精品解析：甘肃省武威市凉州区南园学校　2025-2026学年上学期九年级数学开学检测试卷

2025-2026学年第一学期九年级数学开学检测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】A、原式不能合并，错误； B．原式合并得到结果，即可做出判断； C、原式利用二次根式乘法法则计算得到结果，即可做出判断； D、原式分母有理化得到结果，即可做出判断 【详解】A. 原式不能合并，错误； B. 原式=，错误； C. 原式=，正确； D. 原式=，错误， 故选C 【点睛】此题考查二次根式的加减法，二次根式的乘除法，解题关键在于掌握运算法则. 2. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. ，2， D. ，2， 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项分析判断即可． 【详解】A. 32+42=52故能构成直角三角形，不符合题意； B. 52+122=132 故能构成直角三角形，不符合题意； C. （）2+（2）2=7≠（）2故不能构成直角三角形，符合题意； D. 故能构成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 3. 如图为一次函数的图象，则一次函数的图象大致是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的分布，先确定；再确定，判定图象分布在第一，第二，第四象限，解答即可． 【详解】根据题意，得； 故， 故一次函数图象分布在第一，第二，第四象限． 故选D． 4. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别．一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐一判断，即得． 【详解】解：A．中含有分式，不是一元二次方程； B．，整理后得，是一元二次方程； C．中当时，不是一元二次方程； D．是多项式，不是一元二次方程； 故选B． 5. 某学习小组7位同学，为玉树地重灾区捐款，捐款金额分别为：5元，10元，6元，6元，7元，8元，9元，则这组数据的中位数与众数分别为（　　） A. 6，6 B. 7，6 C. 7，8 D. 6，8 【答案】B 【解析】 【分析】首先把所给数据按从小到大的顺序重新排序，然后利用中位数和众数的定义就可以求出结果． 【详解】解：把已知数据按从小到大的顺序排序后为5元，6元，6元，7元，8元，9元，10元， ∴中位数为7 ∵6这个数据出现次数最多， ∴众数为6． 故选B． 【点睛】本题结合众数与中位数考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．众数只要找次数最多的即可． 6. 若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据形如，这样的函数叫做二次函数，得到，求解即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， ∴， 故选：B． 7. 四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO＝20°，则∠CAD的度数是（）. A. 25° B. 20° C. 30° D. 40° 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB=OD，AC⊥BD， ∵DH⊥AB， ∴OH=OB=BD， ∵∠DHO=20°， ∴∠OHB=90°-∠DHO=70°， ∴∠ABD=∠OHB=70°， ∴∠CAD=∠CAB=90°-∠ABD=20°． 故选：B． 8. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D． 9. 某校八年级学生乘车前往某实践基地参加劳动实践，而后乘车返回学校，学生与学校的距离与所用时间的对应关系如图所示，以下说法正确的是（ ） A. 从学校前往基地的平均速度为 B. 学生劳动了3.5小时 C. 从实践基地返回学校的平均速度为 D. 从学校出发小时后，距离学校100千米 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，从学校前往基地花费1.5小时，路程为，回家时花费2小时，路程为，根据速度=路程÷时间可判断A、C；在出发1.5小时后到达实践基地，在出发6小时后离开实践基地，据此可判断B；根据选项A的速度乘以时间，据此可判断D． 【详解】A． 从学校前往基地的平均速度为，原说法错误，不符合题意； B． 学生劳动了小时，原说法错误，不符合题意； C． 从实践基地返回学校的平均速度为，原说法正确，符合题意； D． 从学校出发小时后，距离学校，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 10. 如图，已知矩形中，分别是上的点，、分别是、的中点，当在上从向移动而不动时，那么下列结论成立的是（ ） A. 线段的长逐渐增大 B. 线段的长逐渐减小 C. 线段的长不改变 D. 线段的长不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，连接．由三角形中位线定理得出，即可得出答案，熟练掌握三角形中位线定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接． ∵、分别是、的中点，， ∴为的中位线， ∴． ∵不动， ∴的长度不变， ∴线段的长不改变． 故选：C． 二．填空题（每小题3分，共24分） 11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式和分式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分母不为零，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ， 解得：且． 故答案为：且． 12. 抛物线的顶点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，直接根据抛物线顶点式得到顶点坐标即可． 【详解】解：由顶点式特征可知：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 13. 用配方法解一元二次方程时，需将方程配方化成的形式，一元二次方程用配方法解时化成该形式是______________． 【答案】 【解析】 【分析】首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式，然后开方求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 14. 近日，生态环境部公布第六批“绿水青山就是金山银山”实践创新基地名单，山西省6个县入选国家生态文明建设示范区，为了响应对环境保护的号召，某校要从报名的甲、乙、丙三人中选取一人去参加太原市举办的环保演讲比赛，经过两轮初赛后，甲、乙、丙三人的平均成绩都是90，方差分别是，，．你认为__________参加决赛比较合适． 【答案】甲 【解析】 【分析】根据方差越小，成绩越稳定即可判断． 【详解】解：∵，，，且， 甲的成绩最稳定， 甲参加决赛比较合适， 故答案为：甲． 【点睛】本题主要考查方差的意义，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 15. 如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，先利用待定系数法求出的值，进而得到点的坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案，掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴关于，的方程组的解为， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，对角线、交于点O，直线过点O，且分别交边、于点E、F．若矩形的面积是10，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】2.5 【解析】 【分析】只要证明，可得，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在与中 ∴， ， ∴， 故答案为：2.5． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，证得是解决本题的关键． 17. 如图，在正方形网格中，A，B，C，P是网格线的交点，且点P在的边上，则_______° 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理逆定理，熟练运用勾股定理逆定理是解题的关键． 根据勾股定理求出，，，则，，根据勾股定理逆定理推出是直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质求出，再根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：根据题意得，，，，，， ，， 是直角三角形，， ， ， ， 故答案为：． 18. 观察以下各式： ，，，利用以上规律计算：____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，平方差公式，根据进行分母有理化，再利用平方差公式求解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式的除法和乘法，再计算加减； （2）先计算二次根式的乘法，化简二次根式和绝对值，再计算加减． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先分解因式，可得到两个一元一次方程，再求解； （2）先去括号移项，再根据方程的形式选择适当方法求解． 【小问1详解】 解： ， ， 【小问2详解】 解： 【点睛】本题考查了一元二次方程的求解，掌握不同的求解方法是解题的关键． 21. 设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根与系数的关系可得，再由即可得到答案； （2）根据根与系数的关系可得，再由即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵是方程的两个根， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵是方程的两个根， ∴， ∴ ． 22. 已知：如图，四边形，，，，，且，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及逆定理，连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ，， ， 是直角三角形，， ． 23. 2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下： 抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分） 6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10． 八年级教师竞赛成绩扇形统计图 七、八年级教师竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8.5 8.5 中位数 9 众数 8 优秀率 45% 55% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，_________； （2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数； （3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异． 【答案】（1）8；9；（2）102； （3）八年级教师更优异，因为八年级教师成绩的中位数高于七年级教师成绩的中位数．（不唯一，符合题意即可） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义分别求解即可； （2）先求出被调查的20人中成绩到达8分以上的人数，求出占比，再用120乘该比例即可； （3）根据平均数，中位数，众数等对应的实际意义进行判断即可． 【详解】（1）题干中七年级的成绩已经从小到达排列， ∴七年级的中位数为； 扇形统计图中，D的占比更多，D代表得分为9分的人数， ∴八年级的众数为； 故答案为：8；9； （2）由题可知，七年被抽查的20名教师成绩中，8分及以上的人数为17人， ∴（人）， ∴该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数为102人； （3）略 【点睛】本题考查数据分析，理解中位数，众数等的定义与求法，熟练运用中位数和众数做决策是解题关键． 24. 如图，已知：在四边形中，的垂直平分线交于点D，交于点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）当是满足什么条件时，四边形是正方形，说明理由． 【答案】（1） 证明：垂直平分， ，， ， ∵ ， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形； （2） 解：当时，四边形是正方形，理由如下： ∵四边形是菱形， 则， ，， ∴ ， 菱形是正方形． 即当时，四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，平行线的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，平行线的性质得出三角形全等的条件，进而得出，进而求解即可； （2）根据有一个角是直角的菱形为正方形求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若菱形的边长为4，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质得到，先判断四边形为平行四边形，再判断矩形； （2）分别求出和，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：四边形为矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了菱形的性质和矩形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等，解题关键是牢记它们的概念与性质． 26. 年北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进、两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如表：注：利润销售价进货价 类别 价格 款钥匙扣 款钥匙扣 进货价元件 销售价元件 （1）网店第一次用元购进、两款钥匙扣共件，求两款钥匙扣分别购进的件数； （2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进、两款冰墩墩钥匙扣共件进货价和销售价都不变，且进货总价不高于元应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【答案】（1）购进款钥匙扣件，款钥匙扣件； （2）当购进件款钥匙扣，购进件款钥匙扣时，获得最大利润，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件，列出二元一次方程组求解即可． （2）设购进件款钥匙扣，总利润为元，先求出的范围，再列出关于的函数关系式，确定最值即可得结论． 