 由菱形的对称性，． 故答案为：． 14. 如图， 在中，，，将绕点 B 按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，由旋转的性质推出，，，则，进而推出，再证明为等腰直角三角形，得到，则． 【详解】解： 设与相交于D，如图， ∵将绕点 B 按逆时针方向旋转后得到 ， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为32，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用斜边上的中线等于斜边的一半和的周长，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用三角形的中位线定理，即可得解． 【详解】解：的周长为32， ． 为DE的中点， ． ， ， ， ， ． 四边形是正方形， ，O为BD的中点， 是的中位线， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，斜边上的中线，三角形的中位线定理．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 16. 在中，，，为斜边的中点，为形外一动点且，若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将绕点逆时针旋转得到，作交的延长线于，证明，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵，，为斜边的中点，，， ∴，， 将绕点逆时针旋转得到，作交的延长线于， ∴，，， ，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，四边形的内角和，角的直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是正确地作出辅助线． 三、解答题（本大题共102分） 17. （1）计算； （2）解方程． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂和立方根，解分式方程等知识．解题的关键在于正确的计算． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂和绝对值以及立方根，最后进行加减运算即可； （2）先去分母得到整式方程，然后去括号、移项合并，系数化为1求出整式方程的解，最后代入最简公分母中进行检验，进而可得分式方程的解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得；， 系数化为1得：， 检验，将代入，， 所以是原分式方程的解． 18. 已知：． （1）化简A； （2）若点是一次函数图象上的点，求A的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算、一次函数图象上的点．注意化简的准确性． （1）利用异分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果； （2）把点坐标代入一次函数解析式求出的值，代入原式计算即可求出值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵点是一次函数图象上的点， ∴，即， ∴原式． 19. 今年3月5日，空港中学组织全体学生参加了“走出校门，服务社会”的活动．八年级（3）班班长统计了该天本班学生打扫街道，去敬老院服务和到社区文艺演出的人数，并做了如下直方图和扇形统计图．请根据班长所作的两个图形，解答： （1）八年级（3）班有多少名学生？ （2）补全直方图的空缺部分． （3）若八年级有400名学生，估计该年级去敬老院的人数． 【答案】（1）八年级（3）班有50名学生； （2）见解析 （3）该年级去敬老院的人数约是80人． 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． （1）本题需先根据条形图知到社区文艺演出的人数为15人，再有它们在图中所占的比例即可求出该班的学生人数； （2）用总人数减去打扫街道和去社区文艺演出的人数，求出去敬老院服务的学生数，即可补全统计图； （3）用总人数乘以该年级去敬老院的人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：由条形图知到社区文艺演出的人数为15人，由扇形图知到社区文艺演出的人数占全体的， 所以抽取的部分同学的人数（人）； 答：八年级（3）班有50名学生； 【小问2详解】 解：根据题意，去敬老院服务的人数是：（人）， 如图： 【小问3详解】 解：根据题意得： （人）． 答：该年级去敬老院的人数约是80人． 20. 先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． （1）_____________的解答过程是错误的； （2）错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_____________； （3）先化简，再求值： ，其中． 【答案】（1）小亮 （2）（或） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质，判断出小亮的计算是错误的； （2）错误原因是：二次根式的性质的应用错误； （3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据二次根式的性质化简，再代入计算即可． 【小问1详解】 根据二次根式的性质，判断出小亮的计算是错误的， 故答案为：小亮； 【小问2详解】 二次根式的性质为：（或）， 故答案为：（或）； 【小问3详解】 解：原式， ， ， 原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，要熟练掌握二次根式的性质：． 21. 如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线． （1）求证：AF与DE互相平分； （2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）AF=BC，理由见解析 【解析】 【分析】（1）易知点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，所以线段DF与EF也为△ABC的中位线，由中位线定理证得四边形ADFE是平行四边形，因为平行四边形的对角线相互平分，此题可证； （2）根据对角线相等的平行四边形是矩形，结合已知条件可知，当AF=BC时，平行四边形ADFE为矩形． 【小问1详解】 证明：∵线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线， ∴D，E，F分别是AB，AC，BC的中点， ∴线段DF与EF也为△ABC的中位线， ∴DFAC，EFAB， ∴四边形ADFE是平行四边形， ∴AF与DE互相平分． 【小问2详解】 解：当AF=BC时，四边形ADFE为矩形，理由如下： ∵线段DE为△ABC的中位线， ∴DE=BC， 由（1）知四边形ADFE为平行四边形，若ADFE为矩形，则AF=DE， ∴当AF=BC时，四边形ADFE为矩形． 【点睛】此题考查了中位线定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质；解题的关键是数形结合，熟练运用上述知识． 22. 【项目式学习】根据以下素材，探索完成任务． 【素材1】在入夏之际我市某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．每杯“芝士杨梅”的售价比“满杯杨梅”贵2元，购买1杯“芝士杨梅”和2杯“满杯杨梅”共需元． 【素材2】每逢周六，该奶茶店生意比平时好，当天销售“芝士杨梅”共获利润元，“满杯杨梅”获利润元，其中每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖杯． 【问题解决】任务1：每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？ 任务2：每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本是多少？ （，） 【答案】（1）每杯“满杯杨梅”的售价是元，每杯“芝士杨梅”的售价是元 （2）每杯“满杯杨梅”的成本是9元，每杯“芝士杨梅”的成本是9元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用．熟练掌握一元一次方程的应用，分式方程的应用是解题的关键． 任务1：设每杯“满杯杨梅”的售价是x元，则每杯“芝士杨梅”的售价是元，依题意得，，计算求解，然后作答即可； 任务2：方法一：设“芝士杨梅”卖a杯，则“满杯杨梅”卖杯，依题意得，，可求，根据“芝士杨梅”成本为，“满杯杨梅”成本为，计算求解即可；方法二：设每杯“满杯杨梅”的利润是y元，则每杯“芝士杨梅”的利润是元，由题意得：，可求，然后计算求解即可． 【详解】任务1：解：设每杯“满杯杨梅”的售价是x元，则每杯“芝士杨梅”的售价是元， 依题意得，， 解得：， ∴， 答：每杯“满杯杨梅”的售价是元，每杯“芝士杨梅”的售价是元； 任务2： 方法一：解：设“芝士杨梅”卖a杯，则“满杯杨梅”卖杯， 依题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且满足题意， ∴“芝士杨梅”成本为（元/杯），“满杯杨梅”成本为（元/杯） 答：“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本均为9元/杯； 方法二：设每杯“满杯杨梅”的利润是y元，则每杯“芝士杨梅”的利润是元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且满足题意； ，， 答：每杯“满杯杨梅”的成本是9元，每杯“芝士杨梅”的成本是9元． 23. （阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 【答案】（1）（2）（3）小莹的购货方式更合算，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了作差法比较两个数的大小，多项式乘以多项式，整式加减运算、分式加减法的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中的方法作差解答； （2）先分别表示出两个平行四边形的面积，再利用作差法计算判断； （3）先分别表示两人两次购买苹果的平均单价，再用作差法计算比较大小即可判断． 【详解】（1）∵， ∴，即 故答案为：； （2）， ， ． ， ， ，即． （3）小亮两次购买苹果共花费元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； 小莹两次购买苹果共花费20元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； ， m，n是正数，且， ， ， 小莹的购货方式更合算． 24. 定义：如果三角形有两个内角的差为，那么称这样的三角形为“准直角三角形”． （1）已知是“准直角三角形”，，若，则______． （2）如图，在菱形中，，，连接，若正好为一个准直角三角形，求菱形的面积． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分情况讨论，从或者两种情况讨论，算出的值； （2）根据菱形的性质得到，，，求得，连接交于点，根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形．求出，得到，再根据勾股定理计算出的值，最后根据菱形的面积公式计算出结果． 【小问1详解】 解：当时， ， ， ， 解得， 当时， ， 根据三角形的内角和为， ， 综上所述，或； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， ， ， 正好为一个准直角三角形， ， ， ， ， 连接交于点， 是等边三角形，， ， ， ， 故， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确理解“准直角三角形”是解题的关键． 25. 【问题背景】矩形纸片中，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处． 【初步认识】 （1）如图1，折痕的端点与点重合． ①当时， °； ②若点恰好在线段上，则的长为 ； 【深入思考】 （2）若点恰好落在边上． 如图2，过点作交于点，交于点，连接．请根据题意，补全图2并证明四边形是菱形； 【拓展提升】 （3）如图3，若，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】（1）①65；②2；（2）见解析；（3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）①由折叠性质和可求出度数； ②由折叠和勾股定理可求出，再利用列出式子，求出的长，最后即可求出的长度； （2）先证四边形是平行四边形，再由折叠证进而证明四边形是菱形； （3）分两种情况进行讨论：①当时，②当时．利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：（1）①，， ， 由折叠可得：， ； 故答案为：65； ②由折叠可得：，，， ，， ， 点在上， ， ， 在中，， ， ； 故答案为：2； （2）如图， 证明：∵， ， 由折叠可知，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （3）由折叠可知， 设，则，， ①当时， 在中， ， 解得：， ； ②当时，过点作交于， ， 由折叠可知， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题主要考查了菱形的知识、折叠的知识、等腰三角形的知识、勾股定理的知识，难度比较大，需要认真分析． 26. 如图1，在中，，，点，分别在边，上， ，连接，，．若是的中点，连接交于点． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把绕点逆时针旋转．如图2，请问（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）拓展延伸：把绕点旋转，当点旋转到直线上时，连接，试探究与、之间有怎样的数量关系？ 【答案】（1）， （2），，仍然成立．理由见解析 （3）或． 【解析】 【分析】（1）证明．得出．，则可得出结论； （2）延长至点，使，连接，如图，证明，得出，，证明，得出，，则可得出结论； （3）分两种情况，由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出结论． 【小问1详解】 解：在和中， ， ． ． 点是线段中点，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：，仍然成立． 理由：延长至点，使，连接，如图， 是的中点， ． 在和中， ， ， ，， ∴， ， 将图1中的绕点逆时针旋转， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 仍然成立． ，， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，当点在的延长线上时，延长，使，连接， 由（2）可知，，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ； 当点在线段上时，延长，使，连接， 同理可得出四边形是矩形， ， ， ； 综上所述，与、之间的数量关系为或． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，图形旋转变化的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的判定与性质，构造全等三角形是解题的关键，也是解决此类问题常添加的辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 靖江市外国语学校2023－2024学年度第二学期调研测试 八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 2. 以下调查中，适宜全面调查的是（ ） A. 调查某批次汽车的抗撞击能力 B. 调查全国快递包裹产生包装垃圾的数量 C. 调查春节联欢晚会的收视率 D. 调查某班学生的身高情况 3. 在下列实数中无理数有（　　）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”，应先假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都小于 C. 有一个内角大于 D. 每一个内角都大于 5. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方形的对角线、交于，如图， 是的中点，线段 （点在点的左边）在直线上运动，连结、，若，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 使得代数式有意义的x的取值范围是_____． 8. 下列事件：①太阳从东方升起；②三条线段能组成一个三角形；③a是实数，；④购买一张大乐透彩票，中大奖500万．其中确定事件是 _____（填写序号）． 9. 若关于的分式方程有增根，则的值是______． 10. 社团课上，同学们进行了“摸球游戏”在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图如图所示，经分析可以估计盒子里黑球与白球的个数比为__________． 11. 若实数满足，则________． 12. 已知，满足，则的值为______． 13. 如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为点，连接，则的度数为_____________． 14. 如图， 在中，，，将绕点 B 按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为 _______． 15. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为32，则的长为___________． 16. 在中，，，为斜边的中点，为形外一动点且，若，，则的值为______． 三、解答题（本大题共102分） 17. （1）计算； （2）解方程． 18. 已知：． （1）化简A； （2）若点是一次函数图象上的点，求A的值． 19. 今年3月5日，空港中学组织全体学生参加了“走出校门，服务社会”的活动．八年级（3）班班长统计了该天本班学生打扫街道，去敬老院服务和到社区文艺演出的人数，并做了如下直方图和扇形统计图．请根据班长所作的两个图形，解答： （1）八年级（3）班有多少名学生？ （2）补全直方图的空缺部分． （3）若八年级有400名学生，估计该年级去敬老院的人数． 20. 先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． （1）_____________的解答过程是错误的； （2）错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_____________； （3）先化简，再求值： ，其中． 21. 如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线． （1）求证：AF与DE互相平分； （2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由． 22. 【项目式学习】根据以下素材，探索完成任务． 【素材1】在入夏之际我市某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．每杯“芝士杨梅”的售价比“满杯杨梅”贵2元，购买1杯“芝士杨梅”和2杯“满杯杨梅”共需元． 【素材2】每逢周六，该奶茶店生意比平时好，当天销售“芝士杨梅”共获利润元，“满杯杨梅”获利润元，其中每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖杯． 【问题解决】任务1：每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？ 任务2：每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本是多少？ （，） 23. （阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 24. 定义：如果三角形有两个内角的差为，那么称这样的三角形为“准直角三角形”． （1）已知是“准直角三角形”，，若，则______． （2）如图，在菱形中，，，连接，若正好为一个准直角三角形，求菱形的面积． 25. 【问题背景】矩形纸片中，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处． 【初步认识】 （1）如图1，折痕的端点与点重合． ①当时， °； ②若点恰好在线段上，则的长为 ； 【深入思考】 （2）若点恰好落在边上． 如图2，过点作交于点，交于点，连接．请根据题意，补全图2并证明四边形是菱形； 【拓展提升】 （3）如图3，若，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 26. 如图1，在中，，，点，分别在边，上， ，连接，，．若是的中点，连接交于点． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把绕点逆时针旋转．如图2，请问（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）拓展延伸：把绕点旋转，当点旋转到直线上时，连接，试探究与、之间有怎样的数量关系？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $