专题 2.8 圆锥的侧面积（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（苏科版）

专题 2.8 圆锥的侧面积 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 【知识回顾】 1 知识点（一）圆锥相关定义 1 【新知探究】 2 知识点（二）圆锥的侧面积 2 【题型1】求圆锥侧面积与全面积 2 【题型2】求圆锥底面半径 4 【题型3】求圆锥的高 5 【题型4】求圆锥侧面展开图的圆心角 7 【题型5】圆锥的实际问题 9 【题型6】圆锥侧面上最短路径问题 10 二. 同步练习 13 【基础巩固（16题）】 13 【能力提升（16题）】 23 【中考真题12题】 38 一.知识梳理与题型分类精析 【知识回顾】 在半径为的圆中，弧长与所对的圆心角度数之间有如下的关系： 在半径为的圆中，扇形面积与所对的圆心角度数之间有如下的关系： 知识点（一）圆锥相关定义 母线：连接圆锥的顶点和底面圆上一点的线段叫做圆锥的母线，如图1，线段是圆锥的母线。 【新知探究】 设圆锥的母线长为，圆锥的底面圆半径为，我们如何求圆锥的侧面积呢？通过思考和圆锥展开图我们可以得出结论：圆锥展开图是一个扇形，这个扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，半径是圆锥的母线长，这样我们容易得出圆锥侧面展开图的面积： 知识点（二）圆锥的侧面积 设圆锥的母线长为，圆锥的底面圆半径为 【题型1】求圆锥侧面积与全面积 【例题 1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，求： （1）围成的圆锥的侧面积．（2）围成的圆锥的全面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查求圆锥的侧面积和全面积，熟记扇形的面积计算公式及弧长计算公式是解题的关键： （1）利用扇形面积公式计算即可求出圆锥的侧面积； （2）圆锥由扇形和一个圆组成，将两个面积相加即可得到圆锥的全面积 解：（1）解：圆锥的侧面积是． （2）扇形的弧长是，则底面半径是2，底面面积是， 则围成的圆锥的全面积是． 【变式1】（23-24九年级上·江苏·期末）已知圆锥的底面圆半径为，母线长为．则这个圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面展开图，扇形的面积公式等知识点，解题的关键是掌握扇形的面积公式． 先求出底面圆的周长，再利用扇形面积公式进行求解即可． 解：底面圆的周长为， 底面圆的周长即为圆锥展开图扇形的弧长， ∴扇形的面积即为圆锥的侧面积为， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知圆锥的底面半径为3，母线长为15，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到，然后代入计算即可． 解：如图所示， ∴． 故答案为：． 【题型2】求圆锥底面半径 【例题2】（24-25九年级上·甘肃·阶段练习）用一个圆心角为，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的底面周长，弧长公式，利用底面周长展开图的弧长可得．解答本题的关键是有确定底面周长展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值． 解：扇形的弧长， 设圆锥底面半径为， 故可得， 解得． 底面圆的半径为． 【变式1】（24-25九年级上·北京·期末）如图，在矩形中，，点在边上，且，连接，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，将扇形剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，扇形弧长的计算，理解题意，掌握弧长公式的计算是关键． 根据矩形的性质，等边对等角得到是等腰直角三角形，，，，由弧长公式得到，结合圆的周长公式即可求解． 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴的长度， 设围成圆锥后，底面圆的半径为， ∴， 解得，， ∴该圆锥底面半径为1， 故选：A ． 【变式2】（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）用一个圆心角为，半径为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查弧长公式、圆周长公式等知识，熟记弧长公式、圆周长公式是解决问题的关键．先由弧长公式求出扇形的弧长为，再由圆的周长公式代值求解即可得到答案． 解：扇形的弧长为， 这个圆锥底面的半径为， 故答案为：． 【题型3】求圆锥的高 【例题 3】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，正六边形的边长为6，点，在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，求这个圆锥的高． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角，圆锥的侧面展开图的弧长与底面圆的关系，母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形的关系，弄清弧长与圆锥的底面圆的周长的关系及母线、底面圆的半径和高的关系是解题的关键．根据正六边形的内角和，即可求得内角的度数，进而根据边长等于的半径，根据弧长公式求得弧的长，再根据底面圆的周长就是弧的长，求得底面圆的半径，进而根据母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形，再求解即可． 解：∵正六边形的边长为6， ∴， ∴弧的长为：， ∵图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图． ∴弧的长即为圆锥底面的周长， 设圆锥底面圆的半径为，则， 解得：， ∴圆锥的高． 【变式1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆锥的计算、弧长的计算，根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径，由弧长公式求出圆锥的母线，再由勾股定理计算圆锥的高即可． 解：圆锥的底面半径为， 圆锥的母线为 ∴ 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图所示的扇形中，半径，圆心角，用这个扇形围成一个圆锥的侧面． （1）则这个圆锥的底面半径 ． （2）这个圆锥的高 ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了求圆锥的底面圆半径，求圆锥的高，熟知圆锥的相关知识是解题的关键． （1）设这个圆锥的底面圆半径为r，圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图得到的扇形弧长，据此建立方程求解即可； （2）利用勾股定理求解即可． 解：（1）设这个圆锥的底面圆半径为r， 由题意得，， 解得， ∴这个圆锥的底面圆半径为4， 故答案为：4； （2）由题意得，， 故答案为：． 【题型4】求圆锥侧面展开图的圆心角 【例题 4】（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，已知圆锥形石膏像的底面直径，母线长，求它的表面积（结果保留）和侧面展开图的圆心角． 【答案】表面积为；侧面展开图的圆心角为 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆的面积，圆锥的侧面积公式以及根据弧长的公式进行计算，即可求解． 解：∵圆锥形石膏像的底面直径，母线长， ∴表面积为： 根据弧长的公式得到：， 解得度． 侧面展开图的圆心角为度． 【变式1】（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求圆锥展开图的圆心角的度数，设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的扇形圆心角为．根据题意，圆锥的侧面积是底面积的2倍，可建立方程求出母线长．再利用扇形弧长等于底面周长，即可求出圆心角． 解：设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的扇形圆心角为， 由题意，得： ∴． 又∵，将代入得： ∴； 故选D． 【变式2】（23-24九年级上·天津和平·期末）已知圆锥的底面圆的半径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角的大小= （度）． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是根据圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长来求出圆心角． 利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，根据弧长公式的计算即可． 解：圆锥的底面圆的周长， 圆锥的侧面扇形的弧长为， ， 解得：， 即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为． 故答案为：． 【题型5】圆锥的实际问题 【例题 5】（2025九年级下·全国·专题练习）一个圆锥形沙堆的占地面积是15平方米，高4米，把这堆沙子铺在宽8米的路上，平均铺5厘米厚，能铺路多少米？ 【答案】50米 【分析】本题是等积变形问题，“沙”由原来的圆锥形变成后来的长方体只是形状变了，体积没变，等量关系式：圆锥的体积长方体的体积，圆锥的体积，长方体的体积长宽高，设能铺米长，根据等量关系式再列式计算即可求出结果． 解：（米， 答：能铺路50米． 【变式1】（2024·云南昆明·一模）如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长和勾股定理．根据弧长公式列方程求解即可． 解：∵圆锥的底面圆的周长为， ∴它的侧面展开图的弧长为， 设母线的长为， ∴， 解得， ∴母线长是． 故选：D． 【变式2】（2025·云南·模拟预测）某同学发现家里的草帽可以近似看作一个圆锥，测量得母线长为50 ，高度为30 ，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用和圆周长等知识点，解决此题的关键是正确的计算；先根据勾股定理算出底面的半径，底面的周长即为圆锥的侧面展开图的弧长，进而求出答案即可； 解：∵， ∴底面周长（）为： 即圆锥侧面展开图的弧长为 故答案为： 【题型6】圆锥侧面上最短路径问题 【例题6】（2024·广东阳江·一模）综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 解：∵，， ∴． ∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为，如图所示． ∴． ∵， ∴． ∴在中，由勾股定理得． ∴彩带长度的最小值为． 【变式1】（23-24八年级上·辽宁·期末）今年9月23日是第五个中国农民丰收节，小明用3D打印机制作了一个底面周长为12cm，高为8cm的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（    ）    A． B．48cm C． D．20cm 【答案】D 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，，且点C为的中点， ∵，， ∴装饰带的长度， 故选：D． 【点拨】本题主要考查了平面展开−最短路线问题，以及学生的立体思维能力．解题关键是圆柱的侧面展开图是长方形． 【变式2】（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m． 【答案】 【分析】由题意得，圆锥的底面半径为3m，母线线长为6m．求出底面周长，根据圆的底面周长等于展开后扇形的弧长，可求得展开后扇形的圆心角为，即圆锥侧面展开为半圆．点正好在半圆的中点处，由此得为直角三角，根据勾股定理即可求出的长，即小猫所经过的最短路径． 本题主要考查了圆锥的侧面展开图，及弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 解：为正三角形， ， ， ∵底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得： ， ，则， （m）， 故答案为：． 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25六年级下·上海宝山·期末）一个圆锥的母线为，底面圆的直径为，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积底面周长母线长． 先求出圆锥的底面周长，然后根据圆锥的侧面积底面周长母线长． 解：底面圆的直径为，则底面周长， 则圆锥侧面积为． 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形和圆锥的关系，解题的关键是掌握扇形面积和弧长的关系． 圆锥的侧面积等于扇形面积，且扇形的弧长等于圆锥底面的周长，利用这两个等量关系即可求解． 解：由扇形面积与弧长的关系得， ， 解得， 根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得， ， 解得， 故选：A． 3．（2025·广东广州·三模）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理．设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可． 解：设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5， 扇形的弧长为， 圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等， ， ， 圆锥的高为， 故选：D． 4．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥的母线长与底面圆半径的比为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是求解圆锥展开图的扇形圆心角，设其侧面展开扇形的圆心角为度，底面半径为，则母线长为，再利用底面圆周长等于展开图的弧长可得答案. 解：设其侧面展开扇形的圆心角为度，底面半径为，则母线长为， 由题知，， 解得， 其侧面展开扇形的圆心角为． 故选：D 5．（2025·云南曲靖·二模）某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据圆锥侧面积公式计算即可得解，熟练掌握相关公式是解此题的关键． 解：由题意可得：该圆锥形装饰的面积为（平方厘米）， 故选：B． 6．（2025·河北沧州·模拟预测）已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求出圆锥底面的周长，再求出圆锥侧面的圆心角度数，最后运用勾股定理求出的长即可． 解：如图，扇形为圆锥的侧面展开图，连接． 圆锥形底面周长为，母线的长为， ．解得，即， ， ∴， 过点作于点， ． ． ∴，， ，垂直， ， ． 故这条灯带的最短长度为， 故选D． 二、填空题 7．（24-25六年级下·上海宝山·期末）已知圆锥的底面半径为，母线长为，那么这个圆锥的表面积为 （保留）． 【答案】 【分析】本题考查的是求解圆锥的表面积，先求解底面积，再求解侧面积，最后求和即可． 解：圆锥的底面半径为，母线长为， 它的底面积为，侧面积为， 这个圆锥的表面积为， 故答案为：． 8．（24-25九年级下·云南楚雄·阶段练习）若将半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 设这个圆锥的底面圆半径是，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，然后解方程即可． 解：设这个圆锥的底面圆半径是， 根据题意得， 解得， 即这个圆锥的底面圆半径是． 故答案为：6． 9．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，圆锥的高为，母线的长为，则该圆锥侧面展开图对应的扇形的圆心角为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长是解题的关键．先根据勾股定理求出圆锥的底面圆的半径，再根据弧长公式即可得出答案． 解：圆锥的高为，母线长为， 圆锥的底面圆的半径， 由（r为圆锥底面半径，R为圆锥的母线长，n为圆锥侧面展开图对应的扇形的圆心角） 得， ， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·全国·随堂练习）若圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为 ． 【答案】48 【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开图的知识，熟练掌握相关公式是解题关键．设该圆锥的母线长为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，且扇形的弧长等于圆锥底面的周长，可得，求解可得答案． 解：设该圆锥的母线长为， ∵圆锥的侧面展开图为一扇形，且扇形的弧长等于圆锥底面的周长， ∴，解得， 即该圆锥的母线长为48． 故答案为：48． 11．（2025·山东济宁·模拟预测）如图，将半径为8的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求圆锥的高，勾股定理， 根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长求出底面半径，再根据扇形的半径等于圆锥的母线，结合勾股定理求出答案． 解：根据题意，得，， 根据勾股定理，得， 即， 所以圆锥的高为． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）在化学实验室中，可以通过过滤的方法净化溶液或水．如图，滤纸的折叠方法：取一直径为的圆形滤纸，对折两次，形成圆后，然后一边一层另外一边三层从中间拉开成锥形放入漏斗．当滤纸紧贴漏斗内壁时，倒入溶液的高度不能超过 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的相关知识，解题的关键是理解圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长．根据题意可知，圆锥母线长，圆锥底面周长为，结合“圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长”确定的值，然后利用勾股定理求解即可． 解：如下图，    由题意，可知，圆锥底面周长为， 则有，解得， 所以， 即倒入溶液的高度不能超过． 故答案为：． 三、解答题 13．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗）． （1）求扇形的圆心角的度数； （2）求圆锥的底面半径． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （1）先求出半径为的圆面积，结合面积为的扇形，即可作答． （2）利用圆锥的侧面展开图为一扇形，结合弧长公式：，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到，然后解方程求出r即可． 解：（1）解：∵一个半径为，面积为的扇形铁皮 ∴ ∴扇形的圆心角的度数为； （2）解：根据题意得 解得． 所以圆锥的底面半径r为 14．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图，这是圆锥侧面展开得到的扇形，此扇形半径，圆心角， （1）求的长． （2）求此圆锥高的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据弧长公式进行求解即可； （2）先求出底面半径，再用勾股定理求出圆锥的高即可． 解：（1）解：的长． （2）设的长为r，则，解得． 在中，， 由勾股定理得． 15．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． （1）求这个圆锥的侧面展开图中的度数； （2）如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【答案】（1）；（2）这根绳子的最短长度为 【分析】（1）结合侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角； （2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为的距离． 本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题． 解：（1）解： 设的度数为， 底面圆的周长等于， 解得． （2）解：连接，过作于， ∴， ∵由（1）得 ∴ ∵ 则 由， ∴， ∴， ∴， 即这根绳子的最短长度是． 16．（24-25六年级下·上海普陀·期末）如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为． （1）求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； （2）当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查圆锥的计算，掌握扇形的面积两个计算公式是解题的关键． （1）设该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为，根据扇形面积的两个公式，即和列关于的方程并求解即可； （2）根据扇形面积公式解：计算即可． 解：（1）解：设该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为． 根据题意，得， 解得． 答：该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为． （2）解：． 答：此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积为． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25九年级下·湖南衡阳·自主招生）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由三视图判断几何体的形状以及圆锥侧面积求法，正确得出几何体的形状是解题关键．由三视图可判断出几何体的形状，进而利用圆锥的侧面积公式求出答案． 解：由题意可得此几何体是圆锥， 底面圆的半径为：1，母线长为：3， 故这个几何体的侧面积为：． 故选：A． 2．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，点C为扇形的半径上一点，将沿折叠，点O恰好落在上的点D处，且，若将此扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是扇形，折叠的性质，熟练掌握圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关键． 连接，求出，利用弧长公式和圆的周长公式求解即可． 解：连接交于． 由折叠的知识可得：，， ， ， ， ∴ 设圆锥的底面半径为，母线长为， 根据题意得，， ． 故选：D． 3．（24-25九年级上·云南·阶段练习）如图，从边长为的正方形铁皮中，剪下一块圆心角为的扇形铁皮，要把它做圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形与圆锥之间的关系，勾股定理，弧长公式；理解扇形与圆锥之间的关系是解题的关键．由弧长公式得圆锥的底面圆的周长为，再由圆锥的底面圆的半径、高、母线之间的关系，即可求解． 解：圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为， 则， 解得：， 则这个圆锥形容器的高为（）， 故选：C． 4．（2025·江苏南京·二模）如图，圆锥的母线长为6，底面直径长为4，为的中点．将圆锥侧面沿母线剪开并展平，在展开图中，之间的距离为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面展开图，根据圆锥的底面圆周长是其侧面展开图得到是的扇形弧长可求出侧面展开图扇形的圆心角度数，过点M作于D，分别求出的长，再利用勾股定理即可求出答案． 解：设圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数为， 由题意得，， ∴， 如图所示，在扇形中，， 过点M作于D， ∴， ∴， ∴， ∴在展开图中，之间的距离为， 故选：D． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图是底面半径为6，高为8的实心圆锥体，现将圆锥体居中水平切一刀，下面的部分叫圆台，则该圆台的表面积是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面积，勾股定理，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键：圆锥的侧面积公式为（r为底面半径，l为母线长）． 画纵切面图，求出母线长以及截得的小圆锥体的底面半径和母线长，则圆台的表面积用计算即可． 解：如图，设圆锥沿高线的纵切面为，则半径为，高为， ∴母线长为， ∴居中的横断面半径为，上部圆锥的母线长为， ∴圆台的表面积为： ， 故选：A． 6．（2024·山东·模拟预测）如图，大圆柱上挖了一个小圆柱．已知大圆柱的底面和小圆柱的底面是同心圆，、分别是大圆柱和小圆柱的底面半径．若大圆柱的底面周长为，，小圆柱的体积为，小圆柱中放一个最大的圆锥，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱体积、圆锥侧面积和勾股定理，根据大圆柱柱的底面周长为和可求得圆柱的高，再结合小圆柱的体积为可求得小圆柱的底面半径，从而求得圆锥的母线，再根据圆锥侧面积公式解题即可． 解：大圆柱的底面周长为， 大圆柱的底面半径， ， 大圆柱的高， 又小圆柱的体积为， 小圆柱的底面面积为， 小圆柱的底面半径， 小圆柱中放了一个最大的圆锥， 圆锥的母线长， 该圆锥的侧面积为， 故选：A． 二、填空题 7．（2025年山东省潍坊市中考真题数学试题）如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，圆锥侧面积，先利用直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半计算出，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的面积公式计算圆锥的侧面积即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图， 由题意得，，， ∴， ∴圆锥侧面展开图的面积为， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转至，若用扇形围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为；用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为，则 （结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．过B点作于H点，如图，设，利用含30度角的直角三角形三边的关系求出，，再利用等腰直角三角形的性质得到，所以，接着根据旋转的性质得到，设，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2，，然后计算的值． 解：过B点作于H点，如图， 在中，设， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∵绕点A逆旋转一定的角度至， ∴， 设， ∵，， ∴． 故答案为：． 9．（2025·山东济宁·三模）如图，将半径为的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，算出围成圆锥的扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径，利用勾股定理即可求得圆锥的高． 解：∵将半径为的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面， ∴围成圆锥的弧长所对圆心角度数是， 围成圆锥的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为． 故答案为：． 10．（2025·青海西宁·二模）如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一个物体三视图（主视图，左视图，俯视图）的基本概念，由三视图得到圆锥体的高以及底面圆的半径是解本题的关键． 首先由主视图和左视图可以得到该物体为圆锥体且圆锥体的高为，再由俯视图得到圆锥体的底面圆的半径为，由勾股定理求得圆锥的母线长，最后由求解． 解：由图可知，该物体为圆锥，侧面展开图为扇形， 该圆锥底面半径， 该圆锥母线长为， 该圆锥底面周长为， ∴该物体侧面展开图的面积， 故答案为：． 11．（2022·广西崇左·一模）如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片，分别裁出扇形和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的相关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．设，则，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可． 解：设，则， 根据题意，得： ， 整理得： ∴ 解得：， 即：． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是 ． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键．根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解圆心角；再画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是； 根据侧面展开图的圆心角是，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 故答案为： 三、解答题 13．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，圆形铁皮的半径为，从中剪出一个圆心角的扇形，点都在上． （1）求扇形的面积； （2）将这个扇形围成一个圆锥，直接写出圆锥的底面半径和高． 【答案】（1）；（2）圆锥的底面半径为，高为 【分析】（1）先判断过圆心O，，然后由勾股定理求扇形的半径，再根据面积公式求解即可； （2）利用底面周长等于展开图的弧长，可求得半径径的长度，然后利用勾股定理即可求出圆锥的高． 解：（1）连接，， ∵， ∴过圆心O， ∴， ∵从中剪出一个圆心角的扇形， ∴． ∵， ∴， ∴扇形半径为； ∴； （2）设围成圆锥的底面半径为r，则， 解得， ∵圆锥的母线长， ∴圆锥的高为． 【点拨】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：①圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；②圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键． 14．（24-25九年级上·山东烟台·期末）有一直径为的圆形纸片，要从中剪出一个最大的圆心角是的扇形（如图）． （1）求被剪掉的阴影部分的面积； （2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？ （3）求圆锥的全面积． 【答案】（1）被剪掉的阴影部分的面积；（2）圆锥的底面圆的半径是；（3）圆锥的全面积是 【分析】本题需灵活掌握扇形的面积公式，结合勾股定理即可解决问题． （1）因为扇形的圆心角是，所以为的直径，是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出即扇形的半径，然后利用扇形面积=，再求出圆的面积即可求出答案； （2）利用扇形的底面圆的周长=展开图的弧长即可求解； （3）利用（2）的所求，圆锥的全面积=展开图中扇形的面积+底面圆的面积． 解：（1）解：连接， ， 为的直径． 在中，，且， ， ， ； 答：被剪掉的阴影部分的面积； （2）解：设圆锥底面半径为，则长为， ， ； 答：圆锥的底面圆的半径是； （3）解：． 答：圆锥的全面积是． 15．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，野兽派建筑的代表作，南非中兰德，中央水塔，由修建于1996年．它的造型是一个倒立的圆锥，底面圆的半径是20米，母线长为60米． （1）求这个圆锥的侧面积． （2）求此圆锥侧面扇形的圆心角． （3）现在在圆锥的底面上A处有一位攀岩高手，他要挑战从A出发沿着圆锥水塔的侧面绕一圈回到A点，则他爬动的最短距离是_________米． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】此题考查了圆锥的侧面展开图，侧面积、弧长的计算，勾股定理； （1）利用圆锥侧面积公式直接计算即可求解． （2）利用侧面展开图是以4为半径，2π为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角，进而即可求解； （3）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得他爬动的最短距离为腰长为，顶角为的等腰三角形的底边的长，进而即可求解． 解：（1）解：这个圆锥的侧面积为（平方米）； （2）解：设此圆锥侧面扇形的圆心角为， 底面周长为 解得： （3）解：如图所示，在侧面展开图中，由两点之间线段最短得他爬动的最短距离为腰长为，顶角为的等腰三角形的底边的长，过点作 依题意，， ∴， ∴ ∴米 故答案为：． 16．（2025·广东梅州·一模）综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 解：， ． ， ． 将圆锥侧面展开后得到圆心角为的扇形，如下图所示： 由图可知，． ， ． 