精品解析：广东省汕头市濠江区2024-2025学年下学期第一阶段检测八年级数学试卷

2024-2025学年广东省汕头市濠江区八年级（下）第一次段考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列根式中，最简二次根式的是（ ） A. B. 4 C. D. 2. 下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 5. 如图，数轴上点、、表示的数分别为，和3，点为原点，则以、、为边长构造三角形，则构造的三角形为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 6. 如图，中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，且，则（ ） A. 20 B. 12 C. D. 7. 如图，在数轴上找出表示3的点A，则，过点A作直线垂直OA，在上取点B，使，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C．其中点C表示的实数是（ ） A. B. 4 C. D. 8. 若的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中，图中三角形的面积分别记为，，…，，则（ ） A. B. C. 7 D. 9 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值是______． 13. 由四个全等的直角三角形组成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形两直角边边长分别为，，则图中阴影部分的面积为______ ． 14. 若一直角三角形两边长分别为6和8，则这个三角形的第三边长为________． 15. 如图，在中，，，，E为上一点，且，平分交于D．若P是上的动点，则的最小值等于______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 17. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 18. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点上，且，，． （1）图中已画出，请画出、，得到； （2）判断是不是直角三角形，并说明理由． 19. 某居民小区有块形状为长方形的绿地，长为米，宽为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米． （1）求长方形的周长．（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 20. 2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． （1）海港C会受到台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 21. 项目主题：课桌挂钩顶端到地面距离的计算． 项目背景：同学们利用课桌挂钩方便放置自己的物品，数学活动实践小组以“课桌挂钩顶端到地面距离的计算”为主题展开项目化学习． 驱动任务：根据报告内容计算挂钩顶端到地面的距离． 研究步骤：（1）如图，这是某校新购进的一批课桌便携式挂钩，他们完成了如下实践探究，形成了如下实验报告： 调查主题 课桌挂钩顶端到地面距离的计算 调查方式 测量，查看说明书 测量图示 元素 数据 （2）已知地面为水平面，桌面是水平面，，为课桌的高度，挂钩顶端到地面的距离为，最后通过勾股定理及二次根式的有关知识，计算后得出结论． （3）试验数据： 问题解决：请根据此项目实施的材料，求课桌挂钩顶端到地面的距离． 22. 先阅读下列解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得=m，，那么便有：（a＞b）． 例如：化简： 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：7，，所以． 问题： （1）填空：____，____； （2）化简：（请写出计算过程）； （3）化简：． 23. 已知长方形，，，Q为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． （1）如图1，连接，当点落在上时， ______； （2）如图2，当点Q与点A重合时，与交于点E，求重叠部分（阴影）的面积； （3）当直线经过点D时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省汕头市濠江区八年级（下）第一次段考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列根式中，最简二次根式的是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、4不是二次根式，故B不符合题意； C、是最简二次根式，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 2. 下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 根据二次根式的性质化简，即可解答． 【详解】解：A．，选项计算错误，故不符合题意； B．，选项计算正确，故符合题意 C．，选项计算错误，故不符合题意； D． ，选项计算错误，故不符合题意； 故选：B． 3. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算．根据二次根式的加法，乘法和除法法则计算即可判断． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理和三角形内角和定理，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键．根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐一判断即可． 【详解】A、当，，时，，即，故是直角三角形； B、当时，设，，，则，即，故是直角三角形； C、当时，，，则，故是直角三角形； D、当时，∵，则最大角为，故不是直角三角形； 故选：D． 5. 如图，数轴上点、、表示的数分别为，和3，点为原点，则以、、为边长构造三角形，则构造的三角形为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴求得，根据勾股定理逆定理，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴， ∴以、、为边长构造三角形，则构造的三角形为直角三角形 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴上两点距离，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 6. 如图，中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，且，则（ ） A. 20 B. 12 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键，如果一个直角三角形的两直角边长为a、b，斜边长为c，那么． 7. 如图，在数轴上找出表示3的点A，则，过点A作直线垂直OA，在上取点B，使，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C．其中点C表示的实数是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，计算即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故选：D. 8. 若的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先估算的大小，得到，，再代入，根据平方差公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，平方差公式，正确掌握各知识点是解题的关键． 9. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理建立方程解决实际问题．根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程． 【详解】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺， ∴图中直角三角形的斜边长尺， 根据勾股定理建立方程得：， 故选：C． 10. 如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中，图中三角形的面积分别记为，，…，，则（ ） A. B. C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出、、···等，找出规律，即可进行求解． 【详解】解：∵ ∴，； ，； ，； ··· ，； 故 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，从而可得答案． 【详解】解：代数式有意义， 故答案为： 12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式的定义得出，即可求出m的值，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：4． 13. 由四个全等的直角三角形组成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形两直角边边长分别为，，则图中阴影部分的面积为______ ． 【答案】49 【解析】 【分析】由勾股定理可得直角三角形斜边的长，再利用正方形的面积减去四个全等直角三角形的面积可得答案． 【详解】解：直角三角形两直角边边长分别为，， 斜边长为 图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行证明． 14. 若一直角三角形两边长分别为6和8，则这个三角形的第三边长为________． 【答案】10或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是关键． 根据题意，运用勾股定理，分类讨论计算即可． 【详解】解：当这个直角三角形的两直角边长分别为6和8时，第三边为斜边， 斜边长； 当这个直角三角形的一直角边长6、斜边长为8时，第三边为直角边， 这条直角边的长； 故答案为：或 ． 15. 如图，在中，，，，E为上一点，且，平分交于D．若P是上的动点，则的最小值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．作点E关于的对称点，连接交于，连接，由对称可得，所以，且当、、依次共线时的值最小，最小值为，作于H，利用等面积法和勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接交于，连接， 由对称可得， ∴，且当、、依次共线时的值最小，最小值为，作于H． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先计算二次根式除法，再化简二次根式，最后计算二次根式加减法即可． 【详解】解： ． 17. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）12 （2）28 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据a、b的值，可以计算出和的值，然后将所求式子变形，再将和的值代入计算即可； （2）先计算出的值，然后将所求式子变形，再将的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ，， ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ． 18. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点上，且，，． （1）图中已画出，请画出、，得到； （2）判断是不是直角三角形，并说明理由． 【答案】（1） 如图，可以确定点的位置，     （2） 是直角三角形， 理由：， ， ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据，，利用勾股定理找出，即可求解； （2）求出，，即可求解． 【小问1详解】 解：， ，， 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理，掌握定理是解题的关键． 19. 某居民小区有块形状为长方形的绿地，长为米，宽为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米． （1）求长方形的周长．（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】（1）米 （2）元 【解析】 【分析】（1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【小问1详解】 解：（米）， ∴长方形的周长为米． 【小问2详解】 （平方米）， 则（元）， ∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费元． 【点睛】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． 20. 2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． （1）海港C会受到台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1） 海港C受台风影响，理由如下： 如图，过点C作于点D， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 解得：， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，且， ∴海港C受台风影响； （2）8小时 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用． （1）过点C作于点D，利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）在直线取点E，F使，则台风中心在线段上时，影响C港口，利用勾股定理得出的长，可得到的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，在直线上取点E，F使，则台风中心在线段上时，影响C港口， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵台风中心的移动速度为， ∴ 小时． 即台风影响该海港持续的时间为8小时． 21. 项目主题：课桌挂钩顶端到地面距离的计算． 项目背景：同学们利用课桌挂钩方便放置自己的物品，数学活动实践小组以“课桌挂钩顶端到地面距离的计算”为主题展开项目化学习． 驱动任务：根据报告内容计算挂钩顶端到地面的距离． 研究步骤：（1）如图，这是某校新购进的一批课桌便携式挂钩，他们完成了如下实践探究，形成了如下实验报告： 调查主题 课桌挂钩顶端到地面距离的计算 调查方式 测量，查看说明书 测量图示 元素 数据 （2）已知地面为水平面，桌面是水平面，，为课桌的高度，挂钩顶端到地面的距离为，最后通过勾股定理及二次根式的有关知识，计算后得出结论． （3）试验数据： 问题解决：请根据此项目实施的材料，求课桌挂钩顶端到地面的距离． 【答案】课桌挂钩顶端到地面的距离为 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，正确理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键．连接，交于点，首先确定，为等腰直角三角形，运用勾股定理解得的值，再在中，由勾股定理解得的值，然后求解即可． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， 设，在中，可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：课桌挂钩顶端到地面的距离为． 22. 先阅读下列解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得=m，，那么便有：（a＞b）． 例如：化简： 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：7，，所以． 问题： （1）填空：____，____； （2）化简：（请写出计算过程）； （3）化简：． 【答案】（1）； （2） 原式 ． （3） 【解析】 【分析】（1）化简，时，根据范例确定m，n值，然后利用完全平方公式求解即可； （2）将转化为：，即可求解； （3）先把各项中分母的无理式变成 的形式，再进行分母有理化后，进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：在中，m=4，n=3，由于3+1=4，3×1=3 即， ∴=； 在中，m=5，n=6，由于2+3=5，2×3=6， 即，， ∴=； 故答案为：；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据题意可得： 原式 ． 【点睛】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，分母有理化．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子． 23. 已知长方形，，，Q为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． （1）如图1，连接，当点落在上时， ______； （2）如图2，当点Q与点A重合时，与交于点E，求重叠部分（阴影）的面积； （3）当直线经过点D时，求的长． 【答案】（1） （2） （3）2或8 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、等边对等角等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，即可求解； （2）由平行线的性质和折叠的性质可证，由勾股定理可求的长，即可求解； （3）分在线段上和点D在线段上两种情况讨论，由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求，由勾股定理可求的长． 【小问1详解】 解：，， ， ∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． ， ， ， ， ， ， ∴重叠部分（阴影）的面积； 【小问3详解】 解：当在线段上时， 将沿直线翻折至的位置， ，，， ， ， ，即：，解得：； 当点D在线段上时， ∵将沿直线翻折至的位置， ，，， ， ， ， ， ； 综上所述：的长为2或8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $