精品解析：陕西省咸阳市永寿县仪井中学2024-2025学年八年级上学期开学摸底考试数学试题

2024-2025学年度八年级上学期开学摸底考试数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列运算正确的是（　　） A. a6÷a2=a3 B. 3a2b﹣a2b=2 C. （﹣2a3）2=4a6 D. （a+b）2=a2+b2 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方运算法则和完全平方公式逐一计算作出判断： A、a6÷a2=a4，原式计算错误，故本选项错误； B、3a2b﹣a2b=2a2b，原式计算错误，故本选项错误； C、（﹣2a3）2=4a6，计算正确，故本选项正确； D、（a+b）2=a2+2ab+b2，原式计算错误，故本选项错误． 故选C． 2. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A．是轴对称图形，故本选项错误； B．是轴对称图形，故本选项错误； C．是轴对称图形，故本选项错误； D．不是轴对称图形，故本选项正确． 故选D． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形三条高所在的直线交于一点 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 D. 有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高线，垂直的定义和性质，平行的性质，熟练掌握这些定义和性质是解题的关键，利用三角形的高线，垂直的定义和性质，平行的性质逐项判断即可． 【详解】解：A中，三角形三条高所在的直线交于一点，即三角形的垂心，正确，故选项符合题意； B中，应为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项错误，故选项不符合题意； C中，应为：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，选项错误，故选项不符合题意； D中，应为：有无数条直线与已知直线平行，选项错误，故选项不符合题意； 故选：A． 4. 已知，则的值为（ ） A. 0 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值、平方的非负性，加减消元法解二元一次方程组，代数式求值，根据非负性得到，两式相加即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 两式相加，得， 则， ∴， 故选：B． 5. 如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，若∠BAD=70°，则∠ACD的度数为(　 　) A. 40° B. 35° C. 50° D. 45° 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：已知AD平分∠BAC，∠BAD=70°，根据角平分线定义求出∠BAC=2∠BAD=140°，再由AB∥CD，所以∠ACD=180°﹣∠BAC=40°，故选A． 考点：平行线的性质． 6. 不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有3个，黄球有2个，现从中任意摸出一个是白球的概率为，则袋中蓝球的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．根据蓝球的概率公式列出方程求解即可． 【详解】解：设袋中蓝球的个数是m，则袋中共有个小球， 由题意得：， 解得：， 即袋中蓝球的个数是1， 故选：D． 7. 已知，则的值是 A. -2 B. 0 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先化简x（x-3y）+y（3x-1）-2，再把x2-2=y，代入解答即可． 【详解】x(x−3y)+y(3x−1)−2=x2−3xy+3xy−y−2=x2−y−2， 把x2−2=y代入x2−y−2中， y−y=0； 故选B. 【点睛】此题考查含字母式子的求值，解题关键在于掌握运算法则. 8. 如图，在中，，，点E在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点D，连接，下列结论中不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出，即可判断A选项；根据角平分线的定义求出，再利用三角形的内角和定理求出，然后利用对顶角，即可判断B选项；根据邻补角的定义和角平分线的定义求出，再利用三角形的内角和定理求出，即可判断C选项；利用角平分线的性质，推出为的外角平分线，然后列式计算求出，即可判断D选项． 【详解】解：，， ， 故A选项正确，不符合题意； 平分， ， 在中，， ， 故B选项错误，符合题意； 平分， ， 在中，， 故C选项正确，不符合题意； 、分别是和的平分线， 到、、的距离相等， 是的外角平分线， ， 故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题的关键． 9. 早晨，小刚沿着通往学校唯一的一条路（直路）上学，途中发现忘带饭盒，停下往家里打电话，妈妈接到电话后带上饭盒马上赶往学校，同时小刚返回，两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，15分钟妈妈到家，再经过3分钟小刚到达学校，小刚始终以100米/分的速度步行，小刚和妈妈的距离y（单位：米）与小刚打完电话后的步行时间t（单位：分）之间的函数关系如图，下列四种说法： ①打电话时，小刚和妈妈的距离为1250米； ②打完电话后，经过23分钟小刚到达学校； ③小刚和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为150米/分； ④小刚家与学校的距离为2550米．其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】①由图可知打电话时，小刚和妈妈的距离为1250米是正确的； ②因为打完电话后5分钟两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，15分钟妈妈到家，再经过3分钟小刚到达学校，经过5+15+3=23分钟小刚到达学校，所以是正确的； ③打完电话后5分钟两人相遇后，妈妈的速度是1250÷5﹣100=150米/分，走的路程为150×5=750米，回家的速度是750÷15=50米/分，所以回家的速度为150米/分是错误的； ④小刚家与学校的距离为750+（15+3）×100=2550米，所以是正确的． 正确的答案有①②④． 故选C． 10. 如图，在四边形中，，为边上一点，，，则四边形的面积为（ ） A. 20 B. C. 17 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练根据题意构造辅助线是解题的关键．过点作于点，过点作于点，利用等腰直角三角形的判定方法证明，，再通过证明，得出，，则可得，得出，，利用，，，求出，最后利用四边形的面积为求解即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ， 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11. 计算__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可求解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知与互余，且，则的补角为______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了互余和互补，由互余可得，把代入计算求出，再根据互为补角的定义即可求解，掌握互余和互补的定义是解题的关键． 【详解】解：∵与互余， ∴， 又∵， ∴， ∴的补角为， 故答案为：． 13. 已知、、是的三边，且均为正整数，若、满足，则周长的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，三角形的三边关系，由非负数的性质可得，，即得，，进而由三角形的三边关系得，即得到的最大值为，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴由三角形的三边关系得，， 即， ∵为正整数， ∴的最大值为， ∴周长的最大值是， 故答案为：． 14. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂重物的质量x（kg）有下面的关系，那么弹簧总长y（cm）与所挂重物x（kg）之间的关系式为_____． x（kg） 0 1 2 3 4 5 6 y（cm） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 【答案】 【解析】 【分析】由表知，重物质量每增加1kg，弹簧则增加0.5cm，由此找到规律即可求得弹簧总长y（cm）与所挂重物x（kg）之间的关系式． 【详解】解：如下表， x（kg） 0 1 2 3 4 5 6 … y（cm） 12 12+0.5 12+2×0.5 12+3×0.5 12+4×0.5 12+5×0.5 12+6×0.5 … 当重物质量为xkg时，弹簧长度为y=12+0.5x， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求两个变量间的关系式，根据规律：重物质量每增加1千克，弹簧则增加0.5cm，是解决问题的关键． 15. 如图，在4×4正方形网格中，有3个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形（每一个白色的小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率是____________________________． 【答案】． 【解析】 【详解】因为共有13种等可能的情况,其中3处涂黑得到黑色部分的图形是轴对称图形,如图, 所以涂黑任意一个白色的小正方形（每一个白色的小正方形被涂黑的可能性相同）,使新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率=,故答案为. 16. 在矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6,将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是____________ 【答案】2.5## 【解析】 【详解】解：如图，以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小． 由勾股定理得，，， 此时剩余部分面积=4×6-×4×4-×3×6-×3×3=2.5． 故答案为2.5． 【点睛】本题考查几何最值问题、等腰直角三角形性质,勾股定理等知识，解题的关键是探究出如何确定三个等腰直角三角形，属于中考选择题中的压轴题． 三、解答题（共6小题，计52分．解答应写过程） 17. 计算 （1） （2） （3）先化简，再求值：，其中、满足． 【答案】（1）； （2）； （3）， 【解析】 【分析】（）先进行乘方和乘法运算，再进行除法运算即可； （）利用完全平方公式和平方差公式对括号中的式子进行化简，再进行除法运算即可； （）利用完全平方公式及多项式乘以多项式的运算法则进行化简，再根据非负数的性质和完全平方公式求得，，然后把化简后的结果变形为，最后代入计算即可； 本题考查整式的混合运算及化简求值，非负数的性质，完全平方公式的变形运算，掌握整式的运算法则和完全平方公式的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴原式 ． 18. 尺规作图：已知，在上求作点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，点即为所作， 【解析】 【分析】本题考查作图—作垂线，线段垂直平分线的性质，分别以、为圆心，大于为半径画弧交于、，作直线交于，连接，点即为所作，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ∴， ∴． 19. 如图，已知：四边形中，，，连接，在的延长线上取一点，在的延长线上取一点，使，连接、，求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，先证明四边形是平行四边形，得到，，进而可证明，得到，即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】略 20. 某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物小票参与抽奖活动，奖品是三种瓶装饮料，它们分别是：绿茶（500ml）、红茶（500ml）和可乐（600ml），抽奖规则如下：①如图，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”“绿”“乐”“茶”“红”字样；②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”（当转动转盘，转盘停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次“有效随机转动”）；③假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，直到转动为一次“有效随机转动”；④当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同（与字的顺序无关），便可获得相应奖品；不相同时，不能获得任何奖品． 根据以上规则，回答下列问题： （1）求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率； （2）有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动，请你用列表或画树状图的方法，求该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：（1）∵转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样； ∴一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率为：； （2）画树状图得： ∵共有25种等可能的结果，该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的有2种情况， ∴该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率为：． 【点睛】本题主要考查了几何概型的概率公式，考查了古典概型的概率公式，属于基础题． 21. 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车沿同一条公路从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为单位：，两车之间的距离为单位：，图中的折线表示与之间的函数关系． 根据图象解答下列问题： （1）甲、乙两地之间的距离为______； （2）请解释图中点的实际意义； （3）求慢车和快车的速度 （4）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同，在第一列快车与慢车相遇后，第二列快车与慢车相遇，求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？ 【答案】（1）900 （2）当两车出发小时时，慢车和快车相遇 （3）； （4）小时 【解析】 【分析】（1）由点A的坐标即可得出甲、乙两地之间的距离； （2）由点B的坐标结合题意，即可得出点B的实际意义； （3）由慢车的速度＝甲、乙两地之间的距离÷慢车到达甲地的时间，即可求出慢车的速度；由快车的速度＝甲、乙两地之间的距离÷两车相遇的时间﹣慢车的速度，即可求出快车的速度； （4）设第二列快车比第一列快车晚出发m小时，则第二列快车与慢车相遇时，慢车行驶了4.5小时、第二列快车行驶了（4.5﹣m）小时，根据路程＝速度×时间，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【小问1详解】 ∵当x＝0时，y＝900， ∴甲、乙两地之间的距离为900千米． 故答案为：900． 【小问2详解】 图中点B的实际意义是当两车出发4小时时，慢车和快车相遇． 【小问3详解】 慢车的速度为900÷12＝75（千米/小时）， 快车的速度为900÷4﹣75＝150（千米/小时）． 【小问4详解】 设第二列快车比第一列快车晚出发m小时，则第二列快车与慢车相遇时，慢车行驶了4.5小时、第二列快车行驶了（4.5﹣m）小时， 根据题意得：75×4.5+150×（4.5﹣m）＝900， 解得：m＝0.75． 答：第二列快车比第一列快车晚出发0.75小时． 【点睛】本题考查了一次函数的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点A的坐标找出甲、乙两地之间的距离；（2）根据题意说出点B的实际意义；（3）根据速度＝路程÷时间，列式计算；（4）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 22. 张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF． 小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF． 小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF． 【变式探究】如图③，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE=CF；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下题： 【结论运用】如图④，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值． 【答案】 【变式探究】证明：连接AP，如图③， ∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC=S△ABP﹣S△ACP， ∴AB•CF=AB•PD﹣AC•PE， ∵AB=AC， ∴CF=PD﹣PE； 【结论运用】PG+PH的值为4． 【解析】 【详解】试题分析：证明：（方法1）连接AP，如图②∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC=S△ABP+S△ACP，∴AB•CF=AB•PD+AC•PE，∵AB=AC，∴CF=PD+PE； （方法2）过点P作PG⊥CF，垂足为G，如图②，∵PD⊥AB，CF⊥AB，PG⊥FC，∴∠CFD=∠FDP=∠FGP=90°，∴四边形PDFG是矩形，∴DP=FG，∠DPG=90°，∴∠CGP=90°，∵PE⊥AC，∴∠CEP=90°，∴∠PGC=∠CEP，∵∠BDP=∠DPG=90°，∴PG∥AB，∴∠GPC=∠B，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠GPC=∠ECP，在△PGC和△CEP中，，∴△PGC≌△CEP，∴CG=PE，∴CF=CG+FG=PE+PD； 【变式探究】略 【结论运用】过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°， ∵AD=8，CF=3， ∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=5， 由折叠可得：DF=BF，∠BEF=∠DEF， ∴DF=5， ∵∠C=90°， ∴DC==4， ∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90°， ∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC， ∴四边形EQCD是矩形， ∴EQ=DC=4， ∵AD∥BC， ∴∠DEF=∠EFB， ∵∠BEF=∠DEF， ∴∠BEF=∠EFB， ∴BE=BF， 由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQ， ∴PG+PH=4， ∴PG+PH的值为4． 考点：几何变换综合题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度八年级上学期开学摸底考试数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列运算正确的是（　　） A. a6÷a2=a3 B. 3a2b﹣a2b=2 C. （﹣2a3）2=4a6 D. （a+b）2=a2+b2 2. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形三条高所在的直线交于一点 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 D. 有且只有一条直线与已知直线平行 4. 已知，则的值为（ ） A. 0 B. 4 C. 8 D. 16 5. 如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，若∠BAD=70°，则∠ACD的度数为(　 　) A. 40° B. 35° C. 50° D. 45° 6. 不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有3个，黄球有2个，现从中任意摸出一个是白球的概率为，则袋中蓝球的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 已知，则的值是 A. -2 B. 0 C. 2 D. 4 8. 如图，在中，，，点E在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点D，连接，下列结论中不正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 早晨，小刚沿着通往学校唯一的一条路（直路）上学，途中发现忘带饭盒，停下往家里打电话，妈妈接到电话后带上饭盒马上赶往学校，同时小刚返回，两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，15分钟妈妈到家，再经过3分钟小刚到达学校，小刚始终以100米/分的速度步行，小刚和妈妈的距离y（单位：米）与小刚打完电话后的步行时间t（单位：分）之间的函数关系如图，下列四种说法： ①打电话时，小刚和妈妈的距离为1250米； ②打完电话后，经过23分钟小刚到达学校； ③小刚和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为150米/分； ④小刚家与学校的距离为2550米．其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在四边形中，，为边上一点，，，则四边形的面积为（ ） A. 20 B. C. 17 D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11. 计算__________． 12. 已知与互余，且，则的补角为______度． 13. 已知、、是的三边，且均为正整数，若、满足，则周长的最大值是______． 14. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂重物的质量x（kg）有下面的关系，那么弹簧总长y（cm）与所挂重物x（kg）之间的关系式为_____． x（kg） 0 1 2 3 4 5 6 y（cm） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15. 如图，在4×4正方形网格中，有3个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形（每一个白色的小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率是____________________________． 16. 在矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6,将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是____________ 三、解答题（共6小题，计52分．解答应写过程） 17. 计算 （1） （2） （3）先化简，再求值：，其中、满足． 18. 尺规作图：已知，在上求作点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，已知：四边形中，，，连接，在的延长线上取一点，在的延长线上取一点，使，连接、，求证：． 20. 某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物小票参与抽奖活动，奖品是三种瓶装饮料，它们分别是：绿茶（500ml）、红茶（500ml）和可乐（600ml），抽奖规则如下：①如图，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”“绿”“乐”“茶”“红”字样；②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”（当转动转盘，转盘停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次“有效随机转动”）；③假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，直到转动为一次“有效随机转动”；④当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同（与字的顺序无关），便可获得相应奖品；不相同时，不能获得任何奖品． 根据以上规则，回答下列问题： （1）求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率； （2）有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动，请你用列表或画树状图的方法，求该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率． 21. 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车沿同一条公路从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为单位：，两车之间的距离为单位：，图中的折线表示与之间的函数关系． 根据图象解答下列问题： （1）甲、乙两地之间的距离为______； （2）请解释图中点的实际意义； （3）求慢车和快车的速度 （4）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同，在第一列快车与慢车相遇后，第二列快车与慢车相遇，求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？ 22. 张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF． 小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF． 小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF． 【变式探究】如图③，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE=CF；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下题： 【结论运用】如图④，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $