精品解析：甘肃省武威市某校2025-2026学年九年级上学期暑假作业评估数学试卷

2025-2026学年第一学期暑假作业评估试卷 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式的概念：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式． 【详解】解：A. 被开方数含有开得尽的因数不是最简二次根式，不符合题意； B. 是最简二次根式，符合题意； C. 被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D. 被开方数含有开得尽的因数不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式的概念，解题的关键是能够看出被开方数中的能开得尽方的因数或因式． 2. 下列解析式中，y不是x的函数的是（　　） A. y＝2x B. y＝x2 C. y＝± （x＞0） D. y＝|x| 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可得出答案． 【详解】A、y＝2x对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义； B、y＝x2对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义； C、y＝±（x＞0）对于x的每一个取值，y有两个确定的值，不符合函数的定义； D、y＝|x|对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了函数的概念．函数的概念：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 3. 一组数据2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的平均数、中位数分别（ ） A. 4，4 B. 3，4 C. 4，3 D. 3，3 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵这组数据有唯一的众数4， ∴x=4， 将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，4， 则平均数=（1+2+3+3+4+4+4）÷7=3， 中位数为：3． 故选D． 【点睛】本题考查了众数、中位数及平均数的定义，属于基础题，掌握基本定义是关键． 4. 已知三角形两边长为8和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（　　） A. 6 B. 28 C. 10或28 D. 10或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，分8为直角边和8为斜边，两种情况进行求解即可． 【详解】解：当8为直角边时，第三边长为； 当8为斜边时，第三边长为； 故选D． 5. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．据此解答即可． 【详解】解：A、未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故选项错误，不符合题意； B、不是整式方程，故选项错误，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故选项正确； D、方程含有两个未知数，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 6. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解两个不等式求出它们的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故选：D． 7. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法． 利用配方法进行求解即可． 【详解】解： 故选：D． 8. 将二次函数图象向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得图象的函数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标． 抛物线平移不改变的值，由抛物线的顶点坐标即可得出结果． 【详解】解：原抛物线的顶点为，向左平移个单位，再向下平移个单位，那么新抛物线的顶点为， 可设新抛物线的解析式为：， 代入得：， 所得图象的解析式为：， 故选：C． 9. 如图，在正方形中，对角线，交于点O，平分交于E，点M为的中点，连接并延长分别交，于点N，R下列结论：①是等腰三角形；②；③平分；④是等边三角形，正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的判定，由正方形性质结合平分得到，然后得到，即可证明①正确；结合点M为的中点和等腰三角形得到，，即可证明②正确；过作于，于，证明，得到得到③正确；由可得不可能是等边三角形，④错误． 【详解】解：∵正方形， ∴，，，，， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故①正确； ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故②正确； 过作于，于，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； 故③正确； ∵， ∴， ∴不可能是等边三角形， 故④错误， 综上所述，正确的是①②③， 故选：B． 10. 如图1，四边形是正方形，点从点出发，以的速度沿运动到点停止，设点运动的时间为（单位：s），的面积为（单位：），图2是点运动时随变化的关系图像，则图2中的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，图形的信息获取与处理，根据题意，，设正方形边长为,当时，，当点P运动到点A时，的面积最大，结合图像可知为，此时，得到，求得正方形的边长为，舍去，根据勾股定理得，求得点P运动的总路程为，路程除以速度求得总时间即a的值． 【详解】根据题意，得，四边形是正方形，设正方形边长为, ， 当时，， 当点P运动到点A时，的面积最大，结合图像可知为， 此时， ∴， 解得，舍去， ∴， ∴点P运动的总路程为， ∴点P运动的总时间为 故a的值为． 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 抛物线的顶点坐标是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点坐标是直接写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 12. 函数中x的取值范围是______． 【答案】x＞﹣2且x≠1． 【解析】 【分析】从二次根式，分式，零指数幂三个角度去思考求解即可． 【详解】由题意得，x+2＞0，且x﹣1≠0， 解得x＞﹣2且x≠1， 所以x的取值范围是x＞﹣2且x≠1． 故答案为：x＞﹣2且x≠1． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件，熟练上述基本条件是解题的关键． 13. 如图，过矩形的对角线上一点K分别作矩形两边的平行线与，那么图中矩形的面积与矩形的面积的大小关系是_____；（填“＞”或“＜”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质对角线把矩形面积一分为二即可解得． 【详解】解：∵四边形是矩形， 又∵对角线上一点K分别作矩形两边的平行线与， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积， ∴的面积的面积的面积的面积的面积的面积， ∴． 故答案为． 【点睛】此题考查矩形的性质，解题的关键是熟悉矩形的对角线平分矩形的面积． 14. 如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形，连接，点M在点B的左侧的数轴上，，则点M表示的数是_________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，正方形的性质，先根据勾股定理计算的长，可得，再确定点表示的数． 【详解】解：由勾股定理得正方形对角线的长度为：， ∴， ∴， 又∵点M在原点O的左侧， ∴点M表示的数为：， 故答案为：． 15. 某博物馆拟招聘一名优秀志愿讲解员，其中某位志愿者笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为分、分、分，综合成绩中笔试占，试讲占，面试占，则该名志愿者的综合成绩为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．本题根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：该名志愿者的综合成绩为（分）， 故答案为：． 16. 若是关于的一元二次方程为的解，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义求出，然后整体代入所求式子进行计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程为的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟知方程的解即为能使方程两边相等的未知数的值是解题的关键． 17. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段上一动点，过点分别作轴于点，轴于点，连接，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】连接OP，易得四边形ONPM是矩形，可得OP=MN，在Rt△AOB中，当OP⊥AB时，OP最短，即MN最小，利用三角形的面积可得OP的值，即当点P运动到使OP⊥AB于点P时，MN最小，最小值为． 【详解】解：连接OP， 由已知可得∠PMO=∠MON=∠ONP=90°， ∴四边形ONPM是矩形， ∴OP=MN， 在Rt△AOB中，当OP⊥AB时，OP最短，即MN最小， ∵直线y=-2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A（2，0），B（0，4）， ∴AO=2，BO=4， ∴， ∵S△AOB=AO•BO=AB•OP， ∴2×4=2•OP， ∴OP=， ∴MN=， 即当点P运动到使OP⊥AB于点P时，MN最小，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识，解题的关键是得出OP⊥AB时，OP最短，即MN最小，． 18. 在平面直角坐标系中，O（0，1）、A（3，0）、B（5，3），点C在一象限，若以O、A、B、C为顶点的四边形为平行四边形，则点C的坐标为_____． 【答案】（2，4）和（8，2） 【解析】 【分析】先建立平面直角坐标第，再分BO为边和对角线两种情况求解即可． 【详解】解：①当BO为对角线时，如图 则，，即： ∴； ，即： ∴； 由图可知，； ②当AB为对角线时，如图， 则，，即： ∴； ，即： ∴； 由图可知，； 故答案为（2，4）和（8，2）． 【点睛】此题考查了坐标与图形的性质以及平行四边形的性质，掌握并灵活运用平行四边形的性质是解答此题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共66分） 19. 用合适的方法解一元二次方程 （1）； （2） （3） 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）运用因式分解法求解可得； （2）运用公式法求解可得； （3）运用直接开平方法求解可得 【小问1详解】 ， 移项，得：， 因式分解，得：， 或， ，； 【小问2详解】 ， ，，， ， ， ，． 【小问3详解】 ， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先化简原式，再将a的值代入化简后的式子即可求解． 【详解】解：原式 ⋅ 当时， 原式． 【点睛】本题考查了分式的运算和代入求值，涉及到了分式的减法和除法运算、二次根式分母有理化等知识，解题关键是掌握分式的混合运算的方法，能熟练进行通分与约分． 21. 消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． 在中，根据勾股定理可得的长，从而得到的长，然后在中，根据勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 22. 如图三个顶点的坐标分别为． （1）请画出绕点O逆时针旋转的． （2）请画出关于原点O对称的图形，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示：即为所求 （2） 如图所示：即为所求 【解析】 【分析】本题考查了旋转和中心对称作图，分别找到对应点即可． （1）分别将点绕点O逆时针旋转即可完成作图； （2）分别找到点关于原点O的对称点即可完成作图．关于原点对称的两点，其横、纵坐标互为相反数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 2020年7月23日，天问一号探测器在中国文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，成功进入预定轨道，开启火星探测之旅，迈出了中国自主开展行星探测的第一步．某校为调查学生对航天知识的了解情况，并鼓励学生拓展航天知识，从全校学生中随机抽取了一部分学生进行航天知识测试，并将测试成绩（百分制）进行整理，绘制成尚不完整的统计图表： 根据以上信息解答下列问题： （1）这次测试抽取的学生共有_________名，a=__________，b=___________； （2）请补全频数分布直方图； （3）所抽取学生的成绩的中位数落在_____________组； （4）该校共有学生3600名，若成绩在80分以上（含80分）为优秀，假如全部学生参加此次测试，请估计该校学生成绩为优秀的人数． 【答案】（1）50、11、0.16； （2）补全图形见解析； （3）D； （4）估计该校学生成绩为优秀的人数为2088人． 【解析】 【分析】（1）由B组频数和频率可得总人数，总人数乘以C组频率可得a的值，E组频数除以总人数可得b的值； （2）总人数乘以A组频率可得m的值，从而补全图形； （3）根据中位数的定义求解即可； （4）总人数乘以样本中D、E组人数和所占比例即可． 【小问1详解】 这次测试抽取的学生共有7÷0.14＝50（名）， 则a＝50×0.22＝11，b＝8÷50＝0.16， 故答案为：50、11、0.16． 【小问2详解】 m＝50×0.06＝3， 补全图形如下： 【小问3详解】 由于共有50个数据，其中位数是第25、26个数据的平均数，而这2个数据均落在D组， 所以所抽取学生的成绩的中位数落在D组， 故答案为：D． 【小问4详解】 估计该校学生成绩为优秀的人数为3600×＝2088（人）． 【点睛】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 24. 已知二次函数． （1）用配方法将其化为的形式； （2）写出抛物线与坐标轴交点的坐标． 【答案】（1） （2）抛物线与轴的交点是，，与轴交点是 【解析】 【分析】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，二次函数的性质： （1）利用配方法把解析式化为顶点式即可； （2）根据和求出对应的、值，即可得到与坐标轴交点的坐标． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：当时，，解得：，； 当时，， 故抛物线与轴的交点是，，与轴交点是 25. 如图，在中，、、分别是边、、的中点，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）由三角形中位线定理得到，则可证明四边形是平行四边形，再证明，即可证明四边形是矩形， （2）由矩形的性质得到，则由直角三角形的性质得到，证明是等边三角形，即可得到． 【小问1详解】 解：证明：、、分别是、、的中点， 、、是的中位线， ， 四边形是平行四边形， ∵， ∴， 四边形是矩形， 【小问2详解】 四边形是矩形， ， 是的中线， ， ， 是等边三角形， ． 26. 如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米． （1）写出y关于x的函数解析式； （2）当x为多少时，矩形花圈的面积最大？ 【答案】（1） （2）当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米． 【解析】 【分析】（1）的长为x米，则的长为米，利用长方形面积公式即可得出y关于x的函数表达式，再根据题意求出x的取值范围即可； （2）利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，平行于墙的一边的长为米， ， ， ， y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：， ∴当时，y取得最大值，此时， 即当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是列出函数解析式，利用二次函数的性质解答． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点B．直线交x轴于点E，是直线上一动点． （1）求直线的函数解析式和点B的坐标． （2）连接，． ①当时，判断的形状，并说明理由． ②是否存在实数n，使为直角三角形？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） ①是等腰三角形． 理由：， ． ，， ，，， ． 是等腰三角形． ②存在， 【解析】 【分析】本题考查的是待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定以及直角三角形的判定，灵活运用待定系数法、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）把A的坐标代入直线的解析式，即可求得b的值，根据x轴上点的坐标特征求出点B的坐标； （2）①根据勾股定理分别求出的长，根据等腰三角形的判定定理解答； ②根据直角三角形的判定定理列出关于n的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：直线交y轴于点， ， 直线． 直线交x轴于点B，令，则， 解得， ． 【小问2详解】 解：①略 ②，，， ，，． 当为直角三角形时，不存在和的情况， 当时，，即， 解得， 存在实数n，使为直角三角形，n的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期暑假作业评估试卷 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列解析式中，y不是x的函数的是（　　） A. y＝2x B. y＝x2 C. y＝± （x＞0） D. y＝|x| 3. 一组数据2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的平均数、中位数分别（ ） A. 4，4 B. 3，4 C. 4，3 D. 3，3 4. 已知三角形两边长为8和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（　　） A. 6 B. 28 C. 10或28 D. 10或 5. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 将二次函数图象向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得图象的函数是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，对角线，交于点O，平分交于E，点M为的中点，连接并延长分别交，于点N，R下列结论：①是等腰三角形；②；③平分；④是等边三角形，正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④ 10. 如图1，四边形是正方形，点从点出发，以的速度沿运动到点停止，设点运动的时间为（单位：s），的面积为（单位：），图2是点运动时随变化的关系图像，则图2中的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 抛物线的顶点坐标是 _____． 12. 函数中x的取值范围是______． 13. 如图，过矩形的对角线上一点K分别作矩形两边的平行线与，那么图中矩形的面积与矩形的面积的大小关系是_____；（填“＞”或“＜”或“=”） 14. 如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形，连接，点M在点B的左侧的数轴上，，则点M表示的数是_________________． 15. 某博物馆拟招聘一名优秀志愿讲解员，其中某位志愿者笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为分、分、分，综合成绩中笔试占，试讲占，面试占，则该名志愿者的综合成绩为__________． 16. 若是关于的一元二次方程为的解，则__________． 17. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段上一动点，过点分别作轴于点，轴于点，连接，则的最小值为______. 18. 在平面直角坐标系中，O（0，1）、A（3，0）、B（5，3），点C在一象限，若以O、A、B、C为顶点的四边形为平行四边形，则点C的坐标为_____． 三、解答题（本大题共9小题，共66分） 19. 用合适的方法解一元二次方程 （1）； （2） （3） 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度． 22. 如图三个顶点的坐标分别为． （1）请画出绕点O逆时针旋转的． （2）请画出关于原点O对称的图形，并写出点的坐标． 23. 2020年7月23日，天问一号探测器在中国文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，成功进入预定轨道，开启火星探测之旅，迈出了中国自主开展行星探测的第一步．某校为调查学生对航天知识的了解情况，并鼓励学生拓展航天知识，从全校学生中随机抽取了一部分学生进行航天知识测试，并将测试成绩（百分制）进行整理，绘制成尚不完整的统计图表： 根据以上信息解答下列问题： （1）这次测试抽取的学生共有_________名，a=__________，b=___________； （2）请补全频数分布直方图； （3）所抽取学生的成绩的中位数落在_____________组； （4）该校共有学生3600名，若成绩在80分以上（含80分）为优秀，假如全部学生参加此次测试，请估计该校学生成绩为优秀的人数． 24. 已知二次函数． （1）用配方法将其化为的形式； （2）写出抛物线与坐标轴交点的坐标． 25. 如图，在中，、、分别是边、、的中点，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 26. 如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米． （1）写出y关于x的函数解析式； （2）当x为多少时，矩形花圈的面积最大？ 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点B．直线交x轴于点E，是直线上一动点． （1）求直线的函数解析式和点B的坐标． （2）连接，． ①当时，判断的形状，并说明理由． ②是否存在实数n，使为直角三角形？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $