精品解析：黑龙江省哈尔滨市香坊区荣智学校2021-2022学年 九年级上学期10月模拟数学(五四制)试卷

荣智学校九年级10月模拟数学阶段测试 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 某日的最高气温为，最低气温为，则这天的最高气温比最低气温高（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数的减法运算，将最高气温减去最低气温即可解答． 【详解】解： ∴这天的最高气温比最低气温高． 故选：C 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则、积的乘方、幂的乘方运算法则以及合并同类项法则逐一判断即可． 【详解】解：A、a2•a3=a5，故本选项符合题意； B、（-a）4=a4，故本选项不合题意； C、（a2）3=a6，故本选项不合题意； D、a2与a4不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键． 3. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形、中心对称图形识别，解题的关键是掌握：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形． 【详解】解：A．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项符合题意； C．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 4. 已知反比例函数，当时．随的增大而增大、则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数为常数，的增减性与的关系． 根据反比例函数的性质，当反比例函数中时，在每个象限内随的增大而增大，据此列出关于的不等式求解． 【详解】已知反比例函数，当时，随的增大而增大． 得．解得． 故选：B． 5. 如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上边看第一列是一个小正方形，第二列是两个小正方形，第三列是两个小正方形， 故选:D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图． 6. 将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移规律，根据“左加右减，上加下减”平移变化规律求解即可． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线为． 故选：C 7. 如图，在中，点D、E、F分别在边上，连接，若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质对每个选项进行判断即可． 【详解】解：、， ∴，故选项A正确； 、∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，故选项B正确； 、∵， ∴， ∵与的大小关系不能确定， ∴，故选项C错误； 、∵， ∴， ∴，故选项D正确， 故选：C 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，正确应用平行线分线段成比例定理是解题的关键． 8. 在中，，，，则AC的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形．根据正弦函数的定义即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， 故选：D． 9. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由平行线的性质得到，由旋转得到，从而，进而根据三角形的内角和求出，再由旋转角即可解答． 【详解】解：∵，， ， 又、为对应点，点为旋转中心， ，， ， ∴， ∴． 故选：A． 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论，其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数的图象开口方向判断与的关系，由二次函数的图象与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及二次函数图象与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：A．∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵二次函数图象的对称轴为， ∴， ∴， ∵二次函数图象交轴于正半轴， ∴， ∴，故此选项符合题意； B．由图知：当时，， ∴， ∴，故此选项不符合题意； C．∵， ∴，故此选项不符合题意； D．∵二次函数的图象与轴有两个不同的交点， ∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 把这个数用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数绝对值小于时，是负整数．据此解答即可． 【详解】解：把这个数用科学记数法表示为． 故答案为：． 12. 函数中自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，求自变量的取值范围，根据分式的分母不等于即可求解，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴自变量取值范围是， 故答案为：． 13. 计算：﹣=__． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次根式化简，然后合并同类二次根式即可． 【详解】原式=3-2 =． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题得关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 14. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了综合运用提公因式法，公式法分解因式．先提公因式，再利用完全平方公式分解即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 15. 解不等式组的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得每个不等式的解集，再找出解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 16. 反比例函数的图象过点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法确定函数的解析式，将点代入解析式，然后解关于的方程即可．掌握待定系数法确定函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， 解得：． 故答案为：． 17. 中，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，根据题意，利用锐角三角函数可以设，，然后根据勾股定理列方程即可求得的长．解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和勾股定理解答． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴，， 设，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 18. 如图，在中，，以上一点为圆心，为半径的圆与相切于点，若，则的半径为________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查了切线的性质以及等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，正确得出的度数是解题关键．直接利用切线的性质得出，进而利用等腰三角形的性质结合勾股定理得出的半径． 【详解】解：连接， 为半径的圆与相切于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 故， 解得：， 则的半径为：． 故答案为：． 19. 已知为等腰直角三角形，，，点为边的中点，点为上一点，若，，则__________． 【答案】或． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是根据题意画出图形，过点作，可证，因为点为边的中点，可知，又因为为等腰直角三角形，根据勾股定理可以求出，从而可知，利用勾股定理求出，然后再分情况求出的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作， ， ， ， 又， ， ， 点为边的中点， ， 为等腰直角三角形，，， ， ， ， ， ，， ， 在中，， ， 当点在点上方时， ， 当点在点下方时， ， 综上所述，的长度为或． 故答案为：或． 20. 如图，，为等边三角形，点E在的延长线上，且，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，在上取一点F，使，连接，得是等边三角形，证明得，，再证明得，进而得，即可得解． 【详解】解：如图，在上取一点F，使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分） 21. 先化简，再求值的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则和运算顺序化简，再根据特殊角三角函数值求出，最后代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，特殊角三角函数值，二次根式的混合运算等知识点．解题的关键是掌握相应的运算法则，运算顺序及熟记特殊角三角函数值． 22. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点在格点上． （1）作出将向左平移个单位，向上平移个单位． （2）作出关于轴对称的；连接并直接写出的长． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析， 【解析】 分析】本题考查坐标与图形变换—平移与轴对称， （1）作出、、平移后对应点，，，再顺次连接即可； （2）作出、、关于轴的对称点，，，再顺次连接可得到；连接，然后根据、的坐标即可得出的长； 掌握平移、对称的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，即为所作； 【小问2详解】 如图，即为所作， 由图可知：，， ∴， 即的长为． 23. 为评估九年级学生的学习成绩状况，以应对即将到来的中考做好教学调整，某中学抽取了部分参加考试的学生的成绩作为样本分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）求抽取了多少名学生的成绩； （2）求样本中学成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整； （3）该校九年级共有1000人参加了这次考试，请估算该校九年级共有多少名学生的数学成绩达到优秀？ 【答案】（1）50名 （2）10名，补全条形统计图见解析 （3）200名 【解析】 【分析】（1）由“良”的人数除以其所占的百分比即可求解； （2）利用“中”所占的百分比乘以样本总人数即可求得“中”的人数，再补全条形统计图即可； （3）利用成绩类别为“优”的人数除以样本总人数求得其所占的百分比，再乘以全校人数即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，（名）， 答：抽取了50名学生的成绩； 【小问2详解】 解：由题意可得，成绩类别为“中”的人数为（名）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：由题意可得，（人）， 答：估算该校九年级共有200名学生的数学成绩达到优秀． 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合应用、用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键． 24. 已知：在矩形中，是上一点，连接，将沿翻折，使落到处，延长交延长线于． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，再根据等角对等边可得证； （2）设，则，在中，根据勾股定理列方程可得的值． 【小问1详解】 证明：∵将沿翻折，使落到处， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，，， ∴ ∴， ∵将沿翻折，使落到处， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查翻折变换的性质，矩形的性质，等角对等边，勾股定理的应用，解题的关键是掌握：翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 25. 某五金商店准备从一机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少元，且用元购进甲种零件的数量与用元购进乙种零件的数量相同． （1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？ （2）若该五金商店本次购进乙种零件的数量比购进甲种零件的数量的倍还少个，购进两种零件的总金额不超过元，则五金商店本次从机械厂最多购进甲种零件多少个？ 【答案】（1）每个甲种零件的进价为8元，每个乙种零件的进价为10元；（2）五金商店本次从机械厂最多购进甲种零件53个． 【解析】 【分析】（1）设每个乙种零件进价为元，则每个甲种零件进价为元，根据“用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同”列出方程． （2）设购进甲种零件个，则购进乙种零件个．根据“购进两种零件的总金额不超过元”列出不等式，进而求得，由此可得答案． 【详解】解：（1）设每个乙种零件进价为元，则每个甲种零件进价为元． 由题意得：． 解得：． 检验：当时，， 是原分式方程的解， 每个甲种零件进价为：， 答：每个甲种零件的进价为8元，每个乙种零件的进价为10元． （2）设购进甲种零件个，则购进乙种零件个． 由题意得：， 解得：， 的最大整数值为53， 答：五金商店本次从机械厂最多购进甲种零件53个． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据． 26. 如图，切于点，点上，交于点． （1）如图，当为的直径，，连接、，求证：； （2）如图，于点，于点，交于点，求证：． （3）在第（2）问的条件下，连接，，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得，由为的直径，得，由推出，继而得到，再根据圆周角定理即可得证； （2）如图，连接，根据同弧所对的圆周角相得，根据垂直的定义及直角三角形两锐角互余可推出，然后证明，由全等三角形的性质可证得结论； （3）如图，连接并延长交于点，连接，，先推出，可得，设，，根据勾股定理求出，，结合（2）的结论的推出垂直平分，得，在中，，继而得到，得，再代入，可得结论． 【小问1详解】 证明：∵切于点， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵对着圆周角和圆心角，对着圆周角和圆心角， ∴，， ∴； 【小问2详解】 如图，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接并延长交于点，连接，， ∴是的直径， ∴， ∴， ∵切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴， 设，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴，， 由（2）知：， 又∵，， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 【点睛】本题考查切线的性质，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，解直角三角形等知识点，通过作辅助线构造直角三角形和全等三角形的是解题的关键． 27. 如图：抛物线(k＞0)交x轴于（A左B右），交y轴于点C，直线y＝过点A，交抛物线于另一点D，过D作轴，垂足为K． （1）求的长； （2）连接，若，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，P为第一象限抛物线上一点，过点P作，垂足为E，设分别为的中点，连接，判定四边形的形状，并求出当四边形的面积（周长）最大时，点P的坐标． 【答案】（1）7 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求抛物线与x轴交点A，B的坐标，然后求直线的解析式，再求点D的坐标，最后计算的长； （2）已知点 和点 ，并利用  建立关于 的方程．首先，过点  作  于点 ，过点  作  轴于点 ，得到 ，计算得  和 ．  中，​，因此在  中，，设 ，则 ，．又因为 ，所以有 ．再根据 ，其中 ，而 ，代入得方程 ．结合 ，求解得 ，进而求出 ．将  代入原抛物线方程，化简得  或展开为 ； （3）根据给定的条件，首先判定四边形的形状：利用中点性质，分别是的中点，由中位线定理可得且，且，因此，判定四边形为平行四边形．由直线的解析式为，直线的解析式为，可知；又因为，所以，而，故，结合，得，因此四边形是矩形．接下来求面积或周长最大时的P点坐标：矩形面积等于乘以，其中，，且为定值，所以面积与成正比；周长等于，故只需最大化．设P点坐标为，其中（因P在第一象限抛物线上），通过构造相似三角形（）求出E点坐标，进而得到和，计算．令，当时l取得最大值16，此时PE最大．将代入P点坐标表达式，得． 【小问1详解】 解：令，则，解得， A在B的左面，且， ， 直线过点A，代入得， 整理得，， 直线：， 联立方程组， 解得，， 点D的坐标为， DK⊥y轴，垂足为K， ； 【小问2详解】 由（1）知， 过点B作于H，过点D作轴于T，则， ，， 在中，，， 在中，，， ，，， 令，，则，即， ， ， ，整理，得 ， 解得，， ， 抛物线的解析式，即； 【小问3详解】 （3）当时，，直线的解析式为：, 设（且）， F、G、M、N分别为PC、CE、EB、BP的中点， 是的中位线， 且， 是的中位线， 且， 同理可证 且， 四边形是平行四边形， 如图轴，， ，， ， 在中，， ， ， ， ，即，， 轴， ， ， 设点E的坐标为， ，，，， 在中，，即， ， ， ， 连接， ， 直线的解析式为：， ，， 是的中位线， ， ， ， 四边形是矩形， 在中，， 四边形的面积，四边形的周长， 当最大时，四边形的面积（周长）最大， ， 在第一象限， ， 令，， ， 当时，最大值为16， 当时，最大，即最大， 点P的坐标为，即点 【点睛】本题考查了函数与几何两大板块，具体包括二次函数的图象与性质（求与坐标轴交点坐标、解析式确定）、一次函数的解析式求解与图象应用、坐标系中两点间距离计算、勾股定理、三角函数（正切值）的应用、相似三角形的判定与性质（AA 判定）、三角形中位线定理（平行关系与长度比例），以及特殊四边形（平行四边形、矩形）的判定与性质（面积和周长计算），同时涉及一元二次方程的求解与最值问题（配方法求二次函数最值）．解题关键在于：先通过抛物线与 x 轴交点特征及直线过已知点求出关键坐标（如 点），为后续计算奠基；再利用辅助线构造直角三角形或相似三角形，结合三角函数值建立方程求解抛物线参数 k，确定解析式；最后借助三角形中位线定理分析四边形边的平行与数量关系，判定四边形形状，通过将四边形面积（周长）转化为相关线段（）的长度问题，利用二次函数最值性质求出点 P 坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 荣智学校九年级10月模拟数学阶段测试 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 某日的最高气温为，最低气温为，则这天的最高气温比最低气温高（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数，当时．随的增大而增大、则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 将二次函数图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点D、E、F分别在边上，连接，若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，，则AC的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论，其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 把这个数用科学记数法表示为________． 12. 函数中自变量的取值范围是______． 13. 计算：﹣=__． 14. 分解因式：______． 15. 解不等式组的解集是_______． 16. 反比例函数的图象过点，则________． 17 中，，，，则________． 18. 如图，在中，，以上一点为圆心，为半径的圆与相切于点，若，则的半径为________． 19. 已知为等腰直角三角形，，，点为边的中点，点为上一点，若，，则__________． 20. 如图，，为等边三角形，点E在延长线上，且，若，则的长为________． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分） 21. 先化简，再求值的值，其中． 22. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点在格点上． （1）作出将向左平移个单位，向上平移个单位的． （2）作出关于轴对称的；连接并直接写出的长． 23. 为评估九年级学生的学习成绩状况，以应对即将到来的中考做好教学调整，某中学抽取了部分参加考试的学生的成绩作为样本分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）求抽取了多少名学生的成绩； （2）求样本中学成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整； （3）该校九年级共有1000人参加了这次考试，请估算该校九年级共有多少名学生的数学成绩达到优秀？ 24. 已知：在矩形中，是上一点，连接，将沿翻折，使落到处，延长交延长线于． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 某五金商店准备从一机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少元，且用元购进甲种零件的数量与用元购进乙种零件的数量相同． （1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？ （2）若该五金商店本次购进乙种零件的数量比购进甲种零件的数量的倍还少个，购进两种零件的总金额不超过元，则五金商店本次从机械厂最多购进甲种零件多少个？ 26. 如图，切于点，点在上，交于点． （1）如图，当为的直径，，连接、，求证：； （2）如图，于点，于点，交于点，求证：． （3）在第（2）问的条件下，连接，，，，求的长． 27. 如图：抛物线(k＞0)交x轴于（A左B右），交y轴于点C，直线y＝过点A，交抛物线于另一点D，过D作轴，垂足为K． （1）求的长； （2）连接，若，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，P为第一象限抛物线上一点，过点P作，垂足为E，设分别为的中点，连接，判定四边形的形状，并求出当四边形的面积（周长）最大时，点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$