【小问1详解】 解：设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件， 由题意得，， 解得， 答：购进款钥匙扣件，款钥匙扣件． 【小问2详解】 解：设购进件款钥匙扣，则购进件款钥匙扣， 则， 解得． 设再次购进后获得的总利润为元， 则． ， 随的增大而增大， 当时，， 此时． 答：当购进件款钥匙扣，购进件款钥匙扣时，获得最大利润，最大利润为元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组以及一次函数的应用，读懂题意列出方程组，函数关系式并确定最值是解题关键 27. 如图，直线的函数解析式为，且与轴交于点，直线经过点、，直线交于点C． （1）求直线的函数解析式； （2）求的面积； （3）在直线上是否存在点P，使得面积是面积的倍？如果存在，请求出坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点或 【解析】 【分析】（1）设直线的函数解析式为，将、代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）联立两直线解析式组成方程组，得出点的坐标为．根据当时，，得出点的坐标为，进而根据三角形面积公式即可求解； （3）根据题意得出，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设直线的函数解析式为， 将、代入， ，解得：， 直线的函数解析式为． 【小问2详解】 联立两直线解析式组成方程组， ，解得：， 点的坐标为． 当时，， 点的坐标为． ． 【小问3详解】 假设存在． 面积是面积的倍， ， 当时，， 此时点的坐标为； 当时，， 此时点的坐标为． 综上所述：在直线上存在点或，使得面积是面积的倍． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求两直线交点坐标，直线围成的三角形面积，数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级数学开学检测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. ，2， D. ，2， 3. 如图为一次函数的图象，则一次函数的图象大致是 ( ) A. B. C. D. 4. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 某学习小组7位同学，为玉树地重灾区捐款，捐款金额分别为：5元，10元，6元，6元，7元，8元，9元，则这组数据的中位数与众数分别为（　　） A. 6，6 B. 7，6 C. 7，8 D. 6，8 6. 若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO＝20°，则∠CAD的度数是（）. A. 25° B. 20° C. 30° D. 40° 8. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 9. 某校八年级学生乘车前往某实践基地参加劳动实践，而后乘车返回学校，学生与学校的距离与所用时间的对应关系如图所示，以下说法正确的是（ ） A. 从学校前往基地的平均速度为 B. 学生劳动了3.5小时 C. 从实践基地返回学校的平均速度为 D. 从学校出发小时后，距离学校100千米 10. 如图，已知矩形中，分别是上的点，、分别是、的中点，当在上从向移动而不动时，那么下列结论成立的是（ ） A. 线段的长逐渐增大 B. 线段的长逐渐减小 C. 线段的长不改变 D. 线段的长不能确定 二．填空题（每小题3分，共24分） 11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 12. 抛物线的顶点坐标为__________． 13. 用配方法解一元二次方程时，需将方程配方化成的形式，一元二次方程用配方法解时化成该形式是______________． 14. 近日，生态环境部公布第六批“绿水青山就是金山银山”实践创新基地名单，山西省6个县入选国家生态文明建设示范区，为了响应对环境保护的号召，某校要从报名的甲、乙、丙三人中选取一人去参加太原市举办的环保演讲比赛，经过两轮初赛后，甲、乙、丙三人的平均成绩都是90，方差分别是，，．你认为__________参加决赛比较合适． 15. 如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为______． 16. 如图，在矩形中，对角线、交于点O，直线过点O，且分别交边、于点E、F．若矩形的面积是10，则图中阴影部分的面积是______． 17. 如图，在正方形网格中，A，B，C，P是网格线的交点，且点P在的边上，则_______° 18. 观察以下各式： ，，，利用以上规律计算：____． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1） （2） 21. 设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． （1） （2） 22. 已知：如图，四边形，，，，，且，求四边形的面积． 23. 2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下： 抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分） 6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10． 八年级教师竞赛成绩扇形统计图 七、八年级教师竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8.5 8.5 中位数 9 众数 8 优秀率 45% 55% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，_________； （2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数； （3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异． 24. 如图，已知：在四边形中，的垂直平分线交于点D，交于点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）当是满足什么条件时，四边形是正方形，说明理由． 25. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若菱形的边长为4，，求的长． 26. 年北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进、两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如表：注：利润销售价进货价 类别 价格 款钥匙扣 款钥匙扣 进货价元件 销售价元件 （1）网店第一次用元购进、两款钥匙扣共件，求两款钥匙扣分别购进的件数； （2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进、两款冰墩墩钥匙扣共件进货价和销售价都不变，且进货总价不高于元应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 27. 如图，直线的函数解析式为，且与轴交于点，直线经过点、，直线交于点C． （1）求直线的函数解析式； （2）求的面积； （3）在直线上是否存在点P，使得面积是面积的倍？如果存在，请求出坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $