2.8 圆锥的侧面积（题型专练）数学苏科版九年级上册

2.8 圆锥的侧面积 题型一 圆锥侧面积公式的应用 1．（2025·秦淮区·一模）已知圆锥底面圆的半径为2，母线长为3，则该圆锥侧面展开图的面积是（　　） A．3π B．5π C．6π D．12π 【详解】解：∵圆锥底面圆的半径为2，母线长为3， ∴圆锥侧面展开图的面积是π×2×3＝6π． 故选：C． 2．（2025·邳州市·月考）一个圆锥的底面直径是8，母线长是7，则圆锥的侧面积是（　　） A．16π B．28π C．42π D．56π 【详解】解：∵圆锥的底面直径是8，母线长是7， ∴圆锥的底面周长为8π， ∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为8π， ∴圆锥的侧面积是：8π×7＝28π． 故选：B． 3．（2024·丹阳市·期末）如果圆锥侧面展开图的面积是20π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【详解】解：令圆锥的底面半径为r， 则π•r•5＝20π，解得：r＝4， ∴圆锥的底面半径为4． 故选：B． 4．（2025·工业园区·月考）如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6cm，圆锥的侧面积为15π cm2，则母线AB的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【详解】解：∵BC为底面直径，BC＝6cm， ∴圆锥的底面周长为6πcm， ∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为6πcm， 由题意可得：6π×AB＝15π，解得：AB＝5． 故选：C． 题型二 圆锥中勾股定理的应用 1．（2025·南通·模拟）用半径为5的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是4，则该圆锥的底面周长是（　　） A．3π B．4π C．5π D．6π 【详解】解：， 2×π×3＝6π， ∴圆锥的底面周长是6π． 故选：D． 2．（2025·邗江区·三模）已知圆锥的高是，底面圆半径为2，则该圆锥的侧面展开图面积为　　． 【详解】解：∵圆锥的高是，底面圆半径为2， ∴圆锥的母线长为， ∴该圆锥的侧面展开图面积为2×4×π＝8π． 故答案为：8π． 3．（2025·锡山区·二模）已知圆锥的侧面积为20π，底面半径为4，则圆锥的高是　　． 【详解】解：设圆锥的母线长为R， 则2π×4×R＝20π，解得：R＝5， 由勾股定理可得：圆锥的高为：3． 故答案为：3． 4．（2023·广陵区·期末）为了给同学庆祝生日，小明自己动手用扇形纸片制作了一顶圆锥形生日帽，生日帽的底面圆半径r为7cm，高h为24cm，则该扇形纸片的面积为　　cm2． 【详解】解：∵生日帽的底面圆半径r为7cm，高h为24cm， ∴圆锥的母线长为25（cm）， ∵底面圆半径r为7cm， ∴底面周长＝14πcm， ∴该扇形纸片的面积为14π×25＝175π（cm2）． 故答案为：175π． 题型三 圆锥全面积公式的应用 1．（2024·无锡·二模）已知圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，则这个圆锥的全面积是（　　） A．60πcm2 B．96πcm2 C．132πcm2 D．168πcm2 【详解】解：由题意可得：这个圆锥的全面积2π×6×10+π×62＝60π+36π＝96π（cm2）． 故选：B． 2．（2024·通州区·期中）某校九年级学生参加社团活动，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为90cm，底面圆的直径为80cm，则该圆锥的全面积为（　　） A．3600πcm2 B．5200πcm2 C．7200πcm2 D．8800πcm2 【详解】解：∵圆锥的底面直径是80cm， ∴底面圆的半径为40cm， ∴圆锥的底面积为402π＝1600π（cm2）， 圆锥的侧面积＝π×40×90＝3600π（cm2）， ∴圆锥的全面积为1600π+3600π＝5200π（cm2）． 故选：B． 3．（2025·工业园区·模拟）圆锥的侧面展开图是一个半圆（如图所示），它的底面圆的直径为4cm，母线长为4cm，则该圆锥的表面积为　　cm2． 【详解】解：∵圆锥底面圆的直径为4cm， ∴圆锥底面圆的半径为2cm， ∵母线长为4cm， ∴圆锥的侧面积为：π×2×4＝8π（cm2）， ∵圆锥的底面积为π×22＝4π（cm2）， ∴圆锥的表面积为：8π+4π＝12π（cm2）． 故答案为：12π． 4．（2022·海安市·月考）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．把它沿AC所在直线旋转一周，所得几何体的全面积为　　． 【详解】解：Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4． ∴AB＝5， ∵Rt△ABC沿边BC所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，圆锥的母线长为5，底面圆的半径为3， ∴所得到的几何体的全面积＝π×4×5+π×42＝36π． 故答案为：36π． 题型四 圆锥与扇形综合——求圆心角 1．（2025·徐州·一模）已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为（　　） A．90° B．180° C．135° D．120° 【详解】解：设其侧面展开扇形的圆心角的度数为n°， 由题意可得：2π×3，解得：n＝90． 故选：A． 2．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（　　） A．120° B．150° C．180° D．240° 【详解】解：设母线长为R，底面半径为r， ∴底面周长＝2πr，底面面积＝πr2，侧面面积lR＝πrR， ∵侧面积是底面积的2倍， ∴2πr2＝πrR， ∴R＝2r， 设圆心角为n，则πR＝2πr， ∴n＝180°． 故选：C． 3．（2025·宿城区·二模）如图，从一张圆形纸片上剪出一个小圆形和一个扇形分别作为圆锥的底面和侧面，其中小圆的直径是大圆的半径．下列剪法恰好能配成一个圆锥的是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：设大圆的半径为R，则小圆的半径都为R， 由圆锥的底面圆的周长等于扇形弧长可得：2πR＝， ∴n＝180°， ∴扇形圆心角等于180°， ∴只有D选项符合题意． 故选：D． 4．（2025·兴化市·二模）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为8πcm，侧面积为72πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 【详解】解：设圆锥的母线长为lcm，扇形的圆心角为n°， ∵圆锥的底面圆周长为8π cm， ∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为8π cm， 由题意可得：，解得：， ∴扇形的圆心角为80°． 故选：B． 5．（2023·海陵区·模拟）已知一个圆锥的侧面积与全面积的比为3：5，则其侧面展开图的圆心角为　　°． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，侧面展开图的圆心角为n°， 圆锥的侧面积2πr×l＝πrl，圆锥的全面积＝πrl+πr2， ∵圆锥的侧面积与全面积的比为3：5， ∴πrl：（πrl+πr2）＝3：5， ∴lr， ∵2πr，解得：n＝240， ∴圆锥侧面展开图的圆心角为240°． 故答案为：240． 题型五 圆锥与扇形综合——求半径 1．（2025·姑苏区·一模）已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其母线长为4，则其底面圆半径为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】解：设圆锥底面圆半径为r， 由圆锥侧面展开图是一个半圆可得：， ∴r＝2． 故选：B． 2．（2024·无锡·期中）“奇妙”手工课堂开课啦!一起动手试试吧：拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，尝试后发现圆恰好是该圆锥的底面．（圆心O2与圆锥顶点同在如图虚线上）测量后得知，圆锥母线长16cm，则以下这张正方形纸片的边长是（　　）cm． A． B． C．20 D． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r cm， 由题意可得：2πr，解得：r＝4， ∴正方形的对角线的长＝16+4+4（20+4）cm， ∴正方形的边长为（104）cm． 故选：B． 3．（2024·东海县·模拟）如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面积为（　　） A．4πcm2 B．6πcm2 C．9πcm2 D．12πcm2 【详解】解：如图， 由弧长公式可知：4π ∴底面圆的周长为4π， 设底面圆的半径为CD＝r， ∴4π＝2πr，解得：r＝2， ∴圆锥的底面积为π×22＝4π． 故选：A． 4．（2025·丹徒区·二模）如图，正方形ABCD的边长为6，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是　　． 【详解】解：∵， ∴， ∵正方形的边长为6，则l＝6，∠DAE＝45°， ∴解得：． 故答案为：． 题型六 求圆柱的侧面积 1．（2023·宿迁·一模）若圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆柱的侧面积为（　　） A．12cm2 B．24cm2 C．12πcm2 D．24πcm2 【详解】解：由侧面积公式可得：π×2×3×4＝24π（cm2）． 故选：D． 2．（2022·宜兴市·一模）如果圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是　　． 【详解】解：这个圆柱的侧面积＝5×2π×2＝20π（cm2）． 故答案为：20πcm2． 3．（2024·秦淮区·模拟）已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆柱的侧面积是　　cm2． 【详解】解：π×2×3×5＝30π（cm2）． 故答案为：30π． 4．（2023·衢州·一模）图1是一个圆柱体，图2是它的主视图．若AB＝6cm，BC＝4cm，则该圆柱体的侧面积为　　cm2． 【详解】解：由题意可知：该圆柱底面圆的半径为BC＝4cm，高为AB＝6cm， 则该圆柱的侧面积为S＝π×4×6＝24π（cm2）． 故答案为：24π． 题型一 几何体表面的最短路径问题 1．（2025•建邺区二模）如图，圆锥的母线AB长为6，底面直径BC长为4，M为AB的中点．将圆锥侧面沿母线剪开并展平，在展开图中M，C之间的距离为（　　） A．4 B． C． D． 【详解】解：令圆锥侧面展开扇形圆心角的度数为n°， 则，解得：n＝120， 如图， ∵∠BAB'＝120°， ∴∠BAC∠BAB'＝60°， 又∵点M是AN的中点， ∴AMAB＝3， 在Rt△AMC中，CM． ∴展开图中M，C之间的距离为． 故选：D． 2．（2022·江都区·期中）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的长度可能是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【详解】解：设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n°， 底面圆的周长等于：2π×2，解得：n＝120， 如图，连接AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD＝60°，AC＝2AD， ∵AB＝6， ∴BD＝3， ∴AD＝3， ∴AC＝2AD＝6，即这根绳子的最短长度是6， ∴这根绳子的长度可能是11． 故选：D． 3．如图，AB为圆锥轴截面△ABC的一边，一只蚂蚁从B地出发，沿着圆锥侧面爬向AC边的中点D，其中AB＝6，OB＝3，请蚂蚁爬行的最短距离为　　． 【详解】解：如图，圆锥的侧面展开图为扇形CAC′， 设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°， 由题意可得：2π×3，解得：n＝180， ∴∠CAB′＝90°， ∵D为AC的中点， ∴AD＝3， 在Rt△ADB′中，B′D3， ∴蚂蚁爬行的最短距离为3． 故答案为3． 题型二 与圆锥有关的综合题 1．（2024·盐城·期中）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为25cm、高为20cm的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． （1）这顶锥形草帽的底面半径为　　cm，侧面积为　　cm2；（结果保留π） （2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【详解】解：（1）∵母线长为25cm、高为20cm， ∴底面半径为r15（cm）， ∴侧面积为πrl＝15×25π＝375π（cm2）， 故答案为：15，375π； （2）设扇形卡纸的圆心角的度数为n°， 由题意可得：，解得：n＝216， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为21°． 2．（2023·工业园区·模拟）如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC将扇形EAF围成圆锥时，AE、AF恰好重合，已知这种加工材料的顶角∠BAC＝90°． （1）求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值； （2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π） 【详解】解：（1）由题意可得：π•DE， ∴DEAD， ∴ED与母线AD长的比值为； （2）由（1）可知：AD＝2DE＝10cm， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC， ∴BC＝2AD＝20cm， ∴S阴影部分＝S△ABC﹣S扇形EAF 10×20 ＝（100﹣25π）cm2， 答：加工材料剩余部分的面积为（100﹣25π）cm2． 3．（2022·赣榆区·月考）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4）、B（﹣4，4）、C（﹣6，2），请在网格图中进行如下操作： （1）若该圆弧所在圆的圆心为D点，则点D的坐标为　　． （2）连接AD、CD，求扇形ADC的面积． （3）若将扇形ADC卷为一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面圆的半径（结果保留根号）． 【详解】解：（1）如图，分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D， 则点D即为该圆弧所在圆的圆心， 由图形可知：点D的坐标为（﹣2，0）， 故答案为：（﹣2，0）； （2）由题意可知：圆D的半径长2， AC2，即AC2＝40， AD2+CD2＝20+20＝40， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴∠ADC＝90°， ∴5π， 答：扇形ADC的面积为5π； （3）设圆锥的底面圆的半径长为r， 则2πr，解得：r， 答：该圆锥的底面圆的半径为． 4．（2024·灌云县·月考）综合与实践 主题：装饰锥形草帽． 素材：母线长为25cm、高为20cm的锥形草帽（如图（1））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸． 步骤1：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角1：2：1：2：3的比例剪成半径为25cm的扇形． 步骤2：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽． 计算与探究： （1）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数； （2）如图（2），根据（1）的计算过程，直接写出圆锥的高h、母线长a与侧面展开图的圆心角度数n°之间的数量关系：　　． 【详解】解：（1）圆锥的底面半径为15（cm）， 设侧面展开图的圆心角为n°， 则2π×15，解得：n＝216°， ∴216°24°， 答：红色扇形卡纸的圆心角的度数为24°； （2）∵圆锥的底面半径为， ∴2π， ∴n， 故答案为：n． 1．（2024·连云港·期末）如图1，商家销售某些饮品时会给杯子在杯身上套上一个杯套，方便拿取．小欣同学深受启发，准备为家中如图2所示的两种玻璃杯也配上杯套．（说明：整个探究过程中均忽略杯套的连接部分和杯套的厚度）． （1）小欣家直身杯的杯口直径为7cm，她要制作高度为6cm的杯套，则此杯套的面积为　　cm2（结果保留π）； （2）小欣发现阔口杯近似为圆台形状（即一个大圆锥截去一个小圆锥后余下的部分），如图3①所示，通过测量，杯子上口径AB＝9cm，下底面直径CD＝4cm，母线长AC、BD均为7.5cm．为了制作此杯套，小欣进行了以下探究： ①如图3②，小欣画出了阔口杯的侧面展开图示意图，发现它是圆环的一部分，且，请证明这个结论，并求出所对的圆心角∠APA'的度数； ②现有一张矩形杯套材料，如图4②所示，DE＝7.5cm，，为了充分利用材料，请在图4②的矩形中画出杯套侧面展开图示意图（杯套示意图无拼接），并直接写出用该材料制作此阔口杯套的母线MN的最大长度． 【详解】（1）解：根据题意得， 故答案为：42π； （2）证明：①设与所对的圆心角为n°， ∴的长＝360•2π•，， ∴， ∵杯子上口径AB＝9cm，下底面直径CD＝4cm， ∴的长＝9π，的长＝4π，PA＝PC+7.5， ∴，解得：PC＝6， ∴PA＝13.5， ∴，解得：n＝120， ∴所对的圆心角∠APA'的度数为120°； ②如图，连接MM′交PQ于T， 设ON＝a cm，MN＝b cm，则OM＝（a+b）cm， 由①可知：∠MOM′＝120°， 由对称性可知：P为DG中点，TM＝TM′，NR＝N′R，R为EF中点， ∴2π（a+b）π（a+b），πa，EREF＝6cm，PQ⊥MM′， ∴MM′∥EF， ∵∠MOM′＝120°，OM＝OM′， ∴∠NMM′＝∠ONN′＝30°， ∴ORONa cm，MTOT（a+b）cm， ∴PR＝OP﹣OR＝（a+b）cm， ∴，即， ∴， ∴ ∴b≤4.5， ∴MN的最大长度为4.5cm． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.8 圆锥的侧面积 题型一 圆锥侧面积公式的应用 1．（2025·秦淮区·一模）已知圆锥底面圆的半径为2，母线长为3，则该圆锥侧面展开图的面积是（　　） A．3π B．5π C．6π D．12π 2．（2025·邳州市·月考）一个圆锥的底面直径是8，母线长是7，则圆锥的侧面积是（　　） A．16π B．28π C．42π D．56π 3．（2024·丹阳市·期末）如果圆锥侧面展开图的面积是20π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2025·工业园区·月考）如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6cm，圆锥的侧面积为15π cm2，则母线AB的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 题型二 圆锥中勾股定理的应用 1．（2025·南通·模拟）用半径为5的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是4，则该圆锥的底面周长是（　　） A．3π B．4π C．5π D．6π 2．（2025·邗江区·三模）已知圆锥的高是，底面圆半径为2，则该圆锥的侧面展开图面积为　　． 3．（2025·锡山区·二模）已知圆锥的侧面积为20π，底面半径为4，则圆锥的高是　　． 4．（2023·广陵区·期末）为了给同学庆祝生日，小明自己动手用扇形纸片制作了一顶圆锥形生日帽，生日帽的底面圆半径r为7cm，高h为24cm，则该扇形纸片的面积为　　cm2． 题型三 圆锥全面积公式的应用 1．（2024·无锡·二模）已知圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，则这个圆锥的全面积是（　　） A．60πcm2 B．96πcm2 C．132πcm2 D．168πcm2 2．（2024·通州区·期中）某校九年级学生参加社团活动，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为90cm，底面圆的直径为80cm，则该圆锥的全面积为（　　） A．3600πcm2 B．5200πcm2 C．7200πcm2 D．8800πcm2 3．（2025·工业园区·模拟）圆锥的侧面展开图是一个半圆（如图所示），它的底面圆的直径为4cm，母线长为4cm，则该圆锥的表面积为　　cm2． 4．（2022·海安市·月考）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．把它沿AC所在直线旋转一周，所得几何体的全面积为　　． 题型四 圆锥与扇形综合——求圆心角 1．（2025·徐州·一模）已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为（　　） A．90° B．180° C．135° D．120° 2．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（　　） A．120° B．150° C．180° D．240° 3．（2025·宿城区·二模）如图，从一张圆形纸片上剪出一个小圆形和一个扇形分别作为圆锥的底面和侧面，其中小圆的直径是大圆的半径．下列剪法恰好能配成一个圆锥的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·兴化市·二模）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为8πcm，侧面积为72πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 5．（2023·海陵区·模拟）已知一个圆锥的侧面积与全面积的比为3：5，则其侧面展开图的圆心角为　　°． 题型五 圆锥与扇形综合——求半径 1．（2025·姑苏区·一模）已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其母线长为4，则其底面圆半径为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·无锡·期中）“奇妙”手工课堂开课啦!一起动手试试吧：拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，尝试后发现圆恰好是该圆锥的底面．（圆心O2与圆锥顶点同在如图虚线上）测量后得知，圆锥母线长16cm，则以下这张正方形纸片的边长是（　　）cm． A． B． C．20 D． 3．（2024·东海县·模拟）如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面积为（　　） A．4πcm2 B．6πcm2 C．9πcm2 D．12πcm2 4．（2025·丹徒区·二模）如图，正方形ABCD的边长为6，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是　　． 题型六 求圆柱的侧面积 1．（2023·宿迁·一模）若圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆柱的侧面积为（　　） A．12cm2 B．24cm2 C．12πcm2 D．24πcm2 2．（2022·宜兴市·一模）如果圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是　　． 3．（2024·秦淮区·模拟）已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆柱的侧面积是　　cm2． 4．（2023·衢州·一模）图1是一个圆柱体，图2是它的主视图．若AB＝6cm，BC＝4cm，则该圆柱体的侧面积为　　cm2． 题型一 几何体表面的最短路径问题 1．（2025•建邺区二模）如图，圆锥的母线AB长为6，底面直径BC长为4，M为AB的中点．将圆锥侧面沿母线剪开并展平，在展开图中M，C之间的距离为（　　） A．4 B． C． D． 2．（2022·江都区·期中）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的长度可能是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 3．如图，AB为圆锥轴截面△ABC的一边，一只蚂蚁从B地出发，沿着圆锥侧面爬向AC边的中点D，其中AB＝6，OB＝3，请蚂蚁爬行的最短距离为　　． 题型二 与圆锥有关的综合题 1．（2024·盐城·期中）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为25cm、高为20cm的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． （1）这顶锥形草帽的底面半径为　　cm，侧面积为　　cm2；（结果保留π） （2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 2．（2023·工业园区·模拟）如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC将扇形EAF围成圆锥时，AE、AF恰好重合，已知这种加工材料的顶角∠BAC＝90°． （1）求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值； （2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π） 3．（2022·赣榆区·月考）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4）、B（﹣4，4）、C（﹣6，2），请在网格图中进行如下操作： （1）若该圆弧所在圆的圆心为D点，则点D的坐标为　　． （2）连接AD、CD，求扇形ADC的面积． （3）若将扇形ADC卷为一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面圆的半径（结果保留根号）． 4．（2024·灌云县·月考）综合与实践 主题：装饰锥形草帽． 素材：母线长为25cm、高为20cm的锥形草帽（如图（1））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸． 步骤1：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角1：2：1：2：3的比例剪成半径为25cm的扇形． 步骤2：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽． 计算与探究： （1）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数； （2）如图（2），根据（1）的计算过程，直接写出圆锥的高h、母线长a与侧面展开图的圆心角度数n°之间的数量关系：　　． 1．（2024·连云港·期末）如图1，商家销售某些饮品时会给杯子在杯身上套上一个杯套，方便拿取．小欣同学深受启发，准备为家中如图2所示的两种玻璃杯也配上杯套．（说明：整个探究过程中均忽略杯套的连接部分和杯套的厚度）． （1）小欣家直身杯的杯口直径为7cm，她要制作高度为6cm的杯套，则此杯套的面积为　　cm2（结果保留π）； （2）小欣发现阔口杯近似为圆台形状（即一个大圆锥截去一个小圆锥后余下的部分），如图3①所示，通过测量，杯子上口径AB＝9cm，下底面直径CD＝4cm，母线长AC、BD均为7.5cm．为了制作此杯套，小欣进行了以下探究： ①如图3②，小欣画出了阔口杯的侧面展开图示意图，发现它是圆环的一部分，且，请证明这个结论，并求出所对的圆心角∠APA'的度数； ②现有一张矩形杯套材料，如图4②所示，DE＝7.5cm，，为了充分利用材料，请在图4②的矩形中画出杯套侧面展开图示意图（杯套示意图无拼接），并直接写出用该材料制作此阔口杯套的母线MN的最大长度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$