第1章 图形的相似 重点例题与习题 2025～2026学年青岛版数学九年级上册

回归教材系列 2025～2026学年青岛版九年级上册数学回归教材系列 ——教材重点例题与习题 范围：青岛版九年级上册数学第1章 图形的相似 1.如图，已知∽， 吗？为什么？ 如果，，，求的长。 2.如图，四边形∽四边形，，，，。求： 的度数； 的长； 求四边形与四边形的相似比。 3.已知∽，如果，，，的最短边长为。求： 各边的长； 与的相似比。 4.如图，已知，。 写出所有与相似的三角形； 填空：，。           ；          ；          ；           5.如图，在中，已知，，，。 ∽吗？为什么？ 如果，那么的长是多少？ 6.大刚的身高为，测得他站立在阳光下的影子长为，他把一只手臂竖直向上举起，测得影子长为，大刚举起手臂超过头顶多少米？ 7.如图，为了测量一座水塔的高度，在阳光下，小亮走进水塔的影子里，使自己的影子刚好被水塔的影子遮住。已知小亮的身高，此时，他的影子的长，他距水塔的底部处，水塔的顶部为点。根据以上数据，你能算出水塔的高度是多少吗？ 8.如图，已知直线，直线，分别与，，相交，直线与相交于点，如图。分别写出图中对应线段的比例式。 9.如图，小亮要测量河流两岸，两点间的距离。他先从处出发，沿与成角的方向向前走到处，立一竹竿，然后继续按这个方向朝前走到处转，沿方向再到处，使目标，竹竿与在同一条直线上，量得，利用以上数据，他是怎样求出，两点间距离的呢？ 10.如图，在与中，已知，。，分别是这两个三角形的高。如果，那么的长是多少？ 11.如图，有一块锐角三角形的余料，它的边，，要把它加工成菱形零件，使菱形的一边在上，其余的两个顶点分别在，上，加工成的菱形零件的高，求的高。 12.如图，在中，，和相交于点，且。求的值。 13.两个相似三角形对应边的比是，它们面积的和为，求较大的三角形的面积。 14.判断满足下列条件的两个三角形是不是位似图形，如果是，指出位似中心。 如图所示，，相交于点，且，； 如图所示，，相交于点，且。 15.如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为。点和的顶点均是格点。以为位似中心，在网格中画出与位似，且相似比为的顶点均是格点的三角形。 16.如图，小亮要从三角形木板上锯下一块正方形木板，使正方形的一边在的边上，另外两个顶点分别在边，上。他采用了以下的方法： 在边上取一点，作，垂足为，以为一边在内作正方形； 连接并延长交于点； 过点作的平行线交于点，分别过，作的垂线，垂足分别为点，。所得到的四边形就是满足条件的正方形。 小亮的做法正确吗？为什么？ 17.如图，四边形的顶点坐标分别为，，，。 如果四边形与四边形位似，位似中心是原点，它的面积等于四边形面积的倍，分别写出点，，的坐标。 画出四边形。 18.在直角坐标系中，已知点，。以为位似中心，把缩小到原来的，求点，的对应点 ，的坐标。 19.如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，过作交于点。等式成立吗？说明理由。 20.如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为点。设，，求的长。 21.如图，在中，，，，过点作，垂足为点，再过点作，垂足为点，按以上的方法继续作下去，得到。 图中与相似的三角形共有多少个？ 求线段的长。 22.如图，为矩形的中心，将三角尺的直角顶点与点重合，直角边分别与矩形的两边，分别相交于点和，当三角尺绕点旋转时始终与，相交。如果，，，，试写出与的表达式。 答案和解析 1.【答案】【小题】 解：。理由如下：由题图知，，三点共线，又∽， ， 。 【小题】 ∽， ，。 2.【答案】【小题】 解：四边形∽四边形， 与是对应角，。 【小题】 由四边形∽四边形，得。 ，，， 。 【小题】 四边形与四边形的相似比为。 3.【答案】【小题】 解：∽， 边与边是对应边，且。 是的最短边， 是的最短边， 。 又，且，，， ，。 各边的长分别为，，。 【小题】 与的相似比为。 4.【答案】【小题】 解：，，； 【小题】 5.【答案】【小题】 解：相似。理由如下：在与中，，，，， ，，。 又为公共角，∽。 【小题】 由可知。 ，。 6.【答案】解：设大刚举起手臂超过头顶。 由题意得，解得。 即大刚举起手臂超过头顶。 7.【答案】解  如图， ，， ∽相似三角形的判定定理。 。 ，，，， 。。 8.【答案】解：题图中对应线段的比例式： ，，。 题图中对应线段的比例式： ，，。 题图中对应线段的比例式：， ，，，， ，，，， ，，。 9.【答案】解：，， ∽，。 ，，， 。 即，两点间的距离为。 10.【答案】解：，， ∽，。 ，。 11.【答案】解：设菱形的边长为，则的长为。 ，∽， ，即，解得。 ∽， ，，。 的高的长是。 12.【答案】解：与同高，。 ，，。 ， ，， ∽，。 ，∽， 。 13.【答案】解：设较大的三角形的面积为，则较小的三角形的面积为。 根据题意，得， 解得。 所以较大的三角形的面积为。 14.【答案】【小题】 解：不是位似图形。 【小题】 是位似图形，位似中心是点。 15.【答案】解：如图所示。 16.【答案】解：小亮的作法是正确的。理由如下： ，，， ，。 四边形是矩形。 在正方形中，， 又，。 ∽。 。 同理。 。 在正方形中，， 。 四边形是正方形。 17.【答案】【小题】 解  由四边形与四边形的面积比为，所以它们的相似比为。将点，，的坐标分别扩大到原来的，得到，，；或，，。 【小题】 顺次连接，，，，四边形就是所要画的四边形如图。 18.【答案】解：把缩小到原来的，与的相似比为。若点，与点，在原点的同侧，则点的坐标为，点的坐标为。 若点，与点，在原点的异侧，则点的坐标为，点的坐标为。  19.【答案】解：成立。 理由如下：，。 ，。， 即。 20.【答案】解：，， 。 四边形是矩形， ， ， ，， ∽， 。 是边的中点， ， ， ， 。 21.【答案】【小题】 解：个。 【小题】 在中，，，。 ∽，，， 。 ∽，， ， 。 依次类推。 22.【答案】解：如图所示，过点作于点，作于点。 是矩形的中心， ， 。 ， ， 。 ， ∽， ，，即。 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$