精品解析：陕西省延安市黄龙县三岔乡九年制学校2025-2026学年八年级上学期开学考试数学试题

2025~2026学年度第一学期开学收心检测卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 无限不循环小数叫做无理数，根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、0不是无理数，故本选项不符合题意； B、不是无理数，故本选项不符合题意； C、是无理数，故本选项符合题意； D、是分数，不是无理数，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 如图，直线，被直线所截，，点在上，连接，，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了平行线的性质，根据平行线的性质求出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3. 对某中学70名女生的身高进行测量，得到一组数据的最大值为169cm，最小值为143cm，对这组数据整理时测定它的组距为5cm，应分成( ) A. 5组 B. 6组 C. 7组 D. 8组 【答案】B 【解析】 【分析】根据组数=（最大值-最小值）÷组距进行计算即可,注意小数部分无论是否满5都要进位． 【详解】解：因为样本数据中最大值为169,最小值为143, 所以它们的差是169-143=26cm, 已知组距为5cm, 那么由于26÷5=5.2, 所以可以分成6组, 故选：B. 4. 某学校周边的平面示意图如图所示，如果医院所在位置的坐标为，水果店所在位置的坐标为，则学校所在位置的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置：平面直角坐标系中，点与有序实数对一一对应． 先根据医院所在位置的坐标为，水果店所在位置的坐标为画出直角坐标系，从而确定学校的位置． 【详解】解：根据题意建立平面直角坐标系如下图， 则学校所在位置的坐标为． 故选：C． 5. 某农科院指导农户通过种植紫甘薯来提高经济收入，紫甘薯对环境温度的要求较高，温度的变化会影响紫甘薯的存活率，如图是农科院绘制的去年种植的一批试验紫甘薯在不同温度时的死亡率的趋势图，请预测当温度为℃时，种植紫甘薯植株的死亡率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过观察图象，作温度为对应的竖直直线与趋势直线相交，对比各选项数值与交点位置的接近程度来确定答案。本题主要考查了函数图象的应用，熟练掌握利用函数图象进行数据预测、准确分析图象信息是解题的关键。 【详解】解：如图，作图中趋势直线与对应的竖直直线相交，结合A、B、C、D四个选项，其中A、B、C偏离直线较大，只有离直线最近，故D项符合题意， 故答案为：D ． 6. 已知和都是关于，的二元一次方程的解，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解、解二元一次方程组、代数式求值等知识点，掌握二元一次方程解的定义成为解题的关键．先根据二元一次方程解的定义得到二元一次方程组，然后求解得到的值，最后代入代数式求值即可． 【详解】解：∵和都是关于，的二元一次方程的解， ∴，解得：， ， 故选：A． 7. 某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（　　） A. 6折 B. 7折 C. 8折 D. 9折 【答案】B 【解析】 【分析】设可打x折，根据售价=标价×打折率和利润=售价-进价=进价×利润率列出不等式求解即可. 【详解】解：设可打x折，则有1200x÷10-800≥800×5%， 解得：x≥7， 即最多打7折． 故选：B. 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以10．解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解． 8. 如图，平分，点在上，平分，且，有下面四个说法： ①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线平分角，以及平行线的判定定理和性质定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵平分平分 ∴， ∴，故①、②正确， ∴，故③正确， ∴，故④错误． 故选C． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义．解题的关键是掌握平行线的判定定理，同位角相等，两直线平行． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 一元一次不等式的最大整数解是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的方法和步骤是解题关键． 按照移项、合并同类项，系数化为 1 的步骤解一元一次不等式，然后确定最大整数解即可． 【详解】解：， 移项、合并同类项，得， 所以，其最大整数解是2． 故答案为：2． 10. 为了解我区近3000名学生初一期末数学检测的成绩情况，从中随机抽取了150名考生的成绩进行统计，在这个问题中，样本容量是________． 【答案】150 【解析】 【分析】本题考查的是确定总体、个体和样本，根据总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，进行解答即可． 【详解】解：了解我区近3000名学生初一期末数学检测的成绩情况，从中随机抽取了150名考生的成绩进行统计， 则样本容量为150， 故答案为：150． 11. 在平面直角坐标系中，已知点在第三象限，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据第三象限内点的坐标特征（横、纵坐标均为负）列出不等式组，求解不等式组得到的取值范围．本题主要考查了平面直角坐标系中第三象限点的坐标特征以及一元一次不等式组的求解，熟练掌握第三象限点横、纵坐标都为负并据此列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴． 解得； 解得． ∴． 故答案为： ． 12. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设竹竿有根，根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．根据牧童的数量一定，列出方程即可． 【详解】解：设竹竿有根，由题意，得：； 故答案为：． 13. 如图，在数轴上表示实数的点可能是点______．（选填“”“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】先确定的取值范围，再根据数轴上点的位置判断表示的点．本题主要考查了实数与数轴的对应关系以及无理数的估算，熟练掌握利用平方数估算无理数的大小是解题的关键． 【详解】解： ，即． 观察数轴，在附近，在附近，在到之间，在到之间， 所以表示的点可能是． 故答案为： ． 14. 小亮和家人周末到公园游玩．湖边有大小两种游船，小亮发现2艘大船与4艘小船一次可以满载游客64人，3艘大船与2艘小船一次可以满载游客72人，则1艘大船与1艘小船一次可以满载游客的总人数为______人． 【答案】26 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设 1 艘大船可载人， 1 艘小船可载人，依题意：2艘大船与4艘小船一次可以满载游客64人，3艘大船与2艘小船一次可以满载游客72人．列出二元一次方程组，求出的值即可． 【详解】解：设1艘大船可载人，1艘小船可载人， 依题意得：， 解得：， ， 即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为 26 ， 故答案为： 26 ． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据算术平方根的定义求出的值，再根据绝对值的性质求出的值，接着根据立方根的定义求出的值，最后将这三个值相加即可．本题主要考查了实数的运算，包括算术平方根、绝对值和立方根的计算．熟练掌握算术平方根、绝对值的性质以及立方根的定义是解题的关键． 【详解】解： ． 16. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．注意要掌握不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了．先分别求出每个不等式的解集，然后再确定出公共解集即可得． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 所以原不等式组的解集为：． 17. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法来求解二元一次方程组即可．本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 【详解】解： 得， 得， 解得， 把代入①得 解得， 故原方程组的解为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，．将三角形先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到三角形，点，，的对应点分别为点，，． （1）请在图中画出三角形； （2）直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平移规律算出、、平移后对应点、、的坐标，再描点连线得到； （2）依据平移规律直接计算点平移后的坐标 ． 本题主要考查了平面直角坐标系中图形的平移及点的坐标变化规律，熟练掌握“图形平移时，对应点遵循‘左减右加，上加下减’的坐标变化规则”是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，为所求， 【小问2详解】 解：由图可得坐标为 ． 19. 盒子里有若干个大小相同的白球和红球，从中摸到1个红球得2分，摸到1个白球得3分．若某人摸到5个球，总得分小于12分，那么可能摸到几个红球？ 【答案】可能摸到4个或5个红球 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式的应用，根据总得分小于12分列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：设摸到个红球． 由题意，得． 解这个不等式，得． 为不大于5的自然数， 或5． 答：可能摸到4个或5个红球． 20. 如图，直线，交于点，，垂足为，若，求的度数． 【答案】的度数为 【解析】 【分析】先根据邻补角的性质设未知数求出的度数，再利用对顶角相等得到的度数，最后结合垂直的性质求出的度数．本题主要考查了邻补角、对顶角以及垂直的性质，熟练掌握邻补角互补、对顶角相等是解题的关键． 【详解】解：设，则． ∵与是邻补角， ∴ 解得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故的度数为 ． 21. 已知3是的一个平方根，是的立方根，求的算术平方根． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根、立方根以及算术平方根，解题的关键是正确列出方程． 根据平方根和立方根列出对应的方程，求出和的值，再求的算术平方根即可． 【详解】解：∵3是的一个平方根， ， 则， ∵是的立方根， ， 则， 故的算术平方根为4． 22. 已知点，解答下列各题． （1）若点的坐标为，直线轴，求点的坐标． （2）若将点向上平移3个单位恰好落在轴上，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，点的平移，掌握点的坐标与位置的关系是解题的关键． （1）根据“直线轴”得出横坐标相等，列方程求解； （2）先求解平移后的，再根据题意列方程求解． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为，，直线轴， ∴， 解得：， ； 【小问2详解】 解：∵将点向上平移3个单位恰好落在轴上， ∴且， 解得：， ∴平移后． ∴原来的点， 23. 某校组织开展了丰富多彩的主题活动，设置了“A．诗歌朗诵表演；B．歌舞表演；C．书画作品展览；D．手工作品展览”四个主题活动，每个学生只能报名参加其中一个主题活动．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，绘制了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）本次随机调查的学生人数是_____人； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有1800名学生，估计该校参加“B．歌舞表演”主题活动的学生人数． 【答案】（1）60 （2） 补全条形统计图如图所示： （3）540 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的知识点，解决本题的关键是对两种统计图所涉及的量要熟练计算． （1）根据条形统计图中的人数及扇形统计图中的百分比求出总人数． （2）根据（1）中的总人数，求出C的人数，即可补全条形图． （3）计算出B所占的百分比，再根据总人数计算． 【小问1详解】 解：人， 故答案为： 60 ； 【小问2详解】 解：组人数是人 【小问3详解】 解：人， 答：全校选择“B．歌舞表演”的学生约有540人． 24. 如图，在四边形中，，，点在上方，连接，，交于点，，． （1）求的度数； （2）点是上的一点，连接，，求证． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件求出的度数，再利用四边形内角和或三角形外角等知识，结合与的度数判断与的位置关系，进而求出的度数． （2）求出与相关角的度数，通过同位角或内错角相等来证明 ． 本题主要考查了平行线的判定与性质、对顶角相等以及角的和差计算等知识，熟练掌握平行线的判定定理（内错角相等、同旁内角互补等）和性质（两直线平行，同位角、内错角相等）是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴（对顶角相等）． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． 25. 某公司计划购进，两种品牌的教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润（毛利润销售总金额进货总金额）12万元，这两种教学设备的进价和售价如表所示： 进价（万元/套） 1.5 1.2 售价（万元/套） 1.8 1.4 （1）该公司计划购进，两种品牌的教学设备各多少套？ （2）通过市场调研，该公司决定在原计划的基础上，减少种设备的购进数量，增加种设备的购进数量，已知种设备增加的数量是种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过68万元，问种设备购进数量至多减少多少套? 【答案】（1）该公司计划购进品牌的教学设备套，品牌的教学设备套． （2）6套 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，熟练掌握根据等量关系列方程组、根据不等关系列不等式是解题的关键． （1）设购进品牌设备套，品牌设备套，根据进货总金额和毛利润的条件，列二元一次方程组求解． （2）设种设备购进数量减少套，结合种设备增加数量与的关系，根据总资金不超万元列一元一次不等式求解． 【小问1详解】 解：设该公司计划购进品牌的教学设备套，品牌的教学设备套． 解得 答：该公司计划购进品牌的教学设备套，品牌的教学设备套． 【小问2详解】 解：设种设备购进数量减少套，则种设备增加套．变化后的数量为套，的数量为套．由题意得 根据总资金不超过万元列不等式： 解得， 又因为设备数量为整数， 所以和均为整数， 则为偶数， 因此，满足的的最大值为6． 答：种设备购进数量至多减少6套． 26. 【问题感知】 （1）如图1，若，平分，求证：． 请将下列证明过程补充完整： 证明：平分，（已知）， _____（角平分线的定义）． （已知）， _____（两直线平行，内错角相等）． （等量代换）． 【问题探索】 （2）如图2，直线，被直线所截，平分，，点在射线上，点在线段上，连接，若，求证：； 【衍生拓展】 （3）如图3，将（2）中的点移动到线段的延长线上，其他条件不变，连接，若，求的度数． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，几何图形中的角度计算，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据角平分线定义和平行线的性质进行解答即可； （2）先证明，得出，在证明，根据平行线的判定得出结论即可； （3）根据角平分线定义得出，根据平行线的性质求出，求出，最后根据平行线的性质求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵平分，（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． （2）证明：∵平分， ， ， ， ， ， ， ， ， （3）解：∵， ∴根据（2）可知：， ， 根据探索可知：， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期开学收心检测卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 如图，直线，被直线所截，，点在上，连接，，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 对某中学70名女生的身高进行测量，得到一组数据的最大值为169cm，最小值为143cm，对这组数据整理时测定它的组距为5cm，应分成( ) A. 5组 B. 6组 C. 7组 D. 8组 4. 某学校周边的平面示意图如图所示，如果医院所在位置的坐标为，水果店所在位置的坐标为，则学校所在位置的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 某农科院指导农户通过种植紫甘薯来提高经济收入，紫甘薯对环境温度的要求较高，温度的变化会影响紫甘薯的存活率，如图是农科院绘制的去年种植的一批试验紫甘薯在不同温度时的死亡率的趋势图，请预测当温度为℃时，种植紫甘薯植株的死亡率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知和都是关于，的二元一次方程的解，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（　　） A. 6折 B. 7折 C. 8折 D. 9折 8. 如图，平分，点在上，平分，且，有下面四个说法： ①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 一元一次不等式的最大整数解是______． 10. 为了解我区近3000名学生初一期末数学检测的成绩情况，从中随机抽取了150名考生的成绩进行统计，在这个问题中，样本容量是________． 11. 在平面直角坐标系中，已知点在第三象限，则的取值范围为______． 12. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设竹竿有根，根据题意可列方程为______． 13. 如图，在数轴上表示实数的点可能是点______．（选填“”“”“”或“”） 14. 小亮和家人周末到公园游玩．湖边有大小两种游船，小亮发现2艘大船与4艘小船一次可以满载游客64人，3艘大船与2艘小船一次可以满载游客72人，则1艘大船与1艘小船一次可以满载游客的总人数为______人． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解不等式组： 17. 解方程组： 18. 如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，．将三角形先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到三角形，点，，的对应点分别为点，，． （1）请在图中画出三角形； （2）直接写出点的坐标． 19. 盒子里有若干个大小相同的白球和红球，从中摸到1个红球得2分，摸到1个白球得3分．若某人摸到5个球，总得分小于12分，那么可能摸到几个红球？ 20. 如图，直线，交于点，，垂足为，若，求的度数． 21. 已知3是的一个平方根，是的立方根，求的算术平方根． 22. 已知点，解答下列各题． （1）若点的坐标为，直线轴，求点的坐标． （2）若将点向上平移3个单位恰好落在轴上，求点的坐标． 23. 某校组织开展了丰富多彩的主题活动，设置了“A．诗歌朗诵表演；B．歌舞表演；C．书画作品展览；D．手工作品展览”四个主题活动，每个学生只能报名参加其中一个主题活动．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，绘制了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）本次随机调查的学生人数是_____人； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有1800名学生，估计该校参加“B．歌舞表演”主题活动的学生人数． 24. 如图，在四边形中，，，点在上方，连接，，交于点，，． （1）求的度数； （2）点是上的一点，连接，，求证． 25. 某公司计划购进，两种品牌的教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润（毛利润销售总金额进货总金额）12万元，这两种教学设备的进价和售价如表所示： 进价（万元/套） 1.5 1.2 售价（万元/套） 1.8 1.4 （1）该公司计划购进，两种品牌的教学设备各多少套？ （2）通过市场调研，该公司决定在原计划的基础上，减少种设备的购进数量，增加种设备的购进数量，已知种设备增加的数量是种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过68万元，问种设备购进数量至多减少多少套? 26. 【问题感知】 （1）如图1，若，平分，求证：． 请将下列证明过程补充完整： 证明：平分，（已知）， _____（角平分线的定义）． （已知）， _____（两直线平行，内错角相等）． （等量代换）． 【问题探索】 （2）如图2，直线，被直线所截，平分，，点在射线上，点在线段上，连接，若，求证：； 【衍生拓展】 （3）如图3，将（2）中的点移动到线段的延长线上，其他条件不变，连接，若，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $