精品解析：四川省巴中市南江县实验中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

南江县实验中学九年级三月大专题训练 数学试卷 （全卷满分150分，120分钟完卷） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号分别填写在试卷、答题卡规定的位置上． 2．选择题填涂时，必须使用2B铅笔按规范填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔作答；作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚． 3．必须在题目所指示的答题卡的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效，在试题卷上答题无效．考试结束后，考生将本试卷和答题卡一并交回． 4．不允许使用计算器进行运算，凡无精确度要求的题目，结果均保留准确值． 第I卷选择题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请使用铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. 0 B. C. D. π 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是无理数的识别，求算术平方根，掌握无理数的定义：无限不循环小数是无理数是解题的关键．根据无理数的定义，即可求解． 【详解】解：A．是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．属于无理数，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了化简绝对值，同底数幂的除法，幂的乘方以及二次根式的性质，根据以上知识点逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 3. 据新华社报道：在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米，194亿用科学记数法表示为（ ） A. 1.94×1010 B. 0.194×1010 C. 19.4×109 D. 1.94×109 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）． 【详解】解：194亿=19400000000=1.94×1010， 故选：A． 【点睛】题目主要考查绝对值大于1的科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题关键． 4. 如图，一个几何体水平放置，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，根据几何体的俯视图是从物体的上面看到的视图进行判断即可，熟练掌握几何体的三视图的定义是解题的关键． 【详解】解：从上面看，看到的是一个圆形，内部有两条实线， 故选：C． 5. 如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠ABO的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 40° D. 50° 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．根据直径CD⊥AB，可得弧AD=弧BD，则∠DOB=2∠C=50°．则∠B=90°-50°=40° 故选C 考点：圆周角定理；垂径定理 6. 下列命题是真命题的是（　　） A. 五边形的外角和为 B. 方程没有实数根 C. 三角形三条中线的交点叫做三角形的内心 D. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了真假命题的判断，根据多边形的外角和，一元二次方程根的判别式的意义，三角形重心的定义，角平分线的判定定理，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 五边形的外角和为，故原命题是假命题，故该选项不正确，不符合题意； B. 方程，有两个不等实数根，故原命题是假命题，故该选项不正确，不符合题意； C. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，故原命题是假命题，故该选项不正确，不符合题意； D. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，是真命题，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 7. 已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答． 【详解】解：， 得， ， 代入，可得， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键． 8. 已知直线经过第一、二、三象限，且点在该直线上，设，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用一次函数图象上点的坐标特征得到，再利用一次函数与系数的关系得到，，则的范围为，接着用表示，然后根据一次函数的性质求的范围． 【详解】解：把代入得，， 因为直线经过第一、二、三象限， 所以，，即， 所以的范围为， 因为， 所以的范围为． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与系数的关系：对于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴；当，的图象在一、二、三象限；，的图象在一、三、四象限；，的图象在一、二、四象限；，的图象在二、三、四象限．解决本题的关键是用表示出． 9. 如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出，，，是的中位线，易证，得，解得，则． 【详解】解：、为边的三等分点，， ，，， ，是的中位线， ， ， ， ，即， 解得：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 10. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得： 解得：，（不合题意，舍去）， ∴小路宽为． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11. 对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（　　） A. 199 B. 200 C. 201 D. 202 【答案】C 【解析】 【分析】通过计算，可以推出结果． 【详解】解： … ，，， 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键． 12. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列说法：①；②；③（为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则的取值范围是．其中正确的是（　　） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．开口方向，对称轴，与y轴的交点位置判断①，特殊点判断②，最值判断③，对称性判断④即可． 【详解】∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴，和的函数值相同， 由图可知，当时的函数值小于0， ∴， ∴， 故①正确； 由图象可知，，根据对称轴，得， ∴ ∴， 故②正确； ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线的最大值为， 当时，其函数值为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③错误； 如图所示，和点满足， ∴和点关于对称轴对称， ∴， ∵， ∴， 解得， 故④正确； 故正确的有①②④； 故选：B． 第II卷非选择题（共102分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．将正确答案直接写在答题卡相应的位置上） 13. 比较大小：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，利用平方法将两个数都转化为有理数是解决此题的关键．因为两个数均大于0，将二者平方后比较大小，平方大的数就大． 【详解】解：∵，，， ∴ 故答案为：． 14. 如图，的顶点的坐标分别是．则顶点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点的纵坐标与点的纵坐标相等，且，即可得到结果． 【详解】解：在中，，， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相等， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的性质，此题充分利用了“平行四边形的对边相等且平行”的性质． 15. 一组数据1，，5，7有唯一众数，且中位数是6，则平均数是___________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意可得：的值只能是1，5，7中的一个，再由中位数是6，可得，即可求解． 【详解】解：∵一组数据1，，5，7的中位数是6， ∴的值只能是1，5，7中的一个， ∵中位数是6， ∴， ∴平均数是． 故答案为：5 【点睛】本题考查的是众数，中位数，平均数的含义，理解概念并灵活应用是解本题的关键． 16. 关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 _______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程的运算法则，以及分式有意义的条件， 把m当作已知数，根据解分式方程的运算法则求出x，再根据分式方程的解为非负数，即可得出m的取值范围，再根据分式方程有意义的条件即可求解， 【详解】解： ， 关于x的方程的解为非负数， 解得：， 又 即， 即， 故答案为：且 17. 如图，在直线：上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，，则面积的最大值是________． 【答案】3 【解析】 【分析】设，则，将三角形面积用代数式的形式表示出来，然后根据二次函数的最值，即可求解． 【详解】解：依题意，设，则， 则 ∴ ∵，二次函数图象开口向下，有最大值， ∴当时面积的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例数与一次函数的性质，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 18. 如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于点，设，则，则，根据已知条件，分别表示出，证明，得出，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∵正方形的边长为1，四边形与四边形的面积比为3∶5， ∴， 设，则，则 ∴ 即 ∴ ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， 又, ∴， ∴ 在中， 即 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共7个小题，共84分．请将解答过程写在答题卡相应的位置上） 19. （1）计算： （2）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． （3）先化简，再求值：，再从0，1，2，3中选择一个适合的数代入求值． 【答案】（1）； （2）， 解集在数轴上表示： （3），当时，原式；当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解一元一次不等式组，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）分别根据特殊角的三角函数值，绝对值的性质及负整数指数幂的运算法则，分母有理化计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集； （3）先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的，最后结合分式有意义的条件选取合适的的值代入求值． 【详解】（1）解： ； （2）解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： （3） ； ，， 当时，原式； 当时，原式． 20. 某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程，为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生人数为____名，并直接在答题卡中补全条形统计图； （2）求D所对应的扇形的圆心角的度数； （3）小明和小兰都从A，B，C，D四种课程中选择一种自己喜欢的课程，请用列表或画树状图的方法求他们选中同一课程的概率． 【答案】（1）120， 补全统计图如图所示： （2） （3） 【解析】 【分析】1）利用A的人数除以A的百分比可得被调查的学生人数，再利用总人数乘以B的百分比求出B的人数，然后完成统计图即可； （2）利用乘以D所占的百分比即可； （3）根据题意列出表格，可得共有16种等可能情况，他们选中同一课程的概率的有4种，再根据概率公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：此次被调查的学生人数为名， ∴拓展课程B（摄影艺术）的人数为名， 【小问2详解】 解：D所对应的扇形的圆心角的度数为． 【小问3详解】 解：用列表法表示如下： A B C D A A，A A，B A，C A，D B B，A B，B B，C B，D C C，A C，B C，C C，D D D，A D，B D，C D，D 共有16种等可能情况，他们选中同一课程的概率的有4种， 所以，他们选中同一课程的概率为：． 【点睛】本题考查扇形统计图与条形统计图相关内容，利用树状图或列表法求概率，注意从图中获取信息，分析图中数据之间的数量关系是解题的关键． 21. 如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，分别是和的中点． （1）求证：； （2）连接，若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵和的平分线、分别交、于点E、F， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 证明：如图连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点G、H分别为、的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形 ∵，G为的中点， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由平行四边形的性质得出，，，，证出，，由证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出，，证出，由已知得出，，即可证出四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，是的直径，是上的两点，延长至点，连接． （1）求证：是的切线； （2），求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，由圆周角定理得，则等量代换，即可求证； （2）由圆周角定理可得，再证明，则，求得，，那么，即可求解半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图： ∵， ∴， ∵ ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∴，即的半径为． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 23. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式； （2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求； （3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，可得， 解得， 反比例函数解析式为； 在图象上， ， ， 将，代入，得： ， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）可知， 当时，， 此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为， 即满足时，x的取值范围为； 【小问3详解】 解：设点P的横坐标为， 将代入，可得， ． 将代入，可得， ． ， ， 整理得， 解得，， 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想． 24. 已知和都为等腰三角形，． （1）当时， ①如图1，当点D在上时，请直接写出与的数量关系；_________； ②如图2，当点D不在上时，判断线段与的数量关系，并说明理由； （2）当时， ①如图3，探究线段与的数量关系，并说明理由； ②当时，请直接写出的长． 【答案】（1）①； ②，理由如下： 和都为等边三角形， ， ，即， 在和中，， ， ； （2）①，理由： 当时，， 和都为等腰直角三角形， ， ，即， 设， 则， ， 在和中，， ， ， 即； ②5． 【解析】 【分析】（1）①先根据等边三角形的判定与性质可得，再根据线段的和差即可得； ②先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得出结论； （2）①先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得出结论； ②设与交于点，先根据（2）①的结论可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，然后利用勾股定理、线段的和差可得，最后在中，解直角三角形即可得． 【详解】解：（1）①当时，， 和都为等腰三角形， 和都为等边三角形， ， ，即， 故答案为：； ②略 （2）①略 ②如图，设与交于点， ， ， 设，则， ， ，， ，即， 解得， ， 在中，， 在中，， ， 则在中，． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，较难的是题（2），正确找出相似三角形是解题关键． 25. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，其对称轴为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点D是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标； （3）如图2，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，分别交直线，线段于点E，F，过点F作轴，垂足为G，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题易得c的值，再根据对称轴求出b的值，即可解答； （2）过作x轴的垂线，垂足为H求出A和B的坐标，得到，，由，推出，解直角三角形得到的长，即可解答； （3）求得所在直线的解析式为，设，设所在直线的解析式为：，得，令，解得，分别表示出和，再对进行化简计算，配方成顶点式即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线与y轴交于点， ∴， ∵对称轴为， ∴，， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 如图，过作x轴的垂线，垂足为H， 令， 解得：， ∴，， ∴， 由翻折可得， ∵对称轴为， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； 【小问3详解】 设所在直线的解析式为， 把B、C坐标代入得：， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴直线与x轴所成夹角为， 设， 设所在直线的解析式为：， 把点P代入得， ∴， 令，则， 解得， ∴ ∴ ∵点P在直线上方， ∴， ∴当时，的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，利用数形结合的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南江县实验中学九年级三月大专题训练 数学试卷 （全卷满分150分，120分钟完卷） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号分别填写在试卷、答题卡规定的位置上． 2．选择题填涂时，必须使用2B铅笔按规范填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔作答；作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚． 3．必须在题目所指示的答题卡的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效，在试题卷上答题无效．考试结束后，考生将本试卷和答题卡一并交回． 4．不允许使用计算器进行运算，凡无精确度要求的题目，结果均保留准确值． 第I卷选择题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请使用铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. 0 B. C. D. π 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 据新华社报道：在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米，194亿用科学记数法表示为（ ） A. 1.94×1010 B. 0.194×1010 C. 19.4×109 D. 1.94×109 4. 如图，一个几何体水平放置，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠ABO的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 40° D. 50° 6. 下列命题是真命题的是（　　） A. 五边形的外角和为 B. 方程没有实数根 C. 三角形三条中线的交点叫做三角形的内心 D. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 7. 已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知直线经过第一、二、三象限，且点在该直线上，设，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 3 10. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ） A. B. C. 或 D. 11. 对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（　　） A. 199 B. 200 C. 201 D. 202 12. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列说法：①；②；③（为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则的取值范围是．其中正确的是（　　） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④ 第II卷非选择题（共102分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．将正确答案直接写在答题卡相应的位置上） 13. 比较大小：___________． 14. 如图，的顶点的坐标分别是．则顶点的坐标是_________． 15. 一组数据1，，5，7有唯一众数，且中位数是6，则平均数是___________． 16. 关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 _______． 17. 如图，在直线：上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，，则面积的最大值是________． 18. 如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为________． 三、解答题（本大题共7个小题，共84分．请将解答过程写在答题卡相应的位置上） 19. （1）计算： （2）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． （3）先化简，再求值：，再从0，1，2，3中选择一个适合的数代入求值． 20. 某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程，为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生人数为____名，并直接在答题卡中补全条形统计图； （2）求D所对应的扇形的圆心角的度数； （3）小明和小兰都从A，B，C，D四种课程中选择一种自己喜欢的课程，请用列表或画树状图的方法求他们选中同一课程的概率． 21. 如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，分别是和的中点． （1）求证：； （2）连接，若，求证：四边形是矩形． 22. 如图，是的直径，是上的两点，延长至点，连接． （1）求证：是的切线； （2），求的半径． 23. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 24. 已知和都为等腰三角形，． （1）当时， ①如图1，当点D在上时，请直接写出与的数量关系；_________； ②如图2，当点D不在上时，判断线段与的数量关系，并说明理由； （2）当时， ①如图3，探究线段与的数量关系，并说明理由； ②当时，请直接写出的长． 25. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，其对称轴为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点D是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标； （3）如图2，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，分别交直线，线段于点E，F，过点F作轴，垂足为G，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $