第4章一元二次方程（4.5——章综合复习）重点例题与习题 2025～2026学年青岛版九年级数学上册

回归教材系列 2025～2026学年青岛版九年级上册数学回归教材系列 ——教材重点例题与习题 范围：青岛版九年级上册数学第4章 一元二次方程4.5——章综合复习 1.下列方程中两个实根的和等于的方程是。 A. B. C. D. 2.用适当的方法解方程： ； ； ； 。 3.不解方程，判断下列方程根的情况： ； ； ； 。 4.关于的方程有没有实根？如果有，两个实根是否相等？ 5.当为何值时，关于的方程， 有两个不相等的实根； 有两个相等的实根； 没有实根。 6.已知，，是的三条边的长。求证：关于的方程 有两个不相等的实根。 7.利用一元二次方程根与系数的关系，判断下列方程后面括号内的两个数是否同为该方程的根： ，； ， 8.已知方程的一个根是，求它的另一个根。 9.已知关于的方程，根据下列条件分别求出的值： 方程的两根互为相反数； 方程的两根互为倒数。 10.方程的两根之和与两根之积都等于，求，的值。 11.设，是方程的两个根，求下列各式的值：    ； 。 12.如图，在宽为、长为的矩形草地上修建两条同样宽且互相垂直的道路，剩余草地的面积是。求道路的宽精确到。 13.一本书的长为，宽为，厚为。小莹准备用一张面积为的矩形纸包这本书的书皮如图。若书皮四周折进的宽度一样，折叠进去的宽度应为多少？ 14.山青农场去年种了亩地的南瓜，平均亩产量为。根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种了高产的新品种南瓜。已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的倍，今年南瓜的总产量为。求南瓜亩产量的增长率。 15.一个两位数，十位数字与个位数字的和为，把十位数字与个位数字互换后得到的两位数与原数的积为。求原两位数。 16.一个容积为的容器里盛满浓度为的酒精。第一次倒出若干毫升后，用水加满；第二次又倒出同样毫升数的溶液，再用水加满。这时容器内的酒精的浓度为。求每次倒出溶液多少毫升。 17.天泉村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室。要求长宽的比为。在温室内，沿前后两侧内墙各留宽的空地放置工具，其他两侧内墙各留宽的通道。当矩形温室的长与宽多少时，蔬菜种植区的面积是？ 18.如图，矩形的边，为的中点。交于点。质点从点出发，以的速度沿向点运动；另一质点同时从点出发，以的速度沿向点运动。经过多少秒时，的面积为？ 19.某农机厂月份生产联合收割机台，为了满足夏收季节市场的需求，月份比月份多生产台。求月、月两个月的平均月增长率。 20.已知一元二次方程。 当取何值时，这个方程有两个不相等的实根？ 设，是这个方程的两个实根，且，求的值。 21.小亮、小莹与大刚一起讨论方程的根的情况。 小亮说：“这个方程有两个不相等的实根。” 小莹说：“这个方程的两个根都是正数。” 大刚说：“这个方程有一个根大于，另一个根小于。” 他们的判断都正确吗？为什么？ 答案和解析 1.【答案】  2.【答案】【小题】 解：方程变形为， 这里，，。 ， 。即，。 【小题】 移项，得。 方程左边因式分解，得。 或。 即，。 【小题】 由平方根的意义，得。 或。 即，。 【小题】 方程左边因式分解，得。 由平方根的意义，得。 。即。   3.【答案】【小题】 解：这里，，。 ， 原方程没有实根。 【小题】 方程整理为一般形式为。 这里，，。 ， 原方程有两个不相等的实根。 【小题】 方程整理为一般形式为。 这里，，。 ， 原方程有两个相等的实根。 【小题】 方程整理为一般形式为。 这里，，。 ， 原方程有两个相等的实根。   4.【答案】解：， 关于的方程有实根。两个实根不相等。   5.【答案】【小题】 解：关于的方程的一般形式是。 方程有两个不相等的实根， 且， 即且。且。 当且时，方程有两个不相等的实根。 【小题】 方程有两个相等的实根， 且，即且。 。 当时，方程有两个相等的实根。 【小题】 方程没有实根， 且，即且。 。 当时，方程没有实根。   6.【答案】证明：。 ，，是的三条边的长， ，，， ，， 关于的方程有两个不相等的实根。   7.【答案】【小题】 解：设方程的两根为，。，，，，不同为该方程的根。 【小题】 设方程的两根为，。 ，，，，，同为该方程的根。   8.【答案】解：把代入方程， 得，解得。 设方程的另一个根为，， 。方程的另一个根是。   9.【答案】【小题】 解：设方程的两根为，，由一元二次方程根与系数的关系， 得，。 方程的两根互为相反数，， 即，解得。 【小题】 方程的两根互为倒数，， 即，解得。   10.【答案】解：方程的两根之积为，， 。 方程的两根之和为， ，。   11.【答案】【小题】 解  由一元二次方程根与系数的关系，得 ，。 ； 【小题】 。   12.【答案】解：设道路的宽为。 根据题意，得。 整理，得。 解得。 所以，。 当时，不合题意，舍去。 答：道路的宽约为。   13.【答案】解：设折叠进去的宽度为。 根据题意，得。 整理，得。 解得，。 经检验不符合题意，舍去。 答：折叠进去的宽度应为。   14.【答案】解：设南瓜亩产量的增长率为。 根据题意，得 。 整理，得。 解得，。 经检验不符合题意，舍去。 答：南瓜亩产量的增长率是。   15.【答案】解：设原两位数的十位数字为，则个位数字为。 根据题意，得 。 整理，得。 解得，。 当时，原两位数是； 当时，原两位数是。 答：原两位数是或。   16.【答案】解：设每次倒出溶液。 根据题意，得 。 整理，得。 解得，。 经检验不符合题意，舍去。 答：每次倒出溶液。   17.【答案】解：设矩形温室的宽是，则长为。 根据题意，得。 整理，得。 解得，。 由题意知，不符合题意，舍去。 。 所以当矩形温室的长为，宽为时，蔬菜种植区的面积是。   18.【答案】解：设经过时，的面积为。 根据题意，得或。 整理，得或。 解得，，，。 经检验不符合题意，舍去。 或或均符合题意。 所以经过，，时，的面积为。   19.【答案】解：设月、月两个月的平均月增长率为。 根据题意，得， 解得，。 根据题意，知，故舍去。 答：月、月两个月的平均月增长率为。   20.【答案】【小题】 解：方程有两个不相等的实根， ，即，。 当时，方程有两个不相等的实根。 【小题】 由根与系数的关系，得，。 ，。 。。 ，。   21.【答案】解：原方程变形为。 ， 方程有两个不相等的实根。 ，， 方程的两个根都是正数。 解方程得其两根为，， 这个方程有一个根大于，另一个根小于。 小亮、小莹、大刚的判断都正确。   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$