精品解析：四川省绵阳市梓潼县2025-2026学年九年级上学期开学数学练习卷

四川省绵阳市梓潼县2025-2026学年九年级上学期开学数学练习卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 某校足球社团共有30名成员，他们的年龄在12岁至16岁之间，在统计全体社团成员的年龄时，14岁和15岁的人数尚未统计完全，并制作了如下的表格，根据表格，关于全体社团成员年龄的统计量能确定的是（ ） 年龄（单位：岁） 12 13 14 15 16 人数（单位：名） 7 11 2 A. 平均数和中位数； B. 平均数和方差； C. 众数和中位数； D. 众数和方差． 3. 若有意义，则的取值范围是（ ） A. ≤ B. ≥ C. ﹥0 D. <-1 4. 如图，在矩形中，，点P在线段上运动（含B、C两点），将点P绕点A逆时针旋转到点Q，连接，则线段的最小值为（　　） A. B. C. D. 3 5. 如图是甲、乙两地去年某月1日到7日每日最高气温的折线统计图，为比较两地这7天每日最高气温的稳定情况，应选择的统计量是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 6. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABOC 顶点 O 在坐标原点，边 BO 在 x 轴的负半轴上，顶点 C的坐标为（﹣3，4），反比例函数 y 的图象与菱形对角线 AO 交于 D 点，连接 BD，当 BD⊥x 轴时，k的值是（ ） A. B. C. ﹣12 D. 7. 已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 在化学实验中，小强研究A、B、C三种固体物质的溶解度，如图为这三种固体物质的溶解度曲线，请根据图象回答，下列说法中错误的是（ ） A. C种物质的溶解度随温度的增加而变小 B. 当温度为时，A，C两种物质的溶解度相等 C. 当温度为时，A种物质的溶解度是 D. 当温度时，A，B，C三种物质的溶解度由大到小的顺序是 10. 如图，四边形和四边形均为正方形，点为的中点，连接，，则是（    ） A. B. C. D. 11. 如图，直线和与x轴分别交于点，点，则解集为( ) A. B. C. 或 D. 12. 如图，等腰中，，，动点在边上，点关于、的对称点分别为点、，连接，分别交、于点、． 甲：我发现线段的最大值为2，最小值为； 乙：我连接，，发现的大小不变，始终是． 则下列判断正确的是（　　） A. 甲对乙对 B. 甲对乙错 C. 甲错乙对 D. 甲错乙错 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 比较大小：______（填“，，”）． 14. 将直线y＝2x＋1向下平移3个单位长度后所得直线的表达式是 ______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为_____． 16. 甲、乙两人在一次赛跑中，路程（米）与时间（秒）关系如图所示．当第一个人到达终点时，第二个人距离终点还剩_____米． 17. 如图，一圆柱体的底面半径为，高为，是上底面的直径．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行两圈到达点，爬行的最短路程是__________ 18. 【资料】如图，这是根据公开资料整理绘制而成的年中美两国国内生产总值的直方图及发展趋势线．（注：趋势线由系统根据数据自动生成，趋势线中的y表示，x表示年数） （1）依据【资料】中所提供信息，年中国的平均值大约是____，A．12.30 B．14.19 C．19.57 D．19.71 （2）依据【资料】中所提供的信息，可以推算出中国的要超过美国，至少要到____，A．2052年 B．2038年 C．2037年 D．2034年 三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算 （1） （2） 20. 随着互联网技术的飞速发展，人工智能得到了越来越广泛的应用，人们越来越习惯借助各种人工智能产品来辅助工作、学习和生活．市场上也涌现出了如DeepSeek、豆包等各类人工智能产品．经过市场调研，小罗决定从，两个人工智能产品中选择一个进行使用．以下是小罗通过调查问卷的方式收集的10位用户对，两个人工智能产品的相关评价，并整理、描述、分析如下： ．语言交互能力得分（满分10分） A：5 6 6 8 8 8 8 9 9 10 B：6 6 6 6 7 8 9 9 10 10 b．数据分析能力得分（如右图） c．语言交互能力和数据分析能力得分统计表 统计量产品 语言交互能力得分 数据分析能力得分 平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差 8 8 7.0 7.7 75 6.9 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_____，_____，_____，_____（填“>”或“<”）． （2）通过以上数据分析，你认为小罗应该选择哪个人工智能产品，至少从两个角度说明理由． 21. 如图，在四边形中，，交于点O． （1）求证：四边形为菱形； （2）如图2，过四边形的顶点A作于点，交于点，若，求四边形的面积． 22. 小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示消耗热量36千卡． （1）小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？ （2）小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒， ①假设安排个深蹲，则安排_______个开合跳；（用含代数式填空．） ②小亮安排多少个深蹲使消耗的热量最多？ 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出时，的取值范围； （3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积． 24. 已知正方形，点是其内部一点． （1）如图，点在边的垂直平分线上，将绕点逆时针旋转，得到，当点落在上时，恰好点落在直线上，求的度数； （2）如图，点在对角线上，连接，若将线段绕点逆时针旋转后得到线段，试问点是否在直线上，请给出结论，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省绵阳市梓潼县2025-2026学年九年级上学期开学数学练习卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断，准确分析计算是解题的关键．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A. ，不是最简二次根式，不合题意； B. ，不是最简二次根式，不合题意； C. ，不是最简二次根式，不合题意； D. ，是最简二次根式，符合题意； 故选：D. 2. 某校足球社团共有30名成员，他们的年龄在12岁至16岁之间，在统计全体社团成员的年龄时，14岁和15岁的人数尚未统计完全，并制作了如下的表格，根据表格，关于全体社团成员年龄的统计量能确定的是（ ） 年龄（单位：岁） 12 13 14 15 16 人数（单位：名） 7 11 2 A. 平均数和中位数； B. 平均数和方差； C. 众数和中位数； D. 众数和方差． 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了众数和中位数，理解众数和中位数的定义是解题的关键．通过已知人数确定总人数关系，分析各统计量是否受未确定人数影响． 【详解】解：由表可知，年龄13岁与14岁的频数和为：， 13岁的人数有11人，该组数据的众数为13，中位数为13， 所以全体社团成员年龄的统计量能确定的是众数和中位数， 故选：C． 3. 若有意义，则的取值范围是（ ） A. ≤ B. ≥ C. ﹥0 D. <-1 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解． 【详解】解：由题意可得：3x-1≥0， 解得：x≥， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键． 4. 如图，在矩形中，，点P在线段上运动（含B、C两点），将点P绕点A逆时针旋转到点Q，连接，则线段的最小值为（　　） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的性质和证明，等边三角形的性质，特殊角的三角函数值计算等相关知识点，能够根据已知条件作出相关的辅助线是解题重点． 以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．证明，由全等性质可以得到，得Q点的运动轨迹是射线，当点H与点Q重合时，的值最小，利用特殊角的锐角三角函数值求解即可． 【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形， ∴， 由题意可得是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴Q点的运动轨迹是射线， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ， 根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为， 故选：A． 5. 如图是甲、乙两地去年某月1日到7日每日最高气温的折线统计图，为比较两地这7天每日最高气温的稳定情况，应选择的统计量是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平均数、中位数、众数及方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则与平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好； 【详解】解：根据题意“为比较两地这7天每日最高气温的稳定情况，”应选择方差作为统计量， 故选：B． 6. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABOC 的顶点 O 在坐标原点，边 BO 在 x 轴的负半轴上，顶点 C的坐标为（﹣3，4），反比例函数 y 的图象与菱形对角线 AO 交于 D 点，连接 BD，当 BD⊥x 轴时，k的值是（ ） A. B. C. ﹣12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用勾股定理计算出OC=5，再利用菱形的性质得到AC=OB=OC=5，ACOB，则B（-5，0），A（-8，4），接着利用待定系数法确定直线OA的解析式为y=-x，则可确定D（-5，），然后把D点坐标代入y=中可得到k的值． 【详解】解：∵C(−3,4)， ∴OC==5， ∵四边形OBAC为菱形， ∴AC=OB=OC=5,ACOB， ∴B(−5,0),A(−8,4)， 设直线OA的解析式为y=mx， 把A(−8,4)代入得−8m=4,解得m=−， ∴直线OA的解析式为y=-x， 当x=−5时,y=-x =,则D(−5,)， 把D(−5,)代入y=， ∴k=−= 故选B． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征和菱形的性质． 7. 已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键．根据一次函数的增减性即可解决问题． 【详解】解： 随的增大而增大， 点在正比例函数的图象上，且 ． 故选：B． 8. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用网格求三角形面积，勾股定理，锐角三角函数，作于点，利用勾股定理得到、，结合等面积法，进而得到，最后利用余弦定义求解，即可解题． 【详解】解：作于点， 由图知，，， ， ， 即，解得， ， 的值为， 故选：B． 9. 在化学实验中，小强研究A、B、C三种固体物质的溶解度，如图为这三种固体物质的溶解度曲线，请根据图象回答，下列说法中错误的是（ ） A. C种物质的溶解度随温度的增加而变小 B. 当温度为时，A，C两种物质的溶解度相等 C. 当温度为时，A种物质的溶解度是 D. 当温度时，A，B，C三种物质的溶解度由大到小的顺序是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，准确获取图象信息是解题的关键．根据函数图象的信息逐项判定即可． 【详解】解：根据函数图象的性质数形结合逐项分析判断如下： A、C物质的溶解度随温度的增加而减小，故A选项说法正确，不符合题意； B、当温度为时，A，C两种物质的溶解度相等，故B选项说法正确，不符合题意； C、当温度为时，A种物质的溶解度是，故C选项说法正确，不符合题意； D、当温度时，在A、B交点，表示该温度下两种物质的溶解度相等，故D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 10. 如图，四边形和四边形均为正方形，点为的中点，连接，，则是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，则，取中点，连接，作，，则：，在中，利用勾股定理求出，证明，推出四边形是矩形，四边形也为矩形，证明，得到，等积法求出的长，进而推出的长，即可得出结果． 【详解】解：设，，则，取中点，连接，作，，则：， ∵正方形，正方形， ∴， 点为的中点 ， ， ，即：， ， ， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形也为矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ， ， ， ∴，， ， ， ． 故选C． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，是解题的关键． 11. 如图，直线和与x轴分别交于点，点，则解集为( ) A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两条直线与x轴的交点坐标及直线的位置确定不等式组的解集即可． 【详解】解：∵直线和与x轴分别交于点，点， ∴解集为， 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式知识，解题的关键是能够结合图象作出判断，难度不大． 12. 如图，等腰中，，，动点在边上，点关于、的对称点分别为点、，连接，分别交、于点、． 甲：我发现线段的最大值为2，最小值为； 乙：我连接，，发现的大小不变，始终是． 则下列判断正确的是（　　） A. 甲对乙对 B. 甲对乙错 C. 甲错乙对 D. 甲错乙错 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称的性质可知，，，易证明，，得是等腰直角三角形，结合勾股定理得，当最小时，即；当最大时，即点与点重合；同理证明，，得，，即可作答． 【详解】解：连接，，，，，如图： 因为动点在边上，点关于、的对称点分别为点、， 所以，，， 则，， 所以，， 因为等腰中，，， 所以， 即， 因为， 所以是等腰直角三角形， 则， 当最小时，即，此时， 所以的最小值为； 当最大时，即点与点重合，，此时， 所以； 故甲对； 因为，动点在边上，点关于、的对称点分别为点、， 所以，，，，， 则，， 所以，， 因为， 则， 故乙对， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的性质等知识，解题的关键证明是等腰直角三角形． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 比较大小：______（填“，，”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，利用平方法将无理数的大小转化为有理数的大小比较成为解题的关键． 将无理数的大小转化为有理数的大小比较即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 14. 将直线y＝2x＋1向下平移3个单位长度后所得直线的表达式是 ______． 【答案】y＝2x－2 【解析】 【详解】直线y=2x+1向下平移3个单位长度， 根据函数的平移规则“上加下减”， 可得平移后所得直线的解析式为y=2x+1﹣3=2x﹣2． 故答案为y=2x﹣2 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为_____． 【答案】（2，6） 【解析】 【分析】此题涉及的知识点是平面直角坐标系图像性质的综合应用．过点M作MF⊥CD于F，过C作CE⊥OA于E，在Rt△CMF中，根据勾股定理即可求得MF与EM，进而就可求得OE，CE的长，从而求得C的坐标． 【详解】∵四边形OCDB是平行四边形,点B的坐标为(16,0)， CD∥OA，CD=OB=16， 过点M作MF⊥CD于F,则 过C作CE⊥OA于E， ∵A(20,0)， ∴OA=20，OM=10， ∴OE=OM−ME=OM−CF=10−8=2， 连接MC, ∴在Rt△CMF中， ∴点C的坐标为(2,6). 故答案为(2,6). 【点睛】此题重点考查学生对坐标与图形性质的实际应用，勾股定理，注意数形结合思想在解题的关键． 16. 甲、乙两人在一次赛跑中，路程（米）与时间（秒）的关系如图所示．当第一个人到达终点时，第二个人距离终点还剩_____米． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查函数图象的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 从函数图象可以求出第二个人的速度，可以得到第一个人到达终点用时，此时第二个人跑了的路程即可求解，继而即可求解第二个人距离终点还剩多少米． 【详解】解：由图象可得第二个人的速度为， 第一个人到达终点用时，此时第二个人跑了， ∴第二个人距离终点还剩， 故答案：4． 17. 如图，一圆柱体的底面半径为，高为，是上底面的直径．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行两圈到达点，爬行的最短路程是__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是正确画出圆柱的侧面展开图；画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理进行解答，即可求解． 【详解】解：圆柱体的底面圆的周长为， 侧面展开图如下： ， ， 爬行的最短路程是． 故答案为：． 18. 【资料】如图，这是根据公开资料整理绘制而成的年中美两国国内生产总值的直方图及发展趋势线．（注：趋势线由系统根据数据自动生成，趋势线中的y表示，x表示年数） （1）依据【资料】中所提供的信息，年中国的平均值大约是____，A．12.30 B．14.19 C．19.57 D．19.71 （2）依据【资料】中所提供的信息，可以推算出中国的要超过美国，至少要到____，A．2052年 B．2038年 C．2037年 D．2034年 【答案】 ①. A ②. B 【解析】 【分析】本题考查的是频数分布直方图、加权平均数等知识，利用方程组进行解答是解决此题的关键． （1）求年中国的平均值，将年三年中国相加，再除以3即可； （2）将中国和美国趋势线解析式联立，组成二元一次方程组，求出x值；求出的x值为从2015年开始经过多少年中国的与美国相等，据此解答． 【详解】解：（1）（万元）． ∴年中国的平均值大约是12.30万元． 故答案为：A； (2) ∵， ∴， 解得， 故， 中国的GDP要超过美国，至少要到2038年． 故答案为： B． 三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再合并计算； （2）先算乘法，化简，再计算除法． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 20. 随着互联网技术的飞速发展，人工智能得到了越来越广泛的应用，人们越来越习惯借助各种人工智能产品来辅助工作、学习和生活．市场上也涌现出了如DeepSeek、豆包等各类人工智能产品．经过市场调研，小罗决定从，两个人工智能产品中选择一个进行使用．以下是小罗通过调查问卷的方式收集的10位用户对，两个人工智能产品的相关评价，并整理、描述、分析如下： ．语言交互能力得分（满分10分） A：5 6 6 8 8 8 8 9 9 10 B：6 6 6 6 7 8 9 9 10 10 b．数据分析能力得分（如右图） c．语言交互能力和数据分析能力得分统计表 统计量产品 语言交互能力得分 数据分析能力得分 平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差 8 8 7.0 7.7 7.5 6.9 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_____，_____，_____，_____（填“>”或“<”）． （2）通过以上数据分析，你认为小罗应该选择哪个人工智能产品，至少从两个角度说明理由． 【答案】（1）7.7，6，7.5， （2）我认为小罗应该选择，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，统计表，平均数，众数，中位数与方差，根据相关统计量作判断；掌握基本统计量的概念，并能灵活运用于实际中是解题的关键． （1）计算出A组语言交互能力得分平均数，可得m的值；根据语言交互能力得分出现次数最多的是众数即可求得B组的众数；把A组数据分析能力得分按高低排列，中间两个得分7分与8分的平均数即为p的值，根据两组数据分析能力得分折线统计图可确定方差的大小； （2）分别从语言交互能力得分、从数据分析能力得分的平均数、中位数与众数进行比较即可进行选择． 【小问1详解】 解：； B组中6出现的次数最多，故； A组数据分析能力得分按高低排列，中间两个得分7分与8分，则： 由两组数据分析能力得分折线统计图知，A组得分的波动程度大于B组得分的波动程度，即； 故答案为：7.7，6，7.5，； 【小问2详解】 解：我认为小罗应该选择． 理由如下：从语言交互能力得分来看，和的平均数一样，但是的中位数和众数均高于；从数据分析能力得分来看，的平均数高于，且的中位数也大于；（理由合理即可）． 21. 如图，在四边形中，，交于点O． （1）求证：四边形为菱形； （2）如图2，过四边形的顶点A作于点，交于点，若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质等． （1）根据题意得出垂直平分，再由菱形判定即可证明； （2）连接，根据菱形的性质及等边三角形的判定得出是等边三角形，再由其性质及勾股定理得出，结合图形得出求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形菱形； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 22. 小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示消耗热量36千卡． （1）小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？ （2）小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒， ①假设安排个深蹲，则安排_______个开合跳；（用含的代数式填空．） ②小亮安排多少个深蹲使消耗的热量最多？ 【答案】（1）小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量 （2）①；②小亮安排100个深蹲消耗的热量最多 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组，不等式，一次函数求最值，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量，由此列式求解即可； （2）①设小亮安排m个深蹲，根据每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，求出安排开合跳的个数； ②由题意得到，设消耗的热量为千卡，由此列式，根据一次函数求最值的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：设小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量， 根据题意得：， 解得：． 答：小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量； 【小问2详解】 解：①设小亮安排m个深蹲，则安排开合跳的个数为： 个； ②设小亮安排m个深蹲， 根据题意得：， 解得：． 设消耗的总热量为千卡，则， 即， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， 答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出时，的取值范围； （3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积． 【答案】（1）反比例函数表达式为，一次函数表达式为 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）根据函数图象即可求解； （）如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，求出点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点坐标，根据计算即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数表达式为， 把代入得，， ∴， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：由图象可得，当时，的取值范围为或； 【小问3详解】 解：如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∴， ∵点关于原点对称， ∴， ∴，， ∴ ， 即的面积为． 24. 已知正方形，点是其内部一点． （1）如图，点在边的垂直平分线上，将绕点逆时针旋转，得到，当点落在上时，恰好点落在直线上，求的度数； （2）如图，点在对角线上，连接，若将线段绕点逆时针旋转后得到线段，试问点是否在直线上，请给出结论，并说明理由． 【答案】（1） （2）点在直线上，证明见解析 【解析】 【分析】此题主要考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质． （1）连接，得到是等边三角形，即可求出的度数； （2）作交于点，过点作，交于点，交于点，证明，即可得将线段绕点逆时针旋转后得到线段，点在直线上． 【小问1详解】 解：连接， 点在边的垂直平分线上， ， ∵旋转， ，， ， 是等边三角形， ， ∵旋转， ， 【小问2详解】 点在直线上，证明如下： ∵正方形， ∴，， 作交于点，过点作，交于点，交于点， 则四边形为矩形， ，，， ， ， 在对角线上， ， ， ， ，  ， ， 即将线段绕点逆时针旋转后得到线段，点在直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $