精品解析：广东省揭阳真理中学2025-2026学年上学期九年级第一次月考数学模拟卷

广东省揭阳真理中学2025-2026学年第一学期九年级第一次月考数学模拟卷02 一．选择题（共10小题） 1. 若是方程的根，则的值为（ ） A. 2024 B. 2026 C. 2028 D. 2030 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解以及代数式求值，把代入已知方程，并求得，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可，运用整体代入思想是解决此问题的关键． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2. 如图是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（　　） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中… 开启新对话 给发送消息 88深度思考（）联网搜索+ A. 1 B. C. D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设这个数为x，根据先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设这个数为x， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 这个数为1， 故选A． 3. 如图，菱形的对角线，交于点O，过点D作于点E，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. 48 B. 60 C. 96 D. 192 【答案】C 【解析】 【分析】由中，点O是的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，，则，根据勾股定理求出，得出，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和面积计算，直角三角形的性质，勾股定理，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是解决本题的关键． 4. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（ ） A. 4 B. 4．8 C. 5．2 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先由矩形的判定定理推知四边形是矩形；连接，则，所以要使，即最短，只需即可；然后根据三角形的等积转换即可求得的值． 【详解】解：如图，连接． 在中，，，， ， ． 又于点，于点． ， 四边形矩形． ． 当最小时，也最小， 即当时，最小， ， 即， 线段长的最小值为4.8； 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短，解题的关键是利用“两点之间垂线段最短”找出时，取最小值． 5. 关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A. B. 1 C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根．根据，得到，由可得m的方程，解m的方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：C． 6. 如图，正方形的边长为9，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接，下列结论中不正确的是（　　） A. 矩形是正方形 B. C 平分 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点E分别作，垂足分别为K，L，则，根据角平分线的性质，可得，可证明四边形是矩形，再证明，可得，从而得到矩形是正方形，可判断A选项；证明，可得，，从而得到平分，可判断C选项；再由勾股定理可得，可判断D选项；再由 与的大小无法判断，可得不一定成立，可判断B选项． 【详解】解：如图，过点E分别作，垂足分别为K，L，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，故A选项正确，不符合题意； ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，平分，故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴，故D选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵与的大小无法判断， ∴不一定成立，故B选项不正确，符合题意； 故选：B 【点睛】此题是四边形综合题，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理及其推论以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 7. 已知一元二次方程（a≠0）的两根分别为-3，1，则方程（a≠0）的两根分别为（ ） A. 1,5 B. -1,3 C. -3,1 D. -1,5 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法令，可得到的值，即可算出的值，即方程（a≠0）的两根. 【详解】记，则即的两根为3，1 故1，3. 故选B. 【点睛】本题主要考查换元法和解一元二次方程. 8. 若点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，坐标平面内点的坐标特征，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．先利用第二象限点的坐标特征得到，则判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∴方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 9. 如图，M是三条角平分线的交点，过M作，分别交于D，E两点，设，关于x的方程（） A. 一定有两个相等实根 B. 一定有两个不相等实根 C. 有两个实根，但无法确定是否相等 D. 无实根 【答案】A 【解析】 【分析】M是三条角平分线的交点，过M作，则得出，即可得出△DBM∽△MBC，再求出△BMC∽△MEC，△DBM∽△EMC，即可得出：，即可求解． 【详解】解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM， ∴∠ADM=∠AEM，， ∴， ∵M是三条角平分线的交点 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M是△ABC的内角平分线的交点， ∴∠1=∠2， ∴△DBM∽△MBC， 同理可得出：△BMC∽△MEC， △DBM∽△EMC， ∴， 即：， 即． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题关键． 10. 如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，给出下列结论：①；②；③；④的面积是．其中正确的结论为（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求； ②根据正方形的性质可求，再根据线段的和差关系可求的长； ③首先证明，可得，之后证明即可； ④根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：①，， ，故①正确； ②， ， ， ，故②错误； ③四边形与四边形均为正方形， ，， ， ， ， ， 连接 交 于,过作交于， 四边形为矩形， ，， ，, ， ， ，， ， ， 在 与中， ，， ， ，故③错误； ④的面积，故④正确； 其中正确的结论为①④． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积，勾股定理，平角的定义，综合性较强，解决本题的关键是掌握正方形的性质． 二．填空题（共5小题） 11. 已知对于任意实数a，关于x的方程总有两个不相等的实数根，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，则的面积为整数值的三角形个数有 _______ 个． 【答案】15 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一次函数的性质和三角形面积公式的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识，进行正确地计算、讨论、求解． 运用一元二次方程根的判别式、一次函数的性质和三角形面积公式等知识进行求解． 【详解】解：∵关于的方程，总有两个不相等的实数根， ∴ ， 关于的二次函数的图象在x轴上方， ， 解得， 直线与轴交于，与轴交于， ，， ， 且， ，故 ， 的面积为整数值的三角形个数有15个， 故答案为：15． 12. 对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义运算列出一元二次方程，根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵a*b＝a2+2ab﹣b2， ∴（x+2）*3＝ ∴ 即 ∵m，n是方程（x+2）*3＝0的两根， 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程根与系数的关系，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 13. 五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据大长方形的面积计算出小长方形的面积，由图可知长为宽的3倍，设宽为x，则长为3x，根据长方形的面积公式即可作答． 【详解】解：因为大长方形的面积是135， 所以小长方形的面积是135÷5=27， 设宽为x cm，则长为3x cm， 所以, 即， 所以以小长方形的宽为边长的正方形面积是9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查列方程和等式的性质．在解本题时需注意根据图形可以发现①五个小正方形面积相等且他们面积之和等于大正方形面积；②小长方形的长为宽的3倍．需要注意的是最终只需要算出宽的平方即可． 14. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为边BC上任意一点（不与点B、C重合），AE、BD交于点P，过点P且垂直于AE的一条直线MN分别交AB、CD于点M、N．连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处．AD的中点为F，则P′F的最小值为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】判断△ADG是等腰三角形，点在等腰直角三角形ADG的边GD上，当时，的值最小，求解即可． 【详解】解：如图，若点E点B重合，则点P与B点重合，MN与BC重合，△ABC沿AC折叠，则点与点D重合， 若点E点C重合，则点P为正方形对角线交点，△ADP为等腰直角三角形，沿AD折叠，点落在点G处，则△ADG是等腰直角三角形， 则点P'在DG上运动， ∵AD=2，点F是AD的中点， ∴ 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， 此时是等腰直角三角形， ∴； 故答案为： 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，灵活运用“垂线段最短”是解答此题的关键． 15. 若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是_______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分、两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式求解即可． 【详解】解：当时，． 当时，可得，解得：，符合题意； 当时，可得，解得：，不符合题意； 当时， ，则 ∴． ∵关于x的方程的所有根都是比1小的正实数， ∴，解得：，，解得：，即． 综上可得，实数m的取值范围是或． 故答案为：或． 三．解答题（共8小题） 16. 若，求 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，非负性，已知字母的值求代数式的值，先整理得，则，即，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴ 解得， ∴． 17. 计算：，其中满足方程． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程、分式的化简求值和分式有意义的条件．先利用分式的减法去括号，再计算分式的除法得到化简结果，再解一元二次方程，结合分式有意义的条件得到字母的值，再代入化简结果计算即可． 【详解】解： ． 由方程， 解得． ， ． 当时，原式． 18. 如图，矩形的对角线交于点G，过点B作交的延长线于点E． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）过点D作于F，连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等．掌握矩形的性质是解题的关键． （1）根据两组对边平行，可证四边形为平行四边形； （2）先用勾股定理求出，由矩形对角线相等可得，再由直角三角形斜边中线的性质求解． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ， ， 又， 四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ，， ． 19. 若一个整数能表示成两个正整数m，n的平方和的形式，即，则称这个数是“完美数”．例如：因为，所以20是“完美数”；再比如：（是正整数），所以也是“完美数”． （1）判断58是否是“完美数”，并说明理由； （2）已知（a，b是正整数，k是常数），要使W为“完美数”，试求出k的值； （3）已知 ，求的值． 【答案】（1）58是“完美数”，理由见解析 （2） （3）2 【解析】 【分析】本题考查了新定义，完全平方式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）整理得，结合“完美数”的定义，进行作答即可． （2）先整理得，因为要使W为“完美数”，所以需要是完全平方式，即可作答． （3）因为，得出，得，把数值代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，58是“完美数”，理由如下： 依题意，， ∴58是“完美数”， 【小问2详解】 解： ∵要使W为“完美数”， ∴需要是完全平方式， 即， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 20. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）． （1）当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当时，点B在的垂直平分线上 （2）当时，长度等于 （3）存在，当时，使得的面积等于 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． (1)先求出，，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可； (2)先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； (3)先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ∵B在的垂直平分线上， ， ， 解得， ∴当时，点B在的垂直平分线上； 【小问2详解】 ∵点P从点A开始沿边向终点B以速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得， ， 即 解得，， 舍去 ∴当时，的长度等于； 【小问3详解】 由题意得，， 面积等于， ， ， 化简得 或 舍去， ∴当时，使得的面积等于． 21. 配方法是数学中重要的一种思想方法．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： 【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有 （只填序号）；①11；②34；③39；④60． 【探究问题】（2）若可配方成，为正整数），则的值为 ； （3）已知，是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 【拓展应用】（4）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）②；（2）9；（3）16，理由见解析；（4）2025 【解析】 【分析】本题主要考查了偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），要使为“完美数”，则需为完全平方式，故，据此求解即可； （4），据此求解即可． 【详解】解：（1）由于②， 所以②是完美数， 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：9； （3），理由如下： ， 要使为“完美数”， 则需为完全平方式， 故， 此时，符合“完美数”定义， ； （4）， ， ， ， 当时，的最小值为2025． 22. 江苏是全国首个自然村“村村通宽带”省份．我市某村为了将当地农产品外销，建立了淘宝网店．该网店于今年7月底以每袋25元的成本价收购一批农产品．当商品售价为每袋40元时，8月份销售256袋．9、10月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，10月份的销售量达到400袋．设9、10这两个月月平均增长率不变． （1）求9、10这两个月的月平均增长率； （2）为迎接双“十一”，11月份起，该网店采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该农产品每降价1元/每袋，销售量就增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，该淘宝网店11月份获利4250元？ 【答案】(1)、25%；(2)、5元. 【解析】 【分析】(1)设9、10这两个月的月平均增长率为x，根据题意列出方程，从而求出x的值得出答案；(2)设当每袋降价m元时，根据题意列出方程，求出m的值得出答案. 【详解】(1)设9、10这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得： 256（1+x）2=400，解得：x1=，x2=-（不合题意舍去）． 答：9、10这两个月的月平均增长率为25%； (2)设当每袋降价m元时，根据题意可得：（40-25-m）（400+5m）=4250， 解得：m1=5，m2=-70（不合题意舍去）． 答：当每袋降价5元时，获利4250元 考点：一元二次方程的应用 23. 如图1，是菱形的对角线，E是上一个动点，连接． （1）求证：； （2）如图2，F是直线上一点，连接，且． （ⅰ）求证：； （ⅱ）当时，如图3，延长交的延长线于点G，探索和之间的数量关系并加以证明． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ），证明见解析 【解析】 【分析】对于（1），根据菱形的性质可知，再根据“边角边”证明，可得答案； 对于（2）（ⅰ），延长交于点G，可得，由（1）可知，再根据旋转得，即可得，然后根据三角形外角的性质得； 对于（2）（ⅱ），根据题意可知四边形是正方形，可得，由（2）①可知， 再根据，可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余得，得出，进而得出，可知是线段的垂直平分线，接下来根据线段垂直平分线的性质得，再根据“斜边，直角边”证明，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：（ⅰ）延长交于点G， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 由（1）可知， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴ ； （ⅱ），证明如下： 如图所示，连接， ∵四边形是菱形，且， ∴四边形是正方形， ∴． 由（2）（ⅰ）可知，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省揭阳真理中学2025-2026学年第一学期九年级第一次月考数学模拟卷02 一．选择题（共10小题） 1. 若是方程的根，则的值为（ ） A. 2024 B. 2026 C. 2028 D. 2030 2. 如图是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（　　） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中… 开启新对话 给发送消息 88深度思考（）联网搜索+ A. 1 B. C. D. 1或 3. 如图，菱形的对角线，交于点O，过点D作于点E，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. 48 B. 60 C. 96 D. 192 4. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（ ） A 4 B. 4．8 C. 5．2 D. 6 5. 关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A. B. 1 C. 3 D. 9 6. 如图，正方形的边长为9，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接，下列结论中不正确的是（　　） A. 矩形是正方形 B. C 平分 D. 7. 已知一元二次方程（a≠0）的两根分别为-3，1，则方程（a≠0）的两根分别为（ ） A. 1,5 B. -1,3 C. -3,1 D. -1,5 8. 若点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判定 9. 如图，M是三条角平分线交点，过M作，分别交于D，E两点，设，关于x的方程（） A. 一定有两个相等实根 B. 一定有两个不相等实根 C. 有两个实根，但无法确定是否相等 D. 无实根 10. 如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，给出下列结论：①；②；③；④的面积是．其中正确的结论为（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ①③④ 二．填空题（共5小题） 11. 已知对于任意实数a，关于x的方程总有两个不相等的实数根，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，则的面积为整数值的三角形个数有 _______ 个． 12. 对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则的值为_____． 13. 五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是________. 14. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为边BC上任意一点（不与点B、C重合），AE、BD交于点P，过点P且垂直于AE的一条直线MN分别交AB、CD于点M、N．连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处．AD的中点为F，则P′F的最小值为 ____． 15. 若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是_______． 三．解答题（共8小题） 16. 若，求 17. 计算：，其中满足方程． 18. 如图，矩形的对角线交于点G，过点B作交的延长线于点E． （1）求证：四边形平行四边形； （2）过点D作于F，连接，若，求的长． 19. 若一个整数能表示成两个正整数m，n的平方和的形式，即，则称这个数是“完美数”．例如：因为，所以20是“完美数”；再比如：（是正整数），所以也是“完美数”． （1）判断58是否是“完美数”，并说明理由； （2）已知（a，b是正整数，k是常数），要使W为“完美数”，试求出k值； （3）已知 ，求的值． 20. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）． （1）当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 21. 配方法是数学中重要的一种思想方法．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： 【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有 （只填序号）；①11；②34；③39；④60． 【探究问题】（2）若可配方成，为正整数），则的值为 ； （3）已知，是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 【拓展应用】（4）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 22. 江苏是全国首个自然村“村村通宽带”省份．我市某村为了将当地农产品外销，建立了淘宝网店．该网店于今年7月底以每袋25元的成本价收购一批农产品．当商品售价为每袋40元时，8月份销售256袋．9、10月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，10月份的销售量达到400袋．设9、10这两个月月平均增长率不变． （1）求9、10这两个月的月平均增长率； （2）为迎接双“十一”，11月份起，该网店采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该农产品每降价1元/每袋，销售量就增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，该淘宝网店11月份获利4250元？ 23. 如图1，是菱形的对角线，E是上一个动点，连接． （1）求证：； （2）如图2，F是直线上一点，连接，且． （ⅰ）求证：； （ⅱ）当时，如图3，延长交的延长线于点G，探索和之间的数量关系并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $