精品解析：江苏省盐城市亭湖区2025-2026学年八年级上学期期初数学练习卷

盐城市亭湖区八年级（上）期初数学练习卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则下列不等式中正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是明确不等式性质的内容，注意变形中的符号问题．本题考查了不等式的性质：①不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．正确运用不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不等式两边都减，不等号的方向不变得，故A错误； B、当时，不等式两边都乘以，不等号的方向改变得，故B正确； C、，则，故C错误； D、当时，不等式两边都除以，不等号的方向不变得，故D错误． 故选：B． 2. 下列说法错误的是（ ） A. 用反证法证明“”时，应假设 B. “同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题 C. 三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等 D. 边长为3，6的等腰三角形的周长为15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反证法，逆命题和真命题，三角形三边关系，等腰三角形．根据反证法，三角形三边关系，等腰三角形以及逆命题和真命题的定义求解即可． 【详解】A. 用反证法证明“”时，应假设，正确； B. “同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题，正确； C. 三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，不正确； D. 边长为3，6的等腰三角形的周长为15，正确． 故选：C． 3. 如图，用直尺和圆规作两个全等三角形，能得到的依据是（ ） A SAS B. SSS C. ASA D. AAS 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查复杂作图，根据作图的痕迹进行判断即可求解．掌握全等三角形的判定定理及基本作图是解题的关键． 【详解】解：由作图得：，， 在和中， ， ∴， ∴能得到的依据是． 故选：B． 4. 下列命题的逆命题成立的是（    ） A. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 B. 对顶角相等 C. 平行四边形对角线互相平分 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：A、如果两个数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题为：绝对值相等的两个数相等，不成立，不符合题意； B、对顶角相等的逆命题为相等的角是对顶角，不成立，不符合题意； C、平行四边形对角线互相平分的逆命题为对角线互相平分的四边形是平行四边形，成立，符合题意； D、若，则的逆命题为若，则，不成立，不符合题意． 故选：C． 5. 若关于的二元一次方程组的解也是一元—次方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出方程组的解，代入已知方程计算即可求出k的值． 【详解】解：， ①-②，得5y=-4k，解得， 把代入②，得，解得， 把，代入二元一次方程2x+3y=6，得，解得． 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 6. 在△ABC和△EMN中，已知∠A=50°，∠B=60°，∠E=70°，∠M=60°，AC=EN，则这两个三角形（　　） A. 一定全等 B. 一定不全等 C. 不一定全等 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【详解】∵∠A=50°，∠B=60°， ∴∠C=70°， 在△ABC和△NME中， ， ∴△ABC≌△NME(AAS)， 故选A. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 7. 给出下列整式：，，，观察这些整式的字母的幂的排列情况，根据它们的共同特征，可以将其命名为“把一个多项式按照某个字母的__________排列”这个名称可以给出的定义为__________． 【答案】 ①. 降幂 ②. 把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫作这一字母的降幂排列 【解析】 【分析】本题考查的是按照多项式中某一字母降幂排列的含义，根据定义作答即可． 【详解】解：是按照字母作的降幂排列； 是按照字母作的降幂排列； 是按照字母作降幂排列； 是按照字母作的降幂排列； 根据它们的共同特征，可以将其命名为“把一个多项式按照某个字母的降幂排列”这个名称可以给出的定义为：把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫作这一字母的降幂排列． 故答案为：降幂，把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫作这一字母的降幂排列 8. 如果，那么，这个命题的逆命题是___________ ． 【答案】如果，那么 【解析】 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是：如果，那么． 故答案为：如果，那么． 9. 如图，平移到的位置，则下列说法： ①； ②； ③平移的方向是点C到点E的方向； ④四边形，，为平行四边形． 其中说法正确的序号为______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，平行线的性质以及平行四边形的判定，掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质，平行线的性质以及平行四边形的判定逐项进行判断即可． 【详解】由平移的性质可知，，故①正确； 由平移的性质可知，，因此，故②正确； 平移的方向是点C到点F的方向，故③错误； 由平移的性质可知，，，，，因此四边形为平行四边形，故④正确； 综上可知，正确的有①②④，． 故答案为：①②④，． 10. 若不等式组的解集为，则 __________， __________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是明确两个不等式的解集，按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的是无解”确定不等式组的解集．把不等式的解用含，的式子表示出来，再结合条件进行分析即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为：， ∴， 即， 故答案为：，． 11. 如图，点D在的平分线OC上，点E在OA上，，，则 的度数为____． 【答案】50 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，等量代换得到，由三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】解：如图： ， ， 点在的平分线上， ， ， ， 故答案为：50． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 12. 如图，已知四边形是正方形，是对角线上的一点，连接，，点是边上的一点，且于，连接，为的中点，连接，若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，由正方形的性质可得：为等腰直角三角形，为斜边上的高，根据等腰三角形的三线合一可得；由为的中点，，可得．利用角可求，，于是，可知；利用勾股定理，在中可求，然后由全等三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】解：过点作于，如图， 四边形为正方形， ，． ， 为等腰直角三角形． ， ． ，为的中点，， ． 在中，， ． ． ． ． ． ． 在中，． 在与中， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等．解题关键是在正方形的题目中添加垂线构造等腰直角三角形是一条常添加的辅助线． 13. 如图 1，△ABC 中， AD 是∠BAC 的平分线，若 AB＝AC＋CD，那么∠ACB与∠ABC 有怎样的数量关系？小明通过观察分析，形成了如下解题思路： 如图 2，延长 AC 到 E，使 CE＝CD，连接 DE．由 AB＝AC＋CD，可得 AE＝AB．又因为AD是∠BAC 的平分线，可得△ABD≌△AED，进一步分析就可以得到∠ACB 与∠ABC 的数量关系． （1）判定△ABD 与△AED 全等的依据是__________； （2）∠ACB 与∠ABC 的数量关系为：_________． 【答案】 ①. SAS ②. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）∵AE＝AB，∠BAD=∠CAD，AD=AD， ∴△ABD≌△AED（SAS）， 故答案为：SAS； （2） 理由如下： ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 14. 下列命题中，假命题是__________（填序号）． ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行和垂直； ③小于平角的角是钝角； ④同位角相等； ⑤若，则． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查的是真假命题的判断，涉及平行线及其性质，直线的位置关系，钝角的定义，不等式的性质，根据以上基础概念逐一判断即可． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①是假命题； ②同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行，故②是假命题； ③大于度，小于平角的角是钝角，故③是假命题； ④两直线平行，同位角相等，故④是假命题； ⑤若，则，描述正确，故⑤是真命题． 故①②③④是假命题， 故答案为：①②③④ 15. 已知不等式组的解集为，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集列出关于m、n的方程，然后求出m、n，最后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以不等式组的解集是：， ∵不等式组的解集为， ∴，， 解得， ∴． 故答案：1. 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，根据不等式组的解集列出关于m、n的方程是解题的关键． 16. 如图，，的平分线上有一点，，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】作于，可证，对应边相等，由平行线的性质可得，，等角对等边，即可得，根据角所对直角边与斜边的关系，可得，利用勾股定理解直角三角形，可得，与相加，可得线段的长，即为线段的长． 【详解】如图，过作于． ∵平分，， ∴，， 在和中， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，等角对等边，含角的直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 17. （1）解不等式． （2）解不等式，并把它的解在数轴上表示出来． （3）解不等式，并把它的解在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2），画图见解析；（3），画图见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的解集，并在数轴上表示出解集． （1）先去分母，再移项，合并同类项，把未知数的系数化为1，求出不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来即可； （2）先去分母，再移项，合并同类项，把未知数的系数化为1，求出不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来即可； （3）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化为1，求出不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：（1）， 去分母得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （2）， 去分母得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； 不等式的解集在数轴上表示如下： （3）， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； 不等式的解集在数轴上表示如下： 四、解答题：本题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 定义：在，若，，，a，b，c满足则称这个三角形“和谐勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）命题：“直角三角形都是和谐勾股三角形”是 （填“真”或“假”）命题； （2）如图1，若等腰是“和谐勾股三角形”，其中，，求的度数； （3）如图2，在三角形中，，且． ①当时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角度数；若不能，请说明理由； ②请证明为“和谐勾股三角形” 【答案】（1）假； （2）； （3）①见解析；②见解析． 【解析】 【分析】（1）先假设是和谐勾股三角形，得出，再由勾股定理得，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形； （2）由“和谐勾股三角形”定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论； （3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论； ②先求出，，，，，在与利用勾股定理分别求，建立方程即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图1，假设是和谐勾股三角形， ∴， 在中，，根据勾股定理， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴等腰直角三角形是和谐勾股三角形， 即原命题是假命题， 故答案：假； 【小问2详解】 ∵， ∴，， ∵是和谐勾股三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 【小问3详解】 ①在中，，， ∴， 根据三角形的内角和定理得，， ∵把这个三角形分成两个等腰三角形， 当射线经过点C， （Ⅰ）当时， ∵， ∴， ∴， ， ∴不是等腰三角形，此种情况不成立； （Ⅱ）当时， ∴， ∴，， ∴不是等腰三角形，此种情况不成立； （Ⅲ）当时， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 即：分割线和顶角标注如图2所示， 当射线经过点B，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立； 当射线经过点A，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立； ②如图3，在边上取点D，连接，使， 作于G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴为“和谐勾股三角形”． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，新定义“和谐勾股三角形”，分类讨论的数学思想，解本题的关键是理解新定义． 19. 如图，在中，，． （1）若的长是整数，则最长是多少 （2）若，，，求的度数． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的内角和定理： （1）根据三角形的三边关系进行求解即可； （2）由平行的性质得到，根据平角和三角形的内角和定理，得到，进行求解即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴，即：． ∵的长是整数， ∴最长为． 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 20. 某校决定组织学生开展校外拓展活动，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示．学校计划此次拓展活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师． 客车 甲种 乙种 载客量/（人/辆） 30 42 租金（元/辆） 300 400 （1）参加此次拓展活动的老师有多少人？参加此次拓展活动的学生有多少人？ （2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为多少辆． （3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由． 【答案】（1）老师有16人，学生有284人 （2）8辆 （3）3 种租车方案：方案一：租用甲种客车3 辆，乙种客车5 辆；方案二：租用甲种客车2 辆，乙种客车6 辆；方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7 辆；方案一最省钱．理由见解析 【解析】 【分析】（1）设出老师有x人，学生有y人，得出二元一次方程组，解出即可；再由每辆客车上至少要有2名老师，且要保证300名师生有车坐，可得租用客车总数； （2）根据汽车总数不能超过（取整为8）辆，即可求出； （3）设租a辆甲种客车，由题意列出不等式组，得出a取值范围，分析得出即可． 【小问1详解】 设老师有x人，学生有y人， 依题意，得， 解得， 答：参加此次拓展活动的老师有16人，学生有284人； 【小问2详解】 ∵每辆客车上至少要有2名老师， ∴汽车总数不能超过8辆； 又要保证300名师生有车坐，汽车总数不能小于（取整为8）辆， 综合起来可知汽车总数为8辆； 答：租用客车总数为8辆； 【小问3详解】 设租a辆甲种客车，由题意可得：， 解得1≤a≤3（a为整数）， ∴共有3 种租车方案： 方案一：租用甲种客车3 辆，乙种客车5 辆，租车费用2900元； 方案二：租用甲种客车2 辆，乙种客车6 辆，租车费用3000元； 方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7 辆，租车费用3100元； ∴最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用与一次不等式的综合应用，由题意得出租用a辆甲种客车与租车费用的不等式关系是解决问题的关键． 21. 课本“目标与评定”中有这样一道思考题：如图钢架中，，焊上等长的钢条来加固钢架，若，问这样的钢条至多需要多少根？ （1）请将如下解答过程补充完整： 解：由题意可知， ，， ______， ． 同理可得， ______， ， 对于射线上任意一点点除外，， 这样的钢条至多需要______根． （2）继续探究：当时，这样的钢条至多需要多少根？ 【答案】（1）20，80，4 （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质定理以及找出规律是解题关键． （1）由于焊上的钢条的长度相等，并且，所以，则可算出的度数，并且和的度数相等，进一步结合等腰三角形底角度数小于90度即可求出最多能焊上的钢条数； （2）仿照（1）的方法求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知， ，， ， ． 同理可得， ， ， 对于射线上任意一点点除外，， 这样的钢条至多需要根． 【小问2详解】 解：由题意可知， ，， ， ． 同理可得， ， ， ∴ 这样的钢条至多需要根． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盐城市亭湖区八年级（上）期初数学练习卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则下列不等式中正确的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列说法错误的是（ ） A 用反证法证明“”时，应假设 B. “同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题 C. 三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等 D. 边长为3，6的等腰三角形的周长为15 3. 如图，用直尺和圆规作两个全等三角形，能得到的依据是（ ） A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS 4. 下列命题的逆命题成立的是（    ） A. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 B. 对顶角相等 C. 平行四边形对角线互相平分 D. 若，则 5. 若关于的二元一次方程组的解也是一元—次方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在△ABC和△EMN中，已知∠A=50°，∠B=60°，∠E=70°，∠M=60°，AC=EN，则这两个三角形（　　） A. 一定全等 B. 一定不全等 C. 不一定全等 D. 以上都不对 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 7. 给出下列整式：，，，观察这些整式的字母的幂的排列情况，根据它们的共同特征，可以将其命名为“把一个多项式按照某个字母的__________排列”这个名称可以给出的定义为__________． 8. 如果，那么，这个命题的逆命题是___________ ． 9. 如图，平移到的位置，则下列说法： ①； ②； ③平移的方向是点C到点E的方向； ④四边形，，为平行四边形． 其中说法正确的序号为______． 10. 若不等式组的解集为，则 __________， __________． 11. 如图，点D在的平分线OC上，点E在OA上，，，则 的度数为____． 12. 如图，已知四边形是正方形，是对角线上一点，连接，，点是边上的一点，且于，连接，为的中点，连接，若，，则_______． 13. 如图 1，△ABC 中， AD 是∠BAC 平分线，若 AB＝AC＋CD，那么∠ACB与∠ABC 有怎样的数量关系？小明通过观察分析，形成了如下解题思路： 如图 2，延长 AC 到 E，使 CE＝CD，连接 DE．由 AB＝AC＋CD，可得 AE＝AB．又因为AD是∠BAC 的平分线，可得△ABD≌△AED，进一步分析就可以得到∠ACB 与∠ABC 的数量关系． （1）判定△ABD 与△AED 全等的依据是__________； （2）∠ACB 与∠ABC 的数量关系为：_________． 14. 下列命题中，假命题是__________（填序号）． ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行和垂直； ③小于平角的角是钝角； ④同位角相等； ⑤若，则． 15. 已知不等式组的解集为，则_______． 16. 如图，，的平分线上有一点，，，，则__________． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 17. （1）解不等式． （2）解不等式，并把它的解在数轴上表示出来． （3）解不等式，并把它的解在数轴上表示出来． 四、解答题：本题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 定义：在，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“和谐勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）命题：“直角三角形都和谐勾股三角形”是 （填“真”或“假”）命题； （2）如图1，若等腰是“和谐勾股三角形”，其中，，求度数； （3）如图2，在三角形中，，且． ①当时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角度数；若不能，请说明理由； ②请证明为“和谐勾股三角形” 19. 如图，在中，，． （1）若的长是整数，则最长是多少 （2）若，，，求的度数． 20. 某校决定组织学生开展校外拓展活动，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示．学校计划此次拓展活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师． 客车 甲种 乙种 载客量/（人/辆） 30 42 租金（元/辆） 300 400 （1）参加此次拓展活动的老师有多少人？参加此次拓展活动的学生有多少人？ （2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为多少辆． （3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由． 21. 课本“目标与评定”中有这样一道思考题：如图钢架中，，焊上等长的钢条来加固钢架，若，问这样的钢条至多需要多少根？ （1）请将如下解答过程补充完整： 解：由题意可知， ，， ______， ． 同理可得， ______， ， 对于射线上任意一点点除外，， 这样的钢条至多需要______根． （2）继续探究：当时，这样的钢条至多需要多少根？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $