微专题 二次函数中函数值大小比较的方法及二次函数区间最值问题 专项训练-2025-2026学年九年级数学上册【基础过关+易错警示+中档提升+拓展延伸】（人教版）

微专题 二次函数中函数值大小比较的方法及二次函数区间最值问题 微专题1 二次函数中函数值大小比较的方法 方法一 代数法 1．（2024秋•乐清市校级期中）已知三点（2，a），（﹣1，b），（3，c）在抛物线y＝x2+x+2上，则a，b，c的大小关系是（　　） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．无法比较大小 方法二 对称法 2．（2024秋•八步区期中）已知，点P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（3，y3）均在二次函数y＝﹣x2+4x﹣c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 　 　 （用“＜”号表示）． 方法三 距离法 3．（2022秋•漳州期末）已知点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都在二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象上，若﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3，则下列关于y1，y2，y3三者的大小关系判断一定正确的是（　　） A．y1可能最大，不可能最小 B．y3可能最大，也可能最小 C．y3可能最大，不可能最小 D．y2不可能最大，可能最小 方法四 中点偏移法 4．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上的任意两点，设该抛物线的对称轴为直线x＝t． （1）若对于x1＝3，x2＝4，有y1＝y2，求t的值； （2）若对于2＜x1＜3，3＜x2＜4，都有y1＜y2，求t的取值范围． 微专题2 二次函数区间最值问题 类型一 定轴定区间 5．（2025•徐州）二次函数y＝x2+x+1的最小值为 ． 6．（2021秋•临江市期末）已知关于x的二次函数y＝x2﹣4x+m在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值为7，则该二次函数的最小值是 　 　 ． 7．（2025春•兴隆台区期末）二次函数y＝x2﹣2x+1在﹣5≤x≤3范围内的最大值与最小值的差为　 ． 类型二 定轴动区间 8．（2020•瑞安市一模）已知二次函数y＝x2﹣2x+2（其中x是自变量），当0≤x≤a时，y的最大值为2，y的最小值为1．则a的值为（　　） A．a＝1 B．1≤a＜2 C．1＜a≤2 D．1≤a≤2 9．（2022秋•台州期末）当时，二次函数y＝x2﹣2x+m﹣1的最小值是﹣1，则m＝　 　 ． 10．（2024秋•萧山区月考）已知二次函数y＝ax2+2ax+1（a＞0），当m≤x≤0时，y有最小值1﹣a和最大值1，则m的取值范围是 　 　 ． 11．（2025•武汉模拟）已知二次函数y＝ax2+2ax+c（a，c为常数且a＜0）经过（1，m），且mc＜0，下列结论：①c＞0；②；③若关于x的方程ax2+2ax＝p﹣c（p＞0）有整数解，则符合条件的p的值有2个；④当a≤x≤a+3时，二次函数的最大值为c，则a＝﹣4．其中一定正确的有 　 　 .（填序号即可） 类型三 动轴定区间 12．（2024秋•江阳区校级期中）已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最小值为3，则m的值为 　 ． 类型四 动轴动区间 13．（2021秋•信都区期末）已知抛物线y＝x2+2mx+4m2（m为常数）与y轴的交点为C点． （1）若抛物线经过原点，求m的值； （2）若点A（x1，y1）和点B（4﹣x1，y1）在抛物线上，求C点的坐标； （3）当2m≤x≤2m+3，与其对应的函数值y的最小值为9，求此时的二次函数解析式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题 二次函数中函数值大小比较的方法及二次函数区间最值问题 微专题1 二次函数中函数值大小比较的方法 方法一 代数法 1．（2024秋•乐清市校级期中）已知三点（2，a），（﹣1，b），（3，c）在抛物线y＝x2+x+2上，则a，b，c的大小关系是（　　） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．无法比较大小 【分析】根据抛物线，将点坐标代入计算出各值，进行比较即可． 【详解】解：抛物线y＝x2+x+2，若点（2，a），（﹣1，b），（3，c）都在该抛物线上， ∴a＝22+2+2＝8，b＝（﹣1）2﹣1+2＝2，则b＝2，c＝32+3+2＝14， ∴c＞a＞b， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 方法二 对称法 2．（2024秋•八步区期中）已知，点P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（3，y3）均在二次函数y＝﹣x2+4x﹣c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 　y1＜y2＜y3　 （用“＜”号表示）． 【分析】求出抛物线的对称轴，根据距离对称轴越远，函数值越小进行比较即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线x＝2，开口向下， 根据距离对称轴越远，函数值越小可得： P1（﹣3，y1）距离对称轴5个单位长度， P2（﹣1，y2）距离对称轴3个单位长度， P3（3，y3）距离对称轴1个单位长度， ∴y1＜y2＜y3． 故答案为：y1＜y2＜y3． 【点睛】考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解决问题的前提，求出对称轴是解题的关键． 方法三 距离法 3．（2022秋•漳州期末）已知点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都在二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象上，若﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3，则下列关于y1，y2，y3三者的大小关系判断一定正确的是（　　） A．y1可能最大，不可能最小 B．y3可能最大，也可能最小 C．y3可能最大，不可能最小 D．y2不可能最大，可能最小 【分析】求出函数图象的对称轴，与x轴的交点，分a＞0和a＜0两种情况，根据已知三点与对称轴的距离，结合开口方向分析即可． 【详解】解：在y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）中， 对称轴为直线， 令ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴函数图象与x轴交于（﹣1，0），（3，0）， ∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3， ∴（x3，y3）离对称轴最远，（x2，y2）离对称轴最近， 当a＞0时，开口向上， ∴y3＞y1＞y2； 当a＜0时，开口向下， ∴y3＜y1＜y2； ∴y2和y3可能最大，也可能最小． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是根据表达式求出对称轴和与x轴交点，利用性质进行分析． 方法四 中点偏移法 4．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上的任意两点，设该抛物线的对称轴为直线x＝t． （1）若对于x1＝3，x2＝4，有y1＝y2，求t的值； （2）若对于2＜x1＜3，3＜x2＜4，都有y1＜y2，求t的取值范围． 【分析】（1）依据题意，根据二次函数的性质求得对称轴即可得解； （2）依据题意，根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答． 【详解】解：（1）由题意，∵对于x1＝3，x2＝4，有y1＝y2， ∴9a+3b+c＝16a+4b+c， ∴7a+b＝0， ∴7． ∵对称轴为直线x， ∴t． （2）∵2＜x1＜3，3＜x2＜4， ∴，x1＜x2， 又y1＜y2，a＞0， ∴（x1，y1）离对称轴更近，x1＜x2，则（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧， ∴t， ∴t． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，解题时要能熟练掌握并理解二次函数的对称性是关键． 微专题2 二次函数区间最值问题 类型一 定轴定区间 5．（2025•徐州）二次函数y＝x2+x+1的最小值为　　 ． 【分析】先将二次函数解析式配成顶点式，再得出最小值． 【详解】解：∵y＝x2+x+1， ∴最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，掌握顶点式是解题的关键． 6．（2021秋•临江市期末）已知关于x的二次函数y＝x2﹣4x+m在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值为7，则该二次函数的最小值是 　﹣2　 ． 【分析】先将二次函数写成顶点式，得出对称轴及开口方向，根据抛物线开口向上时离对称轴越远函数值越大，可知当x＝﹣1时，y＝7，从而可解得m的值；再根据抛物线的顶点式可得其最小值． 【详解】解：∵y＝x2﹣4x+m＝（x﹣2）2+m﹣4， ∴对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上， ∵二次函数在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值7， 当x＝﹣1时，y＝7， ∴7＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）+m， 解得：m＝2， ∴当x＝2时，该二次函数有最小值，最小值为0+2﹣4＝﹣2． 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 7．（2025春•兴隆台区期末）二次函数y＝x2﹣2x+1在﹣5≤x≤3范围内的最大值与最小值的差为　36　 ． 【分析】将函数化为顶点式，确定函数的最小值，再分别计算x＝﹣5时，当x＝3时的函数值，得到函数值的范围即可． 【详解】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2， ∴抛物线开口向上，抛物线对轴为直线x＝1，当x＝1时，有最小值0， 当x＝﹣5时，y＝（x﹣1）2＝36， 当x＝3时，y＝（x﹣1）2＝4， ∴当﹣5≤x≤3时，最大值为36，最小值为0， ∴二次函数y＝x2﹣2x+1在﹣5≤x≤3范围内的最大值与最小值的差为：36﹣0＝36． 故答案为：36． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，已知自变量的值求函数值，正确理解函数的开口方向确定最值是解题的关键． 类型二 定轴动区间 8．（2020•瑞安市一模）已知二次函数y＝x2﹣2x+2（其中x是自变量），当0≤x≤a时，y的最大值为2，y的最小值为1．则a的值为（　　） A．a＝1 B．1≤a＜2 C．1＜a≤2 D．1≤a≤2 【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y＝2时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案． 【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1， ∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点（1，1）， ∴当y＝1时，x＝1， 当y＝2时，x2﹣2x+2＝2，x＝0或2， ∵当0≤x≤a时，y的最大值为2，y的最小值为1， ∴1≤a≤2， 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的最值，熟知二次函数的顶点坐标公式是解答此题的关键． 9．（2022秋•台州期末）当时，二次函数y＝x2﹣2x+m﹣1的最小值是﹣1，则m＝　1或 　 ． 【分析】依据题意，可得对称轴为直线x＝1，进而结合二次函数的性质分 、和m+1＜1三种情形进行讨论即可得解． 【详解】解：由题意，对称轴为直线x＝1． ①当 ，即m＞2时， ∵抛物线的开口向上， ∴ 时，y＝﹣1． ∴（）2﹣2m﹣1＝﹣1． ∴m＝0（舍去）． ②当 ，即0≤m≤2时，则x＝1时，y＝﹣1． ∴1﹣2+m﹣1＝﹣1． ∴m＝1． ③当m+1＜1，即m＜0时，则x＝m+1时，y＝﹣1． ∴（m+1）2﹣2（m+1）+m﹣1＝﹣1． ∴m2+m﹣1＝0． ∴， （舍去）． 综上所述，m＝1或 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 10．（2024秋•萧山区月考）已知二次函数y＝ax2+2ax+1（a＞0），当m≤x≤0时，y有最小值1﹣a和最大值1，则m的取值范围是 　﹣2≤m≤﹣1　 ． 【分析】求出二次函数y＝ax2+2ax+1图象的顶点为（﹣1，1﹣a），过点（0，1）；又点（0，1）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2，1），画出图象可得﹣2≤m≤﹣1． 【详解】解：∵y＝ax2+2ax+1＝a（x+1）2+1﹣a， ∴二次函数y＝ax2+2ax+1图象的顶点为（﹣1，1﹣a）， 在y＝ax2+2ax+1中，令x＝0得y＝1， ∴二次函数y＝ax2+2ax+1图象过点（0，1）； 又点（0，1）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2，1）， 当m≤x≤0时，y有最小值1﹣a和最大值1，如图： 由图可知，﹣2≤m≤﹣1． 故答案为：﹣2≤m≤﹣1． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解题的关键是数形结合思想的应用． 11．（2025•武汉模拟）已知二次函数y＝ax2+2ax+c（a，c为常数且a＜0）经过（1，m），且mc＜0，下列结论：①c＞0；②；③若关于x的方程ax2+2ax＝p﹣c（p＞0）有整数解，则符合条件的p的值有2个；④当a≤x≤a+3时，二次函数的最大值为c，则a＝﹣4．其中一定正确的有 　①②③　 .（填序号即可） 【分析】根据题目中的二次函数的图象和性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数y＝ax2+2ax+c（a，c为常数且a＜0）经过（1，m）， ∴a+2a+c＝m，即3a+c＝m， ∴3ac+c2＝cm， ∵mc＜0， ∴3ac+c2＜0， ∴0≤c2＜﹣3ac， ∵a＜0， ∴c＞0，故①正确； ∴c＜﹣3a， ∴a，故②正确； ∵c＞0，mc＜0， ∴m＜0， ∴点（1，m）在x轴的下方， ∵抛物线的对称轴为直线x1，a＜0，c＞0， ∴抛物线与直线y＝p（p＞0）交点的横坐标为整数的有﹣2，﹣1，0三个， ∴若关于x的方程ax2+2ax＝p﹣c（p＞0）有整数解，则符合条件的p的值有2个，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，与y轴的交点为（0，c）， ∴抛物线过（﹣2，c）， ∵a≤x≤a+3时，二次函数的最大值为c， ∴a+3＝﹣2， ∴a＝﹣5， 故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 类型三 动轴定区间 12．（2024秋•江阳区校级期中）已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最小值为3，则m的值为 　0或7　 ． 【分析】分m＜2，2≤m≤5和m＞5三种情况，结合二次函数的性质解答即可求解． 【详解】解：∵y＝（x﹣m）2﹣1， ∴当x＝m时，y的最小值为﹣1， 当m＜2时，在2≤x≤5中，y随x的增大而增大， （2﹣m）2﹣1＝3， 解得m＝0或m＝4（舍去）； 当2≤m≤5时，y的最小值为﹣1，不符合条件，舍去； 当m＞5时，在2≤x≤5中，y随x的增大而减小， ∴（5﹣m）2﹣1＝3， 解得m＝3（不合，舍去）或m＝7； 综上，m的值为0或7， 故答案为：0或7． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 类型四 动轴动区间 13．（2021秋•信都区期末）已知抛物线y＝x2+2mx+4m2（m为常数）与y轴的交点为C点． （1）若抛物线经过原点，求m的值； （2）若点A（x1，y1）和点B（4﹣x1，y1）在抛物线上，求C点的坐标； （3）当2m≤x≤2m+3，与其对应的函数值y的最小值为9，求此时的二次函数解析式． 【分析】（1）把（0，0）代入抛物线y＝x2+2mx+4m2（m为常数）中可得m的值； （2）根据A和B是对称点可得抛物线的对称轴，根据对称轴方程列式可得m的值，从而得点C的坐标； （3）分三种情况：①当2m＞﹣m时，即m＞0，②当2m＜﹣m＜2m+3时，即﹣1＜m＜0，③当2m+3＜﹣m时，即m＜﹣1，根据增减性列方程可得m的值，从而得结论． 【详解】解：（1）把（0，0）代入抛物线y＝x2+2mx+4m2（m为常数）中， 4m2＝0， ∴m＝0； （2）∵点A（x1，y1）和点B（4﹣x1，y1）在抛物线上， ∴抛物线的对称轴是：x2，即2， ∴m＝﹣2， ∴C（0，16）； （3）分三种情况： y＝x2+2mx+4m2＝（x+m）2+3m2， ∴对称轴是：直线x＝﹣m， ①当2m＞﹣m时，即m＞0， ∵2m≤x≤2m+3，与其对应的函数值y的最小值为9， ∴当x＝2m时，y＝9， ∴4m2+4m2+4m2＝9， m＝±（负值舍）， 此时的二次函数解析式为：y＝x2x+3； ②当2m≤﹣m≤2m+3时，即﹣1≤m≤0， ∵2m≤x≤2m+3，与其对应的函数值y的最小值为9， ∴当x＝﹣m时，y＝9， ∴m2﹣2m2+4m2＝9， m＝±（不符合题意舍去）； ③当2m+3＜﹣m时，即m＜﹣1， ∵2m≤x≤2m+3，与其对应的函数值y的最小值为9， ∴当x＝2m+3时，y＝9， ∴（2m+3）2+2m（2m+3）+4m2＝9， m1＝0（舍），m2＝﹣1.5， 此时的二次函数解析式为：y＝x2﹣3x+9； 综上，二次函数解析式为：y＝x2x+3或y＝x2﹣3x+9． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$