1.1三角形中的线段和角（1）课件-2025-2026学年苏科版（2024）数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形三边关系及边与角的关系，通过“温故知新”回顾内角和与三边关系，以证明过程为支架，逐步引出定理、推论及应用，构建“旧知-证明-定理-例题-拓展”的完整知识链。 其亮点在于融合几何直观与推理意识，用“两点之间线段最短”证明三边关系，反证法推导大角对大边，例题涵盖数值、比例、代数等类型。学生通过折纸实验和分类讨论提升推理与创新能力，教师可借助系统例题与练习高效开展教学。

1.1 三角形中的线段和角（1） 第1章 三角形 ——三角形的边和角 温故知新 1. 三角形的三个内角之和= . 2. 三角形的三边关系： . 180° 三角形两边之和大于第三边 3. 如何证明上面这个结论呢？ 如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b， 求证：a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b 证明： ∵BA+AC是连接B、C两点的折线长度， BC是连接B、C两点的线段长度， 根据基本事实“两点之间的所有连线中，线段最短”， 可知BA+AC>BC 同理，AC+CB>AB，AB+BC>AC ∴a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b ∵AB=c，BC=a，AC=b， 三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形三边关系定理： 符号语言： 在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b， ∴a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b 三角形的任意两边之差呢？ 例1 如图，在△ABC中，求证：AB-BC<AC. 证明：在△ABC中， ∵AC+BC>AB （三角形的任意两边之和大于第三边）， ∴AC+BC-BC>AB-BC (不等式的性质) ∴AC>AB-BC， 即AB-BC<AC 三角形的任意两边之差小于第三边 三角形的任意两边之差小于第三边. 三角形三边关系定理： 符号语言： 在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b， ∴a－b<c，b－c<a，a－c<b (a>b>c) 注意： 1. 三角形中的“两边”指任意两边； 2. 常选取两条较小的边的和与第三边作比较， 选取最大边与最小边的差与第三边作比较； 3. 已知三角形两边长分别为a，b(a>b)， 根据三角形的三边关系可知， 第三边长c的取值范围是： . a－b<c<a＋b 例1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1) 1，4，7; (2) 3，5，8; (3) 5，6，9. 解：(1)∵ 1＋4 < 7， ∴长度为1，4，7的三条线段不能组成三角形 (2)∵ 3＋5 = 8， ∴长度为3，5，8的三条线段不能组成三角形 (3)∵ 5＋6 > 9， ∴长度为5，6，9的三条线段能组成三角形 练习1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1) 8，8，12; (2) 7，8，15; (3) 5，9，16. 解：(1)∵ 8＋8 > 12， ∴长度为8，8，12的三条线段能组成三角形 (2)∵ 7＋8 = 15， ∴长度为7，8，15的三条线段不能组成三角形 (3)∵ 5＋9 < 16， ∴长度为5，9，16的三条线段不能组成三角形 练习2.下列长度的三条线段(或满足三条线段长度的比)能否组成三角形？为什么？ (1)长度之比为4∶5∶6； (2)a＋1，a＋2，a＋3(a>0) 解：(1)设这三条线段的长度分别为4x，5x，6x (x>0) ∵ 4x＋5x>6x， ∴长度之比为4∶5∶6 的三条线段能组成三角形 (2)∵ a＋1＋a＋2＝2a＋3 ， 当a>0 时，2a＋3 >a＋3， ∴长度a＋1，a＋2，a＋3(a>0)的三条线段能组成三角形 例2.用一根长16 cm 的铁丝围成一个三角形，其中三边长分别为4 cm，x cm，y cm 且有两边相等，求x，y的值. 解：当 x＝4时，y＝16－4－4＝8，4＋4＝8， 不能组成三角形，不符合题意； 当 y＝4时，x＝16－4－4＝8 ，4＋4＝8， 不能组成三角形，不符合题意； 当x＝y 时，x＝y＝＝6，4＋6>6， 能组成三角形，符合题意 综上可知，x＝y＝6 练习.△ABC的边长为6，3，x， (1)求x的取值范围； (2)当x为偶数时，x= ； (3)当△ABC为等腰三角形时，x= ； (4)求C△ABC的取值范围； (5)C△ABC为奇数时，C△ABC= . 3< x <9 4或6或8 6 12< C△ABC <18 13或15或17 拓展1.如图，AB=3，BC=5，线段AB绕着点B旋转，连接AC，在旋转过程中，线段AC的取值范围是____________. A B C 2≤ AC ≤ 8 拓展2.如图，点O是△ABC形内一点，求证：OA+OB+OC> (AB+BC+CA) A B C O 证明： 连OA、OB、OC， 在△AOB中，OA+OB>AB， 在△AOC中，OA+OC>AC， 在△BOC中，OB+OC>BC， ∴2(OA+OB+OC)> AB+BC+CA ∴OA+OB+OC> (AB+BC+CA) 我们已经知道了三角形的三个角之间的关系、三条边之间的关系，那么三角形的边与角之间有什么关系呢？ 如图，在△ABC中，已知AB>AC，∠B与∠C哪一个更大? 我们可以通过折纸的方式比较∠B，∠C的大小. 在△ABC中，已知AB>AC，∠B与∠C哪一个更大? 解：如图，作∠A的平分线AD，把△ACD沿AD翻折，得到△AC’D， 则△ACD与△AC’D关于AD成轴对称， ∵AB>AC， ∴点C在边AB上，∠ACD=∠C ∵∠ACD=∠B+∠BDC’， ∴∠ACD>∠B， ∴∠C>∠B 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大. 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大. 反过来，在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大吗？ 在△ABC中，已知∠B>∠C，求证：AB>AC. 证明：假设相反，即AB≤AC. 1° 若AB=AC，则△ABC是等腰三角形， 即∠B=∠C，与∠B>∠C矛盾; 2° 若AB<AC，则由大边对大角得， ∠B<∠C，与∠B>∠C矛盾. ∴AB>AC 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大，较大的角所对的边也比较大. （简称“大边对大角，大角对大边”） 基本定理： 例3 如图，在△ABC中，AC>AB，∠A> ∠B，则下列判断正确的是( ) A. ∠A>∠B>∠C B. ∠B>∠A>∠C C. AC>BC>AB D. AC>AB>BC A 解：∵AC >AB， ∴∠B >∠C ∵∠A >∠B， ∴∠A >∠B >∠C，BC >AC ∴BC >AC >AB 练习1.如图，在△ABC中，∠C=90°，比较AB，BC的大小，并说明理由. B A C 解：∵在△ABC中，∠C=90°， ∴∠A < 90° ∴∠C >∠A ∴ AB >BC 2.如图，在△ABC中，∠B=90°，点D在BC上，比较AC，AD的大小，并说明理由. B A C D 解：在△ABD中，∠ADC>∠B， ∵∠B=90°， ∴∠ADC >90° ∴在△ABC中，∠ADC >∠C， ∴AC >AD 3.如图，在△ABC中，AB<AC. (1)比较∠B，∠C的大小，并证明你的结论； (2)若AH⊥BC，比较∠BAH，∠CAH的大小，并证明. B A C H 解：(1)∠B>∠C， 理由：在△ABC中，AB<AC ∴∠C<∠B， ∴∠B>∠C， 由(1)得∠B>∠C ∠BAH<∠CAH (2)∠BAH<∠CAH 理由：∵AH⊥BC， ∴∠AHB=∠AHC=90° ∴在△ABH中，∠B+∠BAH =90°， 在△ABH中，∠C+∠CAH =90°， 4.如图，在△ABC中，点D在边BC上. 求证：AC+CB>AD+DB. 证明：在△ACD中，AC+CD>AD， ∵AC+CB=AC+CD+DB， ∴AC+CD+DB >AD+DB， ∴AC+CB>AD+DB 小结 1. 三角形的三边关系： ； . 三角形任意两边之和大于第三边 三角形任意两边之差小于第三边 2.在 三角形中，较大的边所对的 ，较大的角所对的 . （简称“ ， ”） 同一个 角也比较大 边也比较大 大边对大角 大角对大边 $$