在中，由勾股定理，得 彩带长度的最小值为． 【中考真题12题】 一、单选题 1．（2024·江苏无锡·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积底面半径母线长． 解：， 故选：B． 2．（2024·云南·中考真题）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公式计算即可求解，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键． 解：圆锥的底面圆周长为厘米， ∴圆锥的侧面积为平方厘米， 故选：． 3．（2023·江苏·中考真题）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得这个几何体为圆锥，然后求出圆锥的母线长为，再根据圆锥的侧面（扇形）面积公式，即可求解． 解：根据题意得：这个几何体为圆锥， 如图，过点作于点，    根据题意得：，，， ∴， ∴， 即圆锥的母线长为， ∴这个几何体的侧面积是． 故选：B 【点拨】本题主要考查了简单几何体的三视图，求圆锥的侧面积，根据题意得到这个几何体为圆锥是解题的关键． 二、填空题 4．（2025·江苏宿迁·中考真题）已知圆锥的底面半径为3，高为4，则其侧面积为 ． 【答案】 【分析】考查圆锥侧面积的计算，勾股定理，熟记侧面积计算公式是解题的关键． 根据已知和勾股定理求出母线的长，再根据圆锥侧面积公式即可求解． 解：由题意得母线长为， ∴其侧面积为， 故答案为：． 5．（2024·江苏南通·中考真题）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 解：圆锥的侧面积为； 故答案为：． 6．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了圆锥的侧面积公式以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母线长是解决问题的关键．根据圆锥的侧面积公式求出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数． 解：根据圆锥侧面积公式：，可得 解得：， ， 解得， 侧面展开图的圆心角是． 故答案为：． 7．（2016·湖北孝感·中考真题）若一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的母线长是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面积公式，以及扇形面积公式，设圆锥的母线长是，利用扇形面积公式表示出圆锥侧面积，再利用圆锥侧面积公式表示出圆锥侧面积，根据面积建立等式求解，即可解题． 解：设圆锥的母线长是， 则有， 整理得， 解得（不合题意，舍去），， 圆锥的母线长是； 故答案为：． 8．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆锥的侧面积是 （结果用含的式子表示）． 【答案】 120 【分析】根据勾股定理，先求出圆锥底面半径，进而得出底面周长，即圆锥展开图的弧长，根据圆锥母线为圆锥的侧面展开图的半径，结合扇形弧长公式和面积公式，即可求解． 解：根据勾股定理可得：圆锥底面半径， ∴该圆锥底面周长， ∵圆锥母线长为3， ∴该圆锥的侧面展开图的半径为3， ∴，解得：， 即展开图（扇形）的圆心角是120度， 圆锥的侧面积， 故答案为：120，． 【点拨】本题主要考查了求圆锥地面半径，扇形面积公式和弧长公式，解题的关键是掌握弧长，扇形面积． 9．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 （结果用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，再利用扇形的面积公式计算即可． 解：∵底面半径为， ∴圆锥底面圆的周长为， 即扇形纸片的弧长为， ∵母线长为， ∴圆锥的侧面积． 故答案为： 10．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为 ．（结果保留）    【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式代值求解即可得到答案． 解：圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为， 烟囱帽的侧面积（）， 故答案为：． 【点拨】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解决问题的关键． 11．（2023·湖南·中考真题）如图，某数学兴趣小组用一张半径为的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积为 ．（结果保留）    【答案】 【分析】根据圆锥底面半径，可以求出圆锥底面周长，底面圆周长即是扇形的弧长，根据扇形面积公式可求出扇形面积． 解：帽子底面圆周长为：， 则扇形弧长为， 扇形面积 故答案为： 【点拨】本题考查了扇形面积的计算，掌握圆锥的性质和扇形的面积公式是求解的关键． 12．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，在中，，，边上的高，将绕着所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为 ．    【答案】 【分析】由圆锥的侧面展开图是扇形，可得圆锥的侧面积公式，再根据题干数据进行计算即可． 解：由题意可得：旋转后的几何体是两个共底面的圆锥， ∵边上的高， ∴底面圆的周长为：， ∵，， ∴几何体的表面积为． 故答案为：． 【点拨】本题考查的是圆锥的侧面积的计算，几何体的形成，熟记圆锥的侧面积公式是解本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.8 圆锥的侧面积 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 【知识回顾】 1 知识点（一）圆锥相关定义 1 【新知探究】 2 知识点（二）圆锥的侧面积 2 【题型1】求圆锥侧面积与全面积 2 【题型2】求圆锥底面半径 3 【题型3】求圆锥的高 3 【题型4】求圆锥侧面展开图的圆心角 4 【题型5】圆锥的实际问题 4 【题型6】圆锥侧面上最短路径问题 5 二. 同步练习 6 【基础巩固（16题）】 6 【能力提升（16题）】 9 【中考真题12题】 14 一.知识梳理与题型分类精析 【知识回顾】 在半径为的圆中，弧长与所对的圆心角度数之间有如下的关系： 在半径为的圆中，扇形面积与所对的圆心角度数之间有如下的关系： 知识点（一）圆锥相关定义 母线：连接圆锥的顶点和底面圆上一点的线段叫做圆锥的母线，如图1，线段是圆锥的母线。 【新知探究】 设圆锥的母线长为，圆锥的底面圆半径为，我们如何求圆锥的侧面积呢？通过思考和圆锥展开图我们可以得出结论：圆锥展开图是一个扇形，这个扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，半径是圆锥的母线长，这样我们容易得出圆锥侧面展开图的面积： 知识点（二）圆锥的侧面积 设圆锥的母线长为，圆锥的底面圆半径为 【题型1】求圆锥侧面积与全面积 【例题 1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，求： （1）围成的圆锥的侧面积．（2）围成的圆锥的全面积． 【变式1】（23-24九年级上·江苏·期末）已知圆锥的底面圆半径为，母线长为．则这个圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知圆锥的底面半径为3，母线长为15，则该圆锥的侧面积为 ． 【题型2】求圆锥底面半径 【例题2】（24-25九年级上·甘肃·阶段练习）用一个圆心角为，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径是多少？ 【变式1】（24-25九年级上·北京·期末）如图，在矩形中，，点在边上，且，连接，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，将扇形剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）用一个圆心角为，半径为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面的半径为 ． 【题型3】求圆锥的高 【例题 3】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，正六边形的边长为6，点，在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，求这个圆锥的高． 【变式1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（   ） A．9 B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图所示的扇形中，半径，圆心角，用这个扇形围成一个圆锥的侧面． （1）则这个圆锥的底面半径 ． （2）这个圆锥的高 ． 【题型4】求圆锥侧面展开图的圆心角 【例题 4】（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，已知圆锥形石膏像的底面直径，母线长，求它的表面积（结果保留）和侧面展开图的圆心角． 【变式1】（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·天津和平·期末）已知圆锥的底面圆的半径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角的大小= （度）． 【题型5】圆锥的实际问题 【例题 5】（2025九年级下·全国·专题练习）一个圆锥形沙堆的占地面积是15平方米，高4米，把这堆沙子铺在宽8米的路上，平均铺5厘米厚，能铺路多少米？ 【变式1】（2024·云南昆明·一模）如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·云南·模拟预测）某同学发现家里的草帽可以近似看作一个圆锥，测量得母线长为50 ，高度为30 ，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长为 ． 【题型6】圆锥侧面上最短路径问题 【例题6】（2024·广东阳江·一模）综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【变式1】（23-24八年级上·辽宁·期末）今年9月23日是第五个中国农民丰收节，小明用3D打印机制作了一个底面周长为12cm，高为8cm的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（    ）    A． B．48cm C． D．20cm 【变式2】（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m． 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25六年级下·上海宝山·期末）一个圆锥的母线为，底面圆的直径为，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·三模）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥的母线长与底面圆半径的比为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为（   ）． A． B． C． D． 5．（2025·云南曲靖·二模）某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 6．（2025·河北沧州·模拟预测）已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25六年级下·上海宝山·期末）已知圆锥的底面半径为，母线长为，那么这个圆锥的表面积为 （保留）． 8．（24-25九年级下·云南楚雄·阶段练习）若将半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是 ． 9．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，圆锥的高为，母线的长为，则该圆锥侧面展开图对应的扇形的圆心角为 ． 10．（24-25九年级上·全国·随堂练习）若圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为 ． 11．（2025·山东济宁·模拟预测）如图，将半径为8的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ． 12．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）在化学实验室中，可以通过过滤的方法净化溶液或水．如图，滤纸的折叠方法：取一直径为的圆形滤纸，对折两次，形成圆后，然后一边一层另外一边三层从中间拉开成锥形放入漏斗．当滤纸紧贴漏斗内壁时，倒入溶液的高度不能超过 ．    三、解答题 13．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗）． （1）求扇形的圆心角的度数；（2）求圆锥的底面半径． 14．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图，这是圆锥侧面展开得到的扇形，此扇形半径，圆心角， （1）求的长． （2）求此圆锥高的长． 15．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． （1）求这个圆锥的侧面展开图中的度数； （2）如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 16．（24-25六年级下·上海普陀·期末）如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为． （1）求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； （2）当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留） 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25九年级下·湖南衡阳·自主招生）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积为（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，点C为扇形的半径上一点，将沿折叠，点O恰好落在上的点D处，且，若将此扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·云南·阶段练习）如图，从边长为的正方形铁皮中，剪下一块圆心角为的扇形铁皮，要把它做圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏南京·二模）如图，圆锥的母线长为6，底面直径长为4，为的中点．将圆锥侧面沿母线剪开并展平，在展开图中，之间的距离为（   ） A．4 B． C． D． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图是底面半径为6，高为8的实心圆锥体，现将圆锥体居中水平切一刀，下面的部分叫圆台，则该圆台的表面积是（　） A． B． C． D． 6．（2024·山东·模拟预测）如图，大圆柱上挖了一个小圆柱．已知大圆柱的底面和小圆柱的底面是同心圆，、分别是大圆柱和小圆柱的底面半径．若大圆柱的底面周长为，，小圆柱的体积为，小圆柱中放一个最大的圆锥，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2025年山东省潍坊市中考真题数学试题）如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为 ． 8．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转至，若用扇形围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为；用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为，则 （结果保留根号） 9．（2025·山东济宁·三模）如图，将半径为的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ． 10．（2025·青海西宁·二模）如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为 ． 11．（2022·广西崇左·一模）如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片，分别裁出扇形和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 ． 12．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是 ． 三、解答题 13．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，圆形铁皮的半径为，从中剪出一个圆心角的扇形，点都在上． （1）求扇形的面积； （2）将这个扇形围成一个圆锥，直接写出圆锥的底面半径和高． 14．（24-25九年级上·山东烟台·期末）有一直径为的圆形纸片，要从中剪出一个最大的圆心角是的扇形（如图）． （1）求被剪掉的阴影部分的面积； （2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？ （3）求圆锥的全面积． 15．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，野兽派建筑的代表作，南非中兰德，中央水塔，由修建于1996年．它的造型是一个倒立的圆锥，底面圆的半径是20米，母线长为60米． （1）求这个圆锥的侧面积． （2）求此圆锥侧面扇形的圆心角． （3）现在在圆锥的底面上A处有一位攀岩高手，他要挑战从A出发沿着圆锥水塔的侧面绕一圈回到A点，则他爬动的最短距离是_________米． 16．（2025·广东梅州·一模）综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【中考真题12题】 一、单选题 1．（2024·江苏无锡·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·云南·中考真题）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 3．（2023·江苏·中考真题）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（    ）．    A． B． C． D． 二、填空题 4．（2025·江苏宿迁·中考真题）已知圆锥的底面半径为3，高为4，则其侧面积为 ． 5．（2024·江苏南通·中考真题）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为 ． 6．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 ． 7．（2016·湖北孝感·中考真题）若一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的母线长是 ． 8．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆锥的侧面积是 （结果用含的式子表示）． 9．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 （结果用含的式子表示）． 10．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为 ．（结果保留）    11．（2023·湖南·中考真题）如图，某数学兴趣小组用一张半径为的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积为 ．（结果保留）    12．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，在中，，，边上的高，将绕着所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为 ．    2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$