第二十一章 一元二次方程 单元复习（精选易错题）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程 单元复习（精选易错题）-2025-2026学年人教版数学九年级上册 一、选择题 1．方程 的解是(　　) A． B． C． D． 2．直角三角形两直角边和为7，面积为6，则较长的直角边长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．关于x的方程( 有实数根，则整数a 的最大值是(　　). A．6 B．7 C．8 D．9 4．关于x的方程（x+1）2﹣3（x+1）＝2的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 5．设a，b是方程x2+x﹣2019=0的两个实数根，则a+b+ab的值为（　　） A．2018 B．-2018 C．2020 D．-2020 6．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k<5 B．k<5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k>5 7． 已知a，b，c为常数， 且满足， 则关于x的方程的根的情况是（　　）. A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为0 8．如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x2﹣5x+4=0的两根，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．6 B．9 C．6或9 D．以上都不正确 9．关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0有两个实数根x1＝1，x2＝n，则代数式（m+n）2020的值为（　　） A．1 B．0 C．32020 D．72020 10．其居民为了减少外出，常使用手机软件在线上买菜，某买菜手机软件2020年1月的新注册用户人数为200万，3月的新注册用户人数为338万，则2、3两个月新注册用户人数每月的平均增长率是 (　　) A．10% B．15% C．23% D．30% 二、填空题 11．若关于x的一元二次方程的一个根为-1，则　 　． 12．有整数解，则整数n的值为　 　． 13．关于x的方程 有实数根，那么实数 的取值范围是　 　． 14．若一元二次方程 的两根为x1，x2，则x1（1−x2）+x2的值是　 　． 15．已知方程x2﹣2x﹣1=0的两根为m和n，则代数式m3﹣2m2﹣n+ ﹣mn2=　 　． 16．某种型号的电视机经过两次降价，价格从原来每台 元降为每台 元，则平均每次下降的百分率是　 　． 17．设关于x的方程的两个实数根分别为，，若，那么实数m的取值是　 　． 三、解答题 18．解方程： （1）； （2）． 19．已知m和n是方程3x2﹣8x+4=0的两根，求+ 20．以下是小数同学解方程x（x-1）=2（x-1）的过程。 解：方程两边同除以（x-1），得x=2。 根据小数的解题过程，回答下列问题： （1）小π同学认为小数的解题过程有错，请帮小数找出错误原因。 （2）请你写出正确的解答过程。 21．关于 的方程 有实数根，且 为正整数，求 的值． 22．小慧用因式分解法解一元二次方程2x（2x-1）＝3（2x-1）时，她的做法如下： 方程两边同时除以（2x-1），得2x＝3，（第一步） 系数化为1，得．（第二步） （1）小慧的解法是不正确的，她从第 　 　步开始出现了错误． （2）请用小慧的方法完成这个题的解题过程． 23．某商店将每件进价40元某商品按每件52元出售，一天可售出180件，经市场调查，发现每降价1元，每天销售量可增加10件，若想每天获利2000元，同时尽快减少库存．则这种商品售价降低多少元？ 24．如图，要设计一副宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，如果要使彩条所占面积是图案面积的 ，应如何设计彩条的宽度？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一元二次方程 单元复习（精选易错题）-2025-2026学年人教版数学九年级上册 一、选择题 1．方程 的解是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解： ∵ ∴x=±3， ∴ 故答案为：D. 【分析】利用直接开平方法求解该方程即可. 2．直角三角形两直角边和为7，面积为6，则较长的直角边长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】解答：设直角三角形一直角边长为x，则另一直角边长为7-x，根据题意，得 x（7-x）=6， 解得x=3或x=4， 所以较长的直角边长为4． 故选：B． 分析：设直角三角形一直角边长为x，则另一直角边长为7-x，利用直角三角形的面积公式，由面积为6作为相等关系列方程求得x的值，进而确定较长的直角边长． 3．关于x的方程( 有实数根，则整数a 的最大值是(　　). A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】【解答】解：当a-6=0，即a=6时，方程是-8x-6=0，解得； 当a-6≠0，即a≠6时，Δ=(-8)2-4(a-6)×6=208-24a≥0， 解上式，得 取最大整数，即a=8， 故答案为：C. 【分析】两种情况进行讨论，当不是一元二次方程时，a-6=0，即a=6；当是一元二次方程时，有实数根，则Δ≥0，求出a的取值范围，取最大整数即可. 4．关于x的方程（x+1）2﹣3（x+1）＝2的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】C 【解析】【解答】解：方程（x+1）2﹣3（x+1）＝2化为一般形式为：x2﹣x﹣4＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0， ∴有两个不相等的实数根． 故答案为：C． 【分析】先将方程化为一般式，再利用根的判别式求解即可。 5．设a，b是方程x2+x﹣2019=0的两个实数根，则a+b+ab的值为（　　） A．2018 B．-2018 C．2020 D．-2020 【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意得a+b=-1，ab=-2019， 所以a+b+ab=-1-2019=-2020． 故答案为：D． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得a+b=-1，ab=-2019，然后整体代入计算即可. 6．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k<5 B．k<5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k>5 【答案】B 【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程方程 有两个不相等的实数根，∴ ，即 ，解得：k＜5且k≠1． 故答案为：B． 【分析】根据医院二次方程定义可知二次项系数不为0，方程有两个不相等实数根，所以Δ>0，解所联立的不等式即可求得k的取值范围. 7． 已知a，b，c为常数， 且满足， 则关于x的方程的根的情况是（　　）. A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为0 【答案】B 【解析】【解答】解：∵(a-c)2=a2+c2-2ac>a2+c2， ∴ac<0， ∴a≠0. 在方程ax2+bx+c=0中，Δ=b2-4ac>0， ∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根， 故答案为：B. 【分析】将题目中的不等式进行化简，得出关于a和c的关系，然后利用根的判别式来判断方程的根的情况. 8．如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x2﹣5x+4=0的两根，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．6 B．9 C．6或9 D．以上都不正确 【答案】B 【解析】【解答】解：解方程x2﹣5x+4=0得： x1=4，x2=1， 根据三角形的三边关系定理等腰三角形的三边只能为4、4、1， ∴等腰三角形的周长是4+4+1=9， 即等腰三角形的周长是9， 故选B． 【分析】求出方程的解，根据三角形的三边关系定理等腰三角形的三边只能是4、4、1，求出周长即可． 9．关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0有两个实数根x1＝1，x2＝n，则代数式（m+n）2020的值为（　　） A．1 B．0 C．32020 D．72020 【答案】A 【解析】【解答】解：由题意得：a=1，b=m，c=3 ∵ ∴1+n=-m ∴m+n=-1 ∴（m+n）2020 =1 故答案为：A. 【分析】根据方程，找出a，b，c的值，由韦达定理，，得出结果. 10．其居民为了减少外出，常使用手机软件在线上买菜，某买菜手机软件2020年1月的新注册用户人数为200万，3月的新注册用户人数为338万，则2、3两个月新注册用户人数每月的平均增长率是 (　　) A．10% B．15% C．23% D．30% 【答案】D 【解析】【解答】解：设每月的平均增长率为x，则由题意得 200(x+1)2=338，解得x1=30%，x2=-2.3(舍去) 故答案为：D. 【分析】设平均增长率为x，由题意列出一元二次方程，求解方程即可得结果. 二、填空题 11．若关于x的一元二次方程的一个根为-1，则　 　． 【答案】3 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：3． 【分析】将代入原方程即可解出a的值． 12．有整数解，则整数n的值为　 　． 【答案】4或 【解析】【解答】解：由得， 由题意可知，x、n都是整数， 是整数，也是整数， 是无理数， ∴且=0 ∴， ，， 故答案为：4或． 【分析】先将方程转化为的形式，由于x、n都是整数，则且=0，即可解答. 13．关于x的方程 有实数根，那么实数 的取值范围是　 　． 【答案】 【解析】【解答】∵方程2x2+3x-m=0有实数根， ∴△=9-4×3（-m）≥0， 解得m≥- . 故答案是： . 【分析】方程有实数根，则根的判别式大于等于0，据此列不等式求解. 14．若一元二次方程 的两根为x1，x2，则x1（1−x2）+x2的值是　 　． 【答案】2 【解析】【解答】解： 中，a=2，b=-1，c=-3， ， x1（1−x2）+x2= = ， 故答案为：2． 【分析】由给出的方程确定出a、b、c的值，再根据根与系数的关系，代数计算即可。 15．已知方程x2﹣2x﹣1=0的两根为m和n，则代数式m3﹣2m2﹣n+ ﹣mn2=　 　． 【答案】0 【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2﹣2x﹣1=0的根， ∴m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，mn=﹣1， ∴m2﹣2m=1，n2﹣1=2n， ∴m3﹣2m2﹣﹣n+ ﹣mn2=m（m2﹣2m）﹣ ﹣mn2=m﹣ ﹣mn2=m﹣mn2﹣2=m（1﹣n2）﹣2=﹣2mn﹣2=﹣2×（﹣1）﹣2=0． 故答案为：0． 【分析】先根据m、n是方程x2﹣2x﹣1=0的根，得出m2﹣2m=1，n2﹣1=2n，再把m3﹣2m2﹣﹣n+ ﹣mn2进行变形，即可得出答案． 16．某种型号的电视机经过两次降价，价格从原来每台 元降为每台 元，则平均每次下降的百分率是　 　． 【答案】20% 【解析】【解答】设平均每次下降的百分率是x， 根据题意得：2250(1﹣x)2=1440， 解得x=20%或x=1.8（舍去）. 故答案为20%. 【分析】设平均每次下降的百分率是x，根据“下降前的量×（1-降低率2）=下降后的量”列出方程求解即可。 17．设关于x的方程的两个实数根分别为，，若，那么实数m的取值是　 　． 【答案】9 【解析】【解答】解：∵ 关于x的方程的两个实数根分别为，， ∴α+β=2，αβ=-m+1， ∵|α|+|β|=6， ∴αβ＜0， （|α|+|β|）2=36，即α2+β2-2αβ=36， ∴（α+β）2-4αβ=36 ∴4-4（-m+1）=36 解之：m=9. 故答案为：9 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可表示出α+β，αβ=-m+1，再根据|α|+|β|=6，可得到αβ＜0，将|α|+|β|=6转化为（α+β）2-4αβ=36，可得到关于m的方程，解方程求出m的值. 三、解答题 18．解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） 解得，； （2） 或 解得，． 【解析】【分析】（1）首先转化成，然后再直接开平方即可求出方程的解； （2）方程右边为0，只需把方程左边进行因式分解。即可求出方程的解。 （1） 解得，； （2） 或 解得，． 19．已知m和n是方程3x2﹣8x+4=0的两根，求+ 【答案】【解答】∵m和n是方程3x2﹣8x+4=0的两根， ∴m+n=，mn=， 则原式==2． 【解析】【分析】利用韦达定理求出m+n，mn的值，原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，将各自的值代入计算即可求出值． 20．以下是小数同学解方程x（x-1）=2（x-1）的过程。 解：方程两边同除以（x-1），得x=2。 根据小数的解题过程，回答下列问题： （1）小π同学认为小数的解题过程有错，请帮小数找出错误原因。 （2）请你写出正确的解答过程。 【答案】（1）解：两边同乘以不为0的数或式，等式依然成立，而(x-1)可能为0. （2）解：x(x-1)-2(x-1)=0 (x-1)(x-2)=0 X1=2，x2=1 【解析】【分析】(1)由于(x-1)可以等于0，则方程两边并不能同时除以(x-1)，所以小数的解题过程不对； (2)先移项，再利用因式分解法把方程转化为两个一次方程，解两个一次方程即可. 21．关于 的方程 有实数根，且 为正整数，求 的值． 【答案】解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根， ∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0， 解得：m≤1， ∵m为正整数， ∴m=1， 【解析】【分析】根据题意利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。 22．小慧用因式分解法解一元二次方程2x（2x-1）＝3（2x-1）时，她的做法如下： 方程两边同时除以（2x-1），得2x＝3，（第一步） 系数化为1，得．（第二步） （1）小慧的解法是不正确的，她从第 　 　步开始出现了错误． （2）请用小慧的方法完成这个题的解题过程． 【答案】（1）一 （2）解：正确解法为：2x（2x-1）＝3（2x-1）， 2x（2x-1）-3（2x-1）＝0， （2x-1）（2x-3）＝0， 2x-1＝0或2x-3＝0， 所以x1＝，x2＝． 【解析】【解答】解：∵2x-1的值可能等于0， ∴小慧的解法是不正确的，她从第一步开始出现了错误． 故答案为：一. 【分析】（1）2x-1可以为0，所以方程两边除以( 2x-l )不符合等式的性质. ( 2 )先移项得到2x ( 2x-l ) + (2x-l ) =0，然后利用因式分解法解方程. 23．某商店将每件进价40元某商品按每件52元出售，一天可售出180件，经市场调查，发现每降价1元，每天销售量可增加10件，若想每天获利2000元，同时尽快减少库存．则这种商品售价降低多少元？ 【答案】解：设这种商品售价降低x元， 由题意得， ， 解得： ， （舍去）， 答：这种商品售价降低2元． 【解析】【分析】由题意得，设这种商品售价降低x元，把利润的表达式用x表示出来，建立方程即可． 24．如图，要设计一副宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，如果要使彩条所占面积是图案面积的 ，应如何设计彩条的宽度？ 【答案】解：设横彩条的宽度是2xcm，竖彩条的宽度是3xcm，则 （30﹣6x）（20﹣4x）=（1﹣ ）×20×30， 解得x1=1或x2=9． ∵4×9=36＞20， ∴x=9 舍去， ∴横彩条的宽度是2cm，竖彩条的宽度是3cm 【解析】【分析】设横彩条的宽度是2xcm，竖彩条的宽度是3xcm，根据设计的图案宽20cm、长30cm，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，彩条所占面积是图案面积的 ，列出方程求解即可． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$