精品解析： 山东省淄博市张店区龙凤苑中学2024—2025学年下学期七年级6月月考数学试卷

2024-2025学年山东省淄博市张店区龙凤苑中学七年级（下）月考数学试卷（6月份）（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 有理数与数轴上的点一一对应 B. 若，则 C. 相等的角是对顶角 D. m是实数，点一定在第一象限 2. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 3. 质检人员从编号为的五种不同产品中随机抽取一种进行质量检测，所抽到的产品编号不小于的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 定义新运算“*”，规定．若关于x的不等式的解集为，则 m 的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 5. 如图，已知，直线l与直线a，b分别交于点A，B，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交直线a，b于点D、C，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将长方形纸片沿折叠后点B落在点E处，则下列关于线段与的关系描述正确的是（ ） A. B. 和相互垂直平分 C. 且 D. 且平分 7. 某种商品的进价为200元，商场的标价是300元，后来由于商品积压，商场准备打折销售，为了保证利润率不低于，则该商品最多打几折（　　） A. 9折 B. 8折 C. 7折 D. 6折 8. 关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 10. 如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点D，交于点E，分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F，作射线交于点G；分别以点B，G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于H，J两点，作直线HI分别交于点J，K，连接．下列四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确的是（　　） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①④ D. ②③ 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为________． 12. 已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 _______． 13. 如图，中，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交于点D、E，且，，则的面积是______． 14. 如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣6，1），B（﹣2，1），C（﹣8，3），线段DE的两个端点的坐标分别为D（﹣1，6），E（﹣1，2）．若网格中有一点F，且以D，E，F为顶点的三角形与△ABC全等，则点F的坐标为 ________________． 15. 如图，在中，，点D在边上，点E在内部，且是等边三角形，．若，则的面积为______． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）解二元一次方程组：； （2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 17. 已知关于x，y的方程组的解满足不等式组，求满足条件的m的整数值． 18. 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的12个小球，其中红球4个，黑球8个． （1）进行如下的实验操作：先从袋子中取出个红球后，再从袋子中剩余的球中随机摸出1个球，此时将“第二次摸出的1个球是黑球”记为事件A． ①若事件A是必然事件，则m的值是______； ②若事件A是随机事件，则m的值是_____； （2）从袋子中取出n个红球，再从袋子中剩余的球中随机摸出1个球，若第二次摸到的1个球是黑球的可能性大小是，求n的值． 19. 如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． （1）证明：平分； （2）若，，，且，求的面积． 20. 已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点． （1）求 a，b的值； （2）方程组的解为 ；不等式的解集为 ； （3）在的图象上是否存在点P，使得的面积比的面积少？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图，三幅图都是由一副三角板拼凑得到的： （1）图1中的的度数为______； （2）图2中已知，则的度数为______； （3）若等腰直角三角板的斜边与含角的直角三角板的长直角边相等．如图3，当两个直角三角板的顶点A与F重合，斜边、重合在一起时，连接． ①求证：是等腰三角形； ②若，求线段的长． 22. 芯片是制造汽车不可或缺的零件，某芯片厂制造的两种型号芯片的成本和批发价如表所示： 价格 型号 成本（万元/万件） 批发价（万元/万件） A 30 34 B 35 40 该厂制造A，B两种型号芯片若干件成本为320万元，制造后立刻被汽车厂抢购一空，经会计核算后共盈利44万元 （1）芯片厂制造A，B两种型号芯片各多少万件？ （2）由于芯片畅销，该厂计划再制造A，B两种型号芯片共30万件，其中B种型号芯片的数量不多于A种型号芯片数量的2倍，那么该厂制造两种型号芯片各多少件时会获得最大利润，最大利润是多少？ 23. 如图①，直线：经过点，且与直线：交于点． （1）求直线的表达式； （2）由图象直接写出关于x的不等式的解集； （3）如图②所示，P为x轴上A点右侧任意一点，以为边作等腰，其中，直线交y轴于点Q．当点P在x轴上运动时，线段的长度是否发生变化？若不变，求出线段的长度；若变化，求线段的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省淄博市张店区龙凤苑中学七年级（下）月考数学试卷（6月份）（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 有理数与数轴上的点一一对应 B. 若，则 C. 相等的角是对顶角 D. m是实数，点一定在第一象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值的概念、数轴、对顶角的概念、点的坐标判断即可； 【详解】解：A、实数与数轴上的点一一对应，故本选项说法是假命题，不符合题意； B、若，则a不一定大于b，故本选项说法是假命题，不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法是假命题，不符合题意； D、m是实数，，点一定在第一象限，是真命题，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题；判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 2. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵ ∴， 故A不符合题意； B、∵， ∴， 故B不符合题意； C、∵， ∴， ∴， 故C符合题意； D、∵，， ∴， 即D选项没说明，故D不符合题意； 故选：C． 3. 质检人员从编号为的五种不同产品中随机抽取一种进行质量检测，所抽到的产品编号不小于的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据五个编号中不小于的两个数是，再利用概率的计算公式即可解答． 【详解】解：∵五个编号中不小于的两个数是， ∴五个编号中不小于的概率为， 故选． 【点睛】本题考查了概率的定义，概率的计算公式，理解概率的定义是解题的关键． 4. 定义新运算“*”，规定．若关于x的不等式的解集为，则 m 的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查新定义、解一元一次不等式、解一元一次方程，先根据新定义可得，解不等式得，从而可得，再解方程即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 解得， ∵不等式的解集为， ∴， 解得， 故选：B． 5. 如图，已知，直线l与直线a，b分别交于点A，B，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交直线a，b于点D、C，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查尺规作图−垂直平分线、三角形内角和定理、平行线的性质，由题意得，是直线l的垂直平分线，可得，根据三角形内角和定理求得，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：由题意得，是直线l的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 如图，将长方形纸片沿折叠后点B落在点E处，则下列关于线段与的关系描述正确的是（ ） A. B. 和相互垂直平分 C. 且 D. 且平分 【答案】D 【解析】 【分析】只要证明是线段的垂直平分线即可解决问题． 【详解】解：是由翻折得到， ，， ，平分， 故选：D． 【点睛】本题考查翻折变换、线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的判定，属于基础题，中考常考题型． 7. 某种商品的进价为200元，商场的标价是300元，后来由于商品积压，商场准备打折销售，为了保证利润率不低于，则该商品最多打几折（　　） A. 9折 B. 8折 C. 7折 D. 6折 【答案】C 【解析】 【分析】设该商品打x折，由题意得：，计算求解即可． 【详解】解：设该商品打x折， 由题意得：， 解得：， ∴该商品最多可打7折． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用．解题的关键在于根据题意正确的列不等式． 8. 关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】分别对两个不等式进行求解，得到不等式组的解集为，根据不等式组有且只有三个整数解的条件计算出的最大值． 【详解】解不等式， ， ∴， ∴， 解不等式， 得， ∴， ∴的解集为， ∵不等式组有且只有三个整数解， ∴不等式组的整数解应为：2，3，4， ∴, ∴的最大值应为5 故选：C． 【点睛】本题考查不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握不等式组的相关知识． 9. 在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意画出数轴，然后根据数轴上的两点距离可进行求解． 【详解】解：如图，由可得：点、、分别表示数、2、，． 的几何意义是线段与的长度之和， 当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，． 取得最小值时，的取值范围是； 故选C． 【点睛】本题主要考查数轴上的两点距离，解题的关键是利用数形结合思想进行求解． 10. 如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点D，交于点E，分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F，作射线交于点G；分别以点B，G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于H，J两点，作直线HI分别交于点J，K，连接．下列四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确的是（　　） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】由作图方法可知，是线段的垂直平分线，则，根据等边对等角推出，据此可判断①；根据等边对等角得到，则，再由三角形外角的性质得到，据此利用三角形内角和定理求出，即可判断②；先证明是等边三角形，进而证明是等边三角形，则，即可判断③；过G作于P：则，由角平分线的性质得到，则，即可判断④． 【详解】解：由作图可知，，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 若，则， 设，则， ∴， ∵∠， ∴， 解得， ∴，故②正确； 当时，是等边三角形， ∴， ∴，，即， ∴， ∴是等边三角形， ∴，故③正确； 当时，过G作于P，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④错误； ∴正确的有①②③； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质和尺规作图，线段垂直平分线的性质与尺规作图等等，熟知相关知识是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】将代入原二元一次方程，得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值． 【详解】解：是关于，的二元一次方程的一个解， ， 解得：， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解以及解一元一次方程，理解并掌握二元一次方程的解的定义是解题关键． 12. 已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据方程组的解集的情况求参数的范围，求不等式组的解集，根据方程组的解集的情况，得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：， 得：，即， 得：， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 13. 如图，中，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交于点D、E，且，，则的面积是______． 【答案】18 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，，判定出，再求出，设，在中，利用勾股定理求出，再利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴，即， ∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴，即， 设，则， 在中，， 即， 解得：，即， ∴的面积是， 故答案为：18． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积计算，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 14. 如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣6，1），B（﹣2，1），C（﹣8，3），线段DE的两个端点的坐标分别为D（﹣1，6），E（﹣1，2）．若网格中有一点F，且以D，E，F为顶点的三角形与△ABC全等，则点F的坐标为 ________________． 【答案】（﹣3，8）或（﹣3，0） 【解析】 【分析】分第三个顶点在点E下方和上方两种情形求解即可． 【详解】∵A（﹣6，1），B（﹣2，1），C（﹣8，3）， ∴AB＝﹣2+6＝4， ∵D（﹣1，6），E（﹣1，2）， ∴DE＝6﹣2＝4， ∴DE＝AB， 设第三顶点为F, ∵D，E，F为顶点的三角形与△ABC全等，则分两种情况： ①如果△DEF≌ABC，DF＝AC， 所以点F的坐标为（﹣3，8）； ， ②如果△DEF≌BAC，那么EF＝AC， 所以点F的坐标为（﹣3，0）； 综上所述，点F的坐标为（﹣3，8）或（﹣3，0）． 故答案为：（﹣3，8）或（﹣3，0）． 【点睛】本题考查了三角形的全等，坐标的确定，分类思想，熟练掌握三角形全等性质，坐标的定义是解题的关键． 15. 如图，在中，，点D在边上，点E在内部，且是等边三角形，．若，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：以点A为顶点，为一边作，交的延长线于点F，在中，设，则、，证明得，则，进而得，则，由此得，继而得，，然后由三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：以点A为顶点，为一边作，交的延长线于点F， 在中，， ∴， 在中，设， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴，， ∴的面积为：． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）解二元一次方程组：； （2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）； （2）无解， 把不等式组的解集在数轴上表示出来，如下： 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集： （1）先整理，再用加减消元法解答，即可求解； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） 整理得：， 由得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组无解． 17. 已知关于x，y的方程组的解满足不等式组，求满足条件的m的整数值． 【答案】m的整数值为， 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解不等式组，关键是注意观察，找出解决问题的方法． 首先把两个方程相加，再把两个方程相减，然后可得，再解不等式组可得m的取值范围，进而可得m的整数值． 【详解】解：， 得：， 得：， ∵， ∴， 解不等式组得：， ∴m的整数值为，． 18. 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的12个小球，其中红球4个，黑球8个． （1）进行如下的实验操作：先从袋子中取出个红球后，再从袋子中剩余的球中随机摸出1个球，此时将“第二次摸出的1个球是黑球”记为事件A． ①若事件A是必然事件，则m的值是______； ②若事件A是随机事件，则m的值是_____； （2）从袋子中取出n个红球，再从袋子中剩余的球中随机摸出1个球，若第二次摸到的1个球是黑球的可能性大小是，求n的值． 【答案】（1）4；2或3 （2）2 【解析】 【分析】本题考查了必然事件与随机事件，概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率． （1）当袋子中全部为黑球时，摸出黑球才是必然事件，否则就是随机事件； （2）利用概率公式列出方程，求得m的值即可． 【小问1详解】 解：①若事件A是必然事件，则袋子中剩余的球都是黑球， ∴； ②若事件A是随机事件，则袋子中剩余的球有黑球也有红球， ∴m的值是2或3； 故答案为：4；2或3； 【小问2详解】 解：依题意，得，解得， 经检验是原方程的解， ∴n的值为2． 19. 如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． （1）证明：平分； （2）若，，，且，求的面积． 【答案】（1） 证明：过点作于于， 平分， ， ， ， ， ， 平分； （2）32 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，且， ， ， ， ， 的面积为32． 20. 已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点． （1）求 a，b的值； （2）方程组的解为 ；不等式的解集为 ； （3）在的图象上是否存在点P，使得的面积比的面积少？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）； （3）存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与二元一次方程组、不等式的关系，三角形的面积，明确函数与方程组的关系是解题的关键． （1）把分别代入和即可求得、的值； （2）根据两函数的交点坐标，即可求得方程组的解；通过图象点坐标，直接得到答案； （3）求得、的坐标，设点的坐标为，作轴于点，轴于点，根据的面积为，三角形面积公式得到的面积为，设边上的高为h，得，可求得，当点P在第一象限时，点P纵坐标为2，当点P在第三象限时，点P纵坐标为，从而可求得点P坐标． 【小问1详解】 解：由题知，点在的图象上， 所以， 所以点的坐标为， 因为点在的上， 所以， 所以． 【小问2详解】 解：一次函数的图象与正比例函数的图象交于点， 方程组的解为； 由图象可知，的解答为：； 故答案为：；． 【小问3详解】 解：存在，理由： 由（1）得：一次函数的表达式为：，点的坐标为， 当时，， ∴， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴的面积为：， ∴的面积为：， 设边上的高为h， ∴， ∴， 解得：， 当点P在第一象限时，点P纵坐标为2， ∴ 解得：， ∴； 当点P在第三象限时，点P纵坐标为， ∴ 解得：， ∴； 综上，存在，点P的坐标为或． 21. 生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图，三幅图都是由一副三角板拼凑得到的： （1）图1中的的度数为______； （2）图2中已知，则的度数为______； （3）若等腰直角三角板的斜边与含角的直角三角板的长直角边相等．如图3，当两个直角三角板的顶点A与F重合，斜边、重合在一起时，连接． ①求证：是等腰三角形； ②若，求线段的长． 【答案】（1） （2） （3） ①证明：由题意，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ② 【解析】 【分析】（1）根据三角板的各角度数以及三角形的内角和定理求解即可； （2）根据平行线的性质和三角形的外角性质，结合三角板各角度数求解即可； （3）①根据等腰三角形的性质求得，再根据三角形的外角和性质得到，则，根据等腰三角形的判定可证得结论； ②利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，，， ∴； 【小问2详解】 解：由题意，， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①略 ②∵，，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理以及外角性质、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角板各角度数有关的计算等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 22. 芯片是制造汽车不可或缺的零件，某芯片厂制造的两种型号芯片的成本和批发价如表所示： 价格 型号 成本（万元/万件） 批发价（万元/万件） A 30 34 B 35 40 该厂制造A，B两种型号芯片若干件成本为320万元，制造后立刻被汽车厂抢购一空，经会计核算后共盈利44万元 （1）芯片厂制造A，B两种型号芯片各多少万件？ （2）由于芯片畅销，该厂计划再制造A，B两种型号芯片共30万件，其中B种型号芯片的数量不多于A种型号芯片数量的2倍，那么该厂制造两种型号芯片各多少件时会获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）芯片厂制造A种型号芯片6万件，制造B两种型号芯片4万件 （2）制造A型芯片10万件，B型芯片20万件，最大利润是140万元 【解析】 【分析】（1）设芯片厂制造A种型号芯片x万件，制造B两种型号芯片y万件，根据题意得：，可解得芯片厂制造A种型号芯片6万件，制造B两种型号芯片4万件； （2）设制造这批芯片获得利润为w万元，制造A种型号芯片m万件，则制造B种芯片万件，根据B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的2倍，得，解得，而，由一次函数性质可得答案． 【小问1详解】 设芯片厂制造A种型号芯片x万件，制造B两种型号芯片y万件， 根据题意得：， 解得， 答：芯片厂制造A种型号芯片6万件，制造B两种型号芯片4万件； 【小问2详解】 设制造这批芯片获得利润为w万元，制造A种型号芯片m万件， ∵B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的2倍， ∴， 解得， 根据题意得， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴时，w取最大值， 此时， 答：制造A型芯片10万件，B型芯片20万件，最大利润是140万元． 【点睛】本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组及函数关系式． 23. 如图①，直线：经过点，且与直线：交于点． （1）求直线的表达式； （2）由图象直接写出关于x的不等式的解集； （3）如图②所示，P为x轴上A点右侧任意一点，以为边作等腰，其中，直线交y轴于点Q．当点P在x轴上运动时，线段的长度是否发生变化？若不变，求出线段的长度；若变化，求线段的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）线段的长度不变，． 【解析】 【分析】本题主要考查了定系数法、一元一次不等式与一次函数的关系、等腰直角三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． （1）将，代入，求出，再用待定系数法可得直线的表达式即可； （2）求出的解，观察图象可得的解集为； （3）如图：过M作轴于N，求出，证明有、可得，是等腰直角三角形，即知，是等腰直角三角形，从而，线段的长度不变． 【小问1详解】 解：将点代入，得． 将代入，得． ∴C的坐标为． 把代入可得，解得： 所以，直线的表达式为． 【小问2详解】 解：由，解得：， ∴与交点的横坐标为4， 观察图象可得，：关于的不等式的解集为：． 【小问3详解】 解：线段的长度不变，． 如图：过M作轴于N，     ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，． ∴． ∴、． ∵直线的表达式为． ∴，即． ∵， ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $