专题 2.7 弧长及扇形的面积（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（苏科版）

专题 2.7 弧长及扇形的面积 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 【知识回顾】 1 【新知探究】 1 知识点（一）弧长公式 1 【题型1】利用弧长公式进行计算 2 【新知探究】 4 知识点（二）扇形面积公式（1） 5 【题型2】利用扇形面积公式进行计算 5 【新知探究】 7 知识点（三）扇形面积公式（2） 7 【题型3】扇形面积公式和弧长公式关系 7 【新知探究】 8 知识点（四）不规则图形面积 9 【题型4】求弓形面积 9 【题型5】求不规则图形面积 12 二. 同步练习 15 【基础巩固（12题）】 15 【能力提升（12题）】 25 【中考真题12题】 39 一.知识梳理与题型分类精析 【知识回顾】 1.弧：圆上任意两点间的部分叫做弧； 2.扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.弧是圆的一部分,扇面是圆面的一部分. 【新知探究】 我们知道，的圆心角所对弧，半径为圆的周长为，所以的圆心角所对的弧为.这样我们就得到了弧长公式： 知识点（一）弧长公式 在半径为的圆中，弧长与所对的圆心角度数之间有如下的关系： 【题型1】利用弧长公式进行计算 【例题 1】（24-25九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，已知是的直径，点为上一点，点为延长线上一点，若，且． （1）求证：是的切线；（2）若的半径为3，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了圆的切线的判定定理、等腰三角形的性质、圆周角定理以及弧长的计算，解题的关键是连接半径构造等腰三角形，利用角度关系证明切线，再结合弧长公式计算弧长． （1）连接利用等腰三角形性质和圆周角定理求出和的度数，进而得到，证明是切线； （2）根据半径求出直径，结合（1）中得到的圆心角的度数，利用弧长公式计算的长． 解：（1）证明：连接． ∵（同圆半径相等）， ∴（等腰三角形两底角相等）． ∵， ∴． ∵ ∴（等腰三角形两底角相等）． 在中，． ∴，即． ∵是的半径， ∴是的切线（切线的判定定理）． （2）解：∵的半径为3， ∴． 由（1）知， 在中，． ∴的长为 答：的长为． 【变式1】（2025·安徽合肥·三模）如图，为的直径，，劣弧的长，则弦的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，勾股定理； 先利用弧长公式求出，再根据勾股定理计算即可． 解：连接， 设的度数为， ∵， ∴半径， 则， ∴， ∴弦， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，分别切于点为，，若，弧的长为，则的半径为 ． 【答案】36 【分析】本题考查切线性质（圆的切线垂直于过切点的半径 ）与弧长公式（ ），关键是利用切线性质求圆心角，结合弧长公式列方程求解． 连接 、，利用切线性质得 、，结合四边形内角和求圆心角，再用弧长公式列方程求半径． 解：连接 、 ， 分别切 于 ， ，，即 四边形 内角和为 ， 又 弧 长 ， 解得 故答案为： 【新知探究】 我们知道，半径为圆的面积，所以的圆心角所对的弧为.这样我们就得到了扇形的面积公式： 知识点（二）扇形面积公式（1） 在半径为的圆中，扇形面积与所对的圆心角度数之间有如下的关系： 【题型2】利用扇形面积公式进行计算 【例题2】（2024·四川攀枝花·中考真题）如图，是的直径，弦平分，过点的切线交于点，． （1）求证：； （2）若，求扇形的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，扇形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由切线的性质得到，推出，得到，得出，即可得到结论； （2）根据圆周角定理得到，求出的半径，得到． 解：（1）证明：是的切线， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：平分， ， ， ，是的直径， 的半径， ． 【变式1】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点、、、都在边长为1的网格格点上，以为圆心，为半径画弧，弧经过格点，则扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了网格的特点，勾股定理，扇形面积，根据网格的特点求得圆心角和半径是解题的关键． 根据题意以及网格的特点求得，圆弧的半径为，进而根据扇形面积公式进行计算即可． 解：依题意，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上， ,， 扇形的面积． 故选D． 【变式2】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，是的直径，弦，，，则阴影部分的面积为 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、求扇形面积，关键是把不规则图形面积转化为规则图形面积计算．连接，由垂径定理知垂直平分，则，则阴影部分面积等于扇形的面积，由此即可求解． 解：如图，连接， ∵是的直径，弦， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴阴影部分面积； 故答案为：． 【新知探究】 我们知道，圆心角为，半径为的弧长公式为，面积公式为，这样我们就得到了扇形的面积公式和弧长的关系： 知识点（三）扇形面积公式（2） 在半径为的圆中，扇形面积与所对的圆心角度数之间有如下的关系： 【题型3】扇形面积公式和弧长公式关系 【例题3】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知扇形的半径为6，弧长为，则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积公式及弧长公式，根据扇形面积公式，计算即可．解题关键是找到弧长公式与面积公式之间得关系． 解：扇形面积． 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知扇形的面积为，扇形的弧长是，则该扇形半径为（    ） A．6 B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积与弧长公式的应用，解答本题的关键是掌握扇形面积的计算公式．根据扇形的面积公式（其中为面积，为弧长，为半径），结合已知的弧长和面积，直接解方程即可求得半径． 解：设扇形的半径为， 根据扇形的面积公式， 解得． 故选：． 【变式2】（23-24九年级上·天津静海·阶段练习）一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是（    ） A．120° B．150° C．60° D．100° 【答案】B 【分析】利用扇形的弧长与面积公式确定出所求圆心角即可． 解：设这个扇形的半径为r，圆心角是n，面积为S，弧长为l， 由题意得：，即240π＝×20πr， 解得：r＝24， 又由可得：， 解得：， 故选：B． 【新知探究】 我们知道，圆心角为，半径为的弧长公式为，面积公式为，这样我们就得到了扇形的面积公式和弧长的关系： 知识点（四）不规则图形面积 解题思路：不规则图形面积转化为规则图形面积。方法：通过割补法、平移转化法求面积 【题型4】求弓形面积 【例题3】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，是的直径，，，的平分线交于点D． （1）求的度数； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，弓形的面积等，掌握圆周角定理及扇形面积公式是解题的关键． （1）由直径所对的圆周角为90度可得，再根据同弧所对的圆周角相等即可求解； （2）由勾股定理计算出，由圆周角定理得出，阴影部分的面积． 解：（1）解：是的直径， ， 平分， ， 和都是所对的圆周角， ； （2）解：，，， ， ， 如图，连接， 由（1）知， ， ， ， 阴影部分的面积． 【变式1】（2025·宁夏中卫·三模）如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画弧，得到的封闭图形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长，则“勒洛三角形”与等边围成阴影部分的面积等于 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，等边三角形的性质，勾股定理，过点A作于H，由等边三角形的性质得到，，则由勾股定理可得，再根据计算求解即可． 解：如图所示，过点A作于H， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式2】（2025·河南周口·二模）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求扇形面积，勾股定理与网格问题，连接，证明，进而根据三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算即可求解． 解：如图所示，连接， ∵小正方形的边长为2， ∴ ∴， ∴图中阴影部分的面积是 故选：A． 【题型5】求不规则图形面积 【例题5】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，以为直径的与边交于点D． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）相切，理由见分析；（2） 【分析】（1）由题意得，即，结合是的直径，即可得直线与相切． （2）连接，易得是等腰直角三角形，进而得，则可求得的面积，由即可求解． 解：（1）解：直线与相切， 理由：∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴直线与相切． （2）解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 答：阴影部分面积为． 【点拨】本题考查了切线的判定及性质，等腰三角形的判定与性质，直径对的圆周角是直角，不规则图形的面积等知识，掌握这些知识是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级下·河南信阳·阶段练习）如图，正方形的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为，的中点．以点C为圆心，4为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，扇形面积的计算，不规则图形面积的计算，理解图示，掌握不规则图形面积的转换，扇形面积的计算是解题的关键．根据正方形的性质可得弓形与弓形相等，由，即可求解． 解：如图，连接，三点共线， ∵四边形是正方形，点E，F分别为，的中点， ，， ， 在和中， ， ，，， ， 则弓形与弓形相等， ． 故选：B． 【变式2】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 （结果保留） 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积公式，旋转变换等知识，含角的直角三角形特征，勾股定理，根据计算即可，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积． 解：∵旋转， ∴， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 二. 同步练习​ 【基础巩固（12题）】 一、单选题 1．（24-25九年级下·湖南湘西·阶段练习）已知扇形的半径为 ，圆心角为，则扇形的弧长为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求扇形的弧长，正确理解扇形弧长公式是解题的关键．根据扇形的弧长公式计算，即得答案． 解：，圆心角为， ． 故选：A． 2．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长公式的应用．利用弧长公式求解即可． 解：设圆心角为，根据题意得： ， 解得：， ∴该扇形的圆心角的度数是， 故选：B． 3．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，与竹文化、道教文化有着密切关系．中国历来有“制扇王国”之称．如图1，是一把打开的扇子，转化为数学模型如图2所示，它是以O为圆心．、长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求扇形面积，根据扇形面积公式，求出大扇形和小扇形的面积，最后根据即可求解．解题的关键是掌握扇形面积公式． 解：根据题意可得： ∵，，， ∴，， ∴， 故选：C． 4．（2025·安徽安庆·一模）如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，弓形面积；先证明是等边三角形，推出，直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 解：， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 二、填空题 5．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知扇形的弧长是，圆心角，则这个扇形的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式：，其中是弧长，是扇形的半径，是扇形的圆心角，熟练掌握弧长公式是解题关键．直接利用弧长公式计算即可得． 解：设这个扇形的半径是， 则， 解得， 所以这个扇形的半径是2， 故答案为：2． 6．（2025·广东茂名·二模）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理以及扇形的面积．根据“阴影部分的面积=扇形的面积-扇形的面积”进行计算即可． 解：∵， ∴， 由图可知：阴影部分的面积=扇形的面积的面积-扇形的面积的面积， ∵绕A点逆时针旋转后得到， ∴的面积的面积， ∴阴影部分的面积=扇形的面积-扇形的面积 ； 故答案为：． 7．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图，在等腰三角形中，，，，点D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形，若点C恰好在上，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查求解阴影部分的面积，直角三角形斜边中线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．连接，设交于，交于．证明，推出，可得，由此即可解决问题． 解：如图，连接，设交于，交于． ，，， ，，， ， ， ， ， ∴ ． 故答案为：． 8．（2025·江苏泰州·一模）如图，将绕点顺时针旋转得到，若，则点运动的路径长为 ．      【答案】 【分析】本题考查了轨迹，旋转的性质，根据弧长公式即可求出点C经过的路径长． 解：∵绕点顺时针旋转得到，， ∴点C经过的路径长为：． 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）如图，已知四边形内接于，．连接，若且的半径为6，求的长． 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算、圆内接四边形的性质．根据题意可以得到是直径，然后根据且的半径为6，即可求得的长． 解：四边形内接于，， 是直径， 且的半径为6， ∴， ∴的长是：， 即的长． 10．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，是的直径，点C在上，，与相交于点E，与相交于点F，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，求得，求得，根据等边三角形的性质得到，， ， ，得到，推出，根据扇形和三角形的面积公式可得到结论． 解：（1）证明：连接．    是的直径， ．     ， ． ．     ， ． 平分， ． ． ．     是的半径，               是的切线． （2）解：， ． ，即OD⊥BC， ∴CF＝BF．     ， ． ，． 是等边三角形．     ，，． ， ． ． 【点拨】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形性质，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键. 11．（2023·安徽蚌埠·三模）如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点．   （1）证明：； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，根据等边对等角可得，，再根据等边对等角和三角形内角和定理可得，从而得证； （2）根据扇形面积减三角形面积计算即可． 解：（1）证明：∵弦绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：设的半径为， 由（1）知：是等腰直角三角形， ∵， ∴，即， 解得：， ∴图中阴影部分的面积： ， ∴图中阴影部分的面积为． 【点拨】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，勾股定理，扇形和三角形面积的计算，熟练掌握旋转的性质和扇形面积的计算是解题的关键． 12．（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心的与y轴相切于原点O，过点的直线与圆P相切于点B． （1）求的长； （2）求、与所围成的阴影部分面积（不取近似值）； （3）求直线的解析式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）连接，由于的坐标已知，因此求出的长度，根据直线与相切于点，与y轴相切于原点O，利用勾股定理定理可以求出AB的长度； （2）连接，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出，由等边三角形的性质得出，最后根据即可求出阴影部分面积； （3）过B作轴于C，用面积法得即得，从而，再用待定系数法可得直线AB解析式为． 解：（1）解：连接PB， ∵点的坐标分别为， ， ． ∵直线与相切于点B， ， ∵与y轴相切于原点O， ， （2）连接OB， ∵∠ABP=90°，OA=OP， ， ， ， ． （3）过B作轴于C，如图： ， ∴， ， 设直线AB解析式为，把代入得： ，解得 ∴直线解析式为． 【点拨】此题考查了圆的切线的性质、直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定以及性质，扇形面积公式，待定系数法求一次函数解析式等知识，能熟练运用相关性质是解题的关键． 【能力提升（12题）】 一、单选题 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）西安“不倒翁小姐姐”再次让全国人民领略了大唐的风采，同时催生了众多富有文化特色的文创产品（如图①），图②是从正面看到该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知不倒翁的边缘，分别与相切于点A，B．若该圆的半径是，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查切线的性质，弧长的计算，多边形内角和．利用切线的性质可得，进而得到，以及所对圆心角，最后利用弧长公式求解即可． 解：如图，连接，， ，分别与相切于点 A， B， ， ， ， 所对圆心角为， 该圆半径是， 的长是， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）物理课上，小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．如图，已知滑轮的半径，当重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则绕点O按逆时针方向旋转的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 解：设旋转的角度是，滑轮的半径是， 由题意得：， 解得：， 绕点O按逆时针方向旋转的度数为， 故选：C． 3．（24-25六年级下·上海·开学考试）直角三角形ABC中，厘米，厘米，则下图中阴影部分的面积是（   ）平方厘米． A．35 B．61 C．82 D．无法计算 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式，直径定理等知识点，解题的关键是熟练掌握间接求面积法． 连接，根据直径定理得出，利用间接求面积法进行求解即可． 解：如图所示，连接， ∵的半圆的直径， ∴， ∴两个半圆的面积之和为：， ∴阴影部分面积为：, 故选：B． 4．（23-24九年级下·四川眉山·阶段练习）如下图，点A、B、C在圆O上，，直线．点O在上，若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求弓形的面积，连接，利用扇形的面积减去三角形的面积进行求解即可． 解：连接，作，则：， ∴, ∵，直线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为； 故选A． 二、填空题 5．（2025·河南平顶山·模拟预测）秋风萧瑟，一片片金黄的银杏叶从树上飘落下来，同学们纷纷捡起漂亮的银杏叶来作树叶画，如图是一片银杏叶的示意图，可以将这片银杏叶看作一个扇形，经测量发现这个扇形的弧长，圆心角为，则这片银杏叶的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的弧长，面积公式，掌握知识点是解题的关键． 根据扇形的弧长，面积公式，即可解答． 解：由题意知，， 解得， ∴银杏叶的面积为． 故答案为． 6．（2025·江苏泰州·二模）如图，在中，，点是边上的一个动点，点关于的对称点是点．动点从点运动到点时，点的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，弧长的计算，理解折叠的性质，掌握弧长的计算公式是关键． 根据题意可得，当动点从点运动到点时，保持，则点在以点圆心，以为半径的圆弧上运动，点与点重合，如图所示，结合弧长公式计算即可求解． 解：如图所示，连接，设交于点， ∵点关于的对称点是点， ∴垂直平分， ∴，， 当动点从点运动到点时，保持，则点在以点圆心，以为半径的圆弧上运动，点与点重合，如图所示， ∴， ∴， ∴点的路径长为， 故答案为： ． 7．（2025·山东东营·模拟预测）如图，在中，，，．可以绕点A旋转，旋转的角度为，连续旋转两次，分别得到和，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积，旋转的性质，含角的直角三角形，掌握不规则图形面积的计算是解题的关键． 由直角三角形的性质求出，的长，由阴影的面积，应用扇形面积计算公式，三角形面积计算公式，即可求解． 解：由题意知，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴阴影的面积 ． 故答案为：． 8．（2025·河南郑州·三模）如图，是半圆的直径，点为半圆上一点．将半圆沿翻折，点的对应点落在上，点的对应点为．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，不规则图形的面积，根据翻折和等边三角形的判定可得是等边三角形，然后过D点作于点E，根据勾股定理求出DE长，再根据解答即可． 解：如图，连接，，，， 由翻折可知，， ∴四边形是菱形，， ∴是等边三角形， 过D点作于点E， 则，， ． 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在中，，．以为直径画，交边于点D．弧的长为．求证：是的切线． 【答案】见分析 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式等知识．连接，根据弧长公式求出，根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理证明即可． 解：证明：如图，连接， ∵以为直径画，交边于点D，． ∴圆的半径. 设， ∵弧的长为．     解得. 即   ∵ ∵， ∴，   即 又∵为直径， ∴是的切线． 10．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，是的直径，四边形内接于，延长、交于点，且． （1）求证：； （2）连接、，若，，求扇形的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质以及扇形面积的计算，熟练掌握这些性质和公式是解题的关键． （1）通过等腰三角形性质及圆内接四边形性质找到角的关系，从而证明线段相等． （2）先求出相关角度，再利用扇形面积公式计算面积． 解：（1）解： 四边形内接于， ∴， 又， ， ， ； （2）解：连接，， ， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ， 扇形的面积为 故答案为：． 11．（2025·河南新乡·三模）如图，在中，，为上一点，以为圆心，为半径的交于另一点． （1）用尺规作图，作线段的垂直平分线交于，交于点；（保留作图痕迹） （2）求证：是的切线； （3）当四边形为矩形时，若，，请直接写出劣弧的长度为___________． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3） 【分析】（1）作线段的垂直平分线即可； （2）连接，利用同圆的半径相等的性质，等腰三角形的性质得到，利用线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，利用直角三角形的性质和等量代换的性质得到，则，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （3）利用矩形的性质，线段的垂直平分线的性质得到为等腰直角三角形，进而得到为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求得，利用比例式求得，再利用弧长公式解答即可得出结论． 解：（1）解：作线段的垂直平分线交于，交于点，如图， 则为线段的垂直平分线； （2）证明：连接，如图， ， ， 为线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （3）解：当四边形为矩形时，如图， 四边形为矩形， ，， 为线段的垂直平分线， ， 为等腰直角三角形， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 劣弧的长度． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，直角三角形的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质与作法，弧长公式，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 12．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．三角形的旋转如此，扇形的旋转也如此． 【问题情境】如图1，，将绕点O顺时针旋转 成扇形，点C是延长线上一点，，过点C作射线，求弧的长． 【问题解决】如图2，将上题中的扇形绕点B按顺时针方向旋转，若旋转后的扇形和射线相切与点D，求的长． 【问题拓展】如图3，将题（1）中的扇形继续旋转，使旋转后点落在射线上，弧与射线交于另一点E，求的长． 【答案】问题情境：；问题解决：；问题拓展： 【分析】问题情境：根据弧长计算公式求解即可； 问题解决：如图所示，过点作于E，连接，由切线的性质得到，证明四边形是矩形，得到，则，则，求出，即可得到； 问题拓展：如图所示，过点作于E，于H，同理可证明四边形是矩形，则，证明，得到，设，则，，由勾股定理建立方程，解方程得到，，则． 解：问题情境：由题意得，弧的长； 问题解决：如图所示，过点作于E，连接， ∵旋转后的扇形和射线相切与点D， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 问题拓展：如图所示，过点作于G，于H， 同理可证明四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴，， ∴． 【点拨】本题主要考查了求弧长，旋转的性质，切线的性质，勾股定理，矩形的性质与判断，勾股定理等等，解（2）的关键在于作出辅助线构造矩形，解（3）的关键在于作出辅助线构造全等三角形． 【中考真题12题】 一、单选题 1．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧长公式，根据圆心角对应的弧长公式，代入已知条件求解半径即可． 解：根据弧长公式：，其中， 代入得： 解得： 故选：A． 2．（2025·江苏常州·中考真题）如图，的半径为2，直径、互相垂直，则弧的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．先利用直径、互相垂直，得出，再利用弧长公式计算即可． 解：∵直径、互相垂直， ∴， ∴的长是， 故选：C． 3．（2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 4．（2025·浙江·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求弧长，斜边上的中线，根据斜边上的中线求出得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据弧长公式进行计算即可． 解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴的长为； 故选B． 二、填空题 5．（2025·四川成都·中考真题）如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，求不规则图形的面积，连接，证明四边形为菱形，易得为等边三角形，，得到，根据阴影部分的面积等于弓形的面积加上的面积，即为扇形的面积，进行求解即可． 解：连接，交于点，则：， ∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积； 故答案为：． 6．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，进而证明是等边三角形，得到，再根据阴影部分的面积求解即可． 解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 【点拨】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键． 7．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积公式，平行四边形性质，含三角形的性质，正确将阴影面积进行组合是解决问题的关键．由题意，利用计算即可． 解：过A作， ∵，， ， ∵， ∴， ， ， ， 设长度为，则，在中，由勾股定理得： 解得：， ， ， 则，， ， ． 故答案为：． 8．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，四边形是正方形，．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点E，得到扇形；第二次操作以点B为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点F，得到扇形；第三次操作以点C为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点G，得到扇形，依此类推进行操作，其中，、、，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积．先求得前三个扇形的面积，找出规律，根据规律求解即可． 解：根据题意得： 第一个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 第二个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 第三个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 则第四个扇形，圆心角为，半径为，面积为； ∴经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 ， 故答案为：． 三、解答题 9．（2025·青海·中考真题）如图，线段经过圆心，交于点，，为的弦，连接，． （1）求证：直线是的切线； （2）已知，求的长（结果保留）． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了切线的判定，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质． （1）先由三角形内角和定理得出，再根据得，进而可得，再根据切线的判定可得出结论； （2）根据含30度角的直角三角形的性质得，设，则，求出，再得，然后根据弧长公式求解即可． 解：（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 且是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：在中，， ∴， 设， ∴， 解得， ∵， ∴的长为：． 10．（2025·江苏南通·中考真题）如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且． （1）连接，求证：； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】（1）利用切线性质得，再通过证明，从而推出； （2）先结合已知角度推出相关角的度数，确定为等边三角形，求出圆的半径，再根据平行线间面积关系，将阴影部分面积转化为扇形的面积进行计算． 解：（1）证明：如图，连接， ∵与相切， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查圆的切线性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及扇形面积计算，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径、全等三角形判定定理、等边三角形判定与性质及扇形面积公式是解题的关键． 11．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）直线与相切，理由见分析；（2）． 【分析】（）连接，，由直线与相切，可得，证明，则，然后通过切线的判定方法即可求证； （）由（）得，，则，，所以，通过直角三角形性质得，由勾股定理得，最后通过即可求解． 解：（1）解：直线与相切，理由， 如图，连接，， ∵直线与相切， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴直线与相切； （2）解：由（）得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点拨】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，扇形面积，直角三角形性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 12．（2025·江西·中考真题）如图，点A，B，C在上，，以，为边作． （1）当经过圆心O时（如图1），求的度数； （2）当与相切时（如图2），若的半径为6，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据直径所对的圆周角为直角，得出，再求出，再根据平行四边形的性质得出； （2）连接、，根据切线性质得出，证明，得出， 说明垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形性质得出，根据圆周角定理得出，最后根据弧长公式求出结果即可． 解：（1）解：∵经过圆心O， ∴为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴； （2）解：连接、，如图所示： ∵与相切， ∴， ∴， ∵在中， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了切线的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.7 弧长及扇形的面积 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 【知识回顾】 1 【新知探究】 1 知识点（一）弧长公式 1 【题型1】利用弧长公式进行计算 2 【新知探究】 2 知识点（二）扇形面积公式（1） 2 【题型2】利用扇形面积公式进行计算 3 【新知探究】 3 知识点（三）扇形面积公式（2） 3 【题型3】扇形面积公式和弧长公式关系 4 【新知探究】 4 知识点（四）不规则图形面积 4 【题型4】求弓形面积 4 【题型5】求不规则图形面积 5 二. 同步练习 6 【基础巩固（12题）】 6 【能力提升（12题）】 9 【中考真题12题】 12 一.知识梳理与题型分类精析 【知识回顾】 1.弧：圆上任意两点间的部分叫做弧； 2.扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.弧是圆的一部分,扇面是圆面的一部分. 【新知探究】 我们知道，的圆心角所对弧，半径为圆的周长为，所以的圆心角所对的弧为.这样我们就得到了弧长公式： 知识点（一）弧长公式 在半径为的圆中，弧长与所对的圆心角度数之间有如下的关系： 【题型1】利用弧长公式进行计算 【例题 1】（24-25九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，已知是的直径，点为上一点，点为延长线上一点，若，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为3，求的长． 【变式1】（2025·安徽合肥·三模）如图，为的直径，，劣弧的长，则弦的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．6 【变式2】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，分别切于点为，，若，弧的长为，则的半径为 ． 【新知探究】 我们知道，半径为圆的面积，所以的圆心角所对的弧为.这样我们就得到了扇形的面积公式： 知识点（二）扇形面积公式（1） 在半径为的圆中，扇形面积与所对的圆心角度数之间有如下的关系： 【题型2】利用扇形面积公式进行计算 【例题2】（2024·四川攀枝花·中考真题）如图，是的直径，弦平分，过点的切线交于点，． （1）求证：； （2）若，求扇形的面积． 【变式1】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点、、、都在边长为1的网格格点上，以为圆心，为半径画弧，弧经过格点，则扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，是的直径，弦，，，则阴影部分的面积为 【新知探究】 我们知道，圆心角为，半径为的弧长公式为，面积公式为，这样我们就得到了扇形的面积公式和弧长的关系： 知识点（三）扇形面积公式（2） 在半径为的圆中，扇形面积与所对的圆心角度数之间有如下的关系： 【题型3】扇形面积公式和弧长公式关系 【例题3】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知扇形的半径为6，弧长为，则扇形的面积为 ． 【变式1】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知扇形的面积为，扇形的弧长是，则该扇形半径为（    ） A．6 B．4 C．2 D． 【变式2】（23-24九年级上·天津静海·阶段练习）一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是（    ） A．120° B．150° C．60° D．100° 【新知探究】 我们知道，圆心角为，半径为的弧长公式为，面积公式为，这样我们就得到了扇形的面积公式和弧长的关系： 知识点（四）不规则图形面积 解题思路：不规则图形面积转化为规则图形面积。方法：通过割补法、平移转化法求面积 【题型4】求弓形面积 【例题3】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，是的直径，，，的平分线交于点D． （1）求的度数；（2）求图中阴影部分的面积． 【变式1】（2025·宁夏中卫·三模）如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画弧，得到的封闭图形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长，则“勒洛三角形”与等边围成阴影部分的面积等于 （结果保留）． 【变式2】（2025·河南周口·二模）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【题型5】求不规则图形面积 【例题5】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，以为直径的与边交于点D． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【变式1】（24-25九年级下·河南信阳·阶段练习）如图，正方形的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为，的中点．以点C为圆心，4为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 （结果保留） 二. 同步练习​ 【基础巩固（12题）】 一、单选题 1．（24-25九年级下·湖南湘西·阶段练习）已知扇形的半径为 ，圆心角为，则扇形的弧长为（       ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，与竹文化、道教文化有着密切关系．中国历来有“制扇王国”之称．如图1，是一把打开的扇子，转化为数学模型如图2所示，它是以O为圆心．、长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽安庆·一模）如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知扇形的弧长是，圆心角，则这个扇形的半径是 ． 6．（2025·广东茂名·二模）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留） 7．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图，在等腰三角形中，，，，点D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形，若点C恰好在上，则图中阴影部分的面积为 ． 8．（2025·江苏泰州·一模）如图，将绕点顺时针旋转得到，若，则点运动的路径长为 ．      三、解答题 9．（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）如图，已知四边形内接于，．连接，若且的半径为6，求的长． 10．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，是的直径，点C在上，，与相交于点E，与相交于点F，平分． （1）求证：是的切线；（2）若，求图中阴影部分的面积． 11．（2023·安徽蚌埠·三模）如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点．   （1）证明：； （2）若，求图中阴影部分的面积． 12．（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心的与y轴相切于原点O，过点的直线与圆P相切于点B． （1）求的长； （2）求、与所围成的阴影部分面积（不取近似值）； （3）求直线的解析式． 【能力提升（12题）】 一、单选题 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）西安“不倒翁小姐姐”再次让全国人民领略了大唐的风采，同时催生了众多富有文化特色的文创产品（如图①），图②是从正面看到该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知不倒翁的边缘，分别与相切于点A，B．若该圆的半径是，，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）物理课上，小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．如图，已知滑轮的半径，当重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则绕点O按逆时针方向旋转的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级下·上海·开学考试）直角三角形ABC中，厘米，厘米，则下图中阴影部分的面积是（   ）平方厘米． A．35 B．61 C．82 D．无法计算 4．（23-24九年级下·四川眉山·阶段练习）如下图，点A、B、C在圆O上，，直线．点O在上，若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2025·河南平顶山·模拟预测）秋风萧瑟，一片片金黄的银杏叶从树上飘落下来，同学们纷纷捡起漂亮的银杏叶来作树叶画，如图是一片银杏叶的示意图，可以将这片银杏叶看作一个扇形，经测量发现这个扇形的弧长，圆心角为，则这片银杏叶的面积为 ． 6．（2025·江苏泰州·二模）如图，在中，，点是边上的一个动点，点关于的对称点是点．动点从点运动到点时，点的路径长为 ． 7．（2025·山东东营·模拟预测）如图，在中，，，．可以绕点A旋转，旋转的角度为，连续旋转两次，分别得到和，则图中阴影部分的面积为 ． 8．（2025·河南郑州·三模）如图，是半圆的直径，点为半圆上一点．将半圆沿翻折，点的对应点落在上，点的对应点为．若，则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题 9．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在中，，．以为直径画，交边于点D．弧的长为．求证：是的切线． 10．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，是的直径，四边形内接于，延长、交于点，且． （1）求证：； （2）连接、，若，，求扇形的面积． 11．（2025·河南新乡·三模）如图，在中，，为上一点，以为圆心，为半径的交于另一点． （1）用尺规作图，作线段的垂直平分线交于，交于点；（保留作图痕迹） （2）求证：是的切线； （3）当四边形为矩形时，若，，请直接写出劣弧的长度为___________． 12．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．三角形的旋转如此，扇形的旋转也如此． 【问题情境】如图1，，将绕点O顺时针旋转 成扇形，点C是延长线上一点，，过点C作射线，求弧的长． 【问题解决】如图2，将上题中的扇形绕点B按顺时针方向旋转，若旋转后的扇形和射线相切与点D，求的长． 【问题拓展】如图3，将题（1）中的扇形继续旋转，使旋转后点落在射线上，弧与射线交于另一点E，求的长． 【中考真题12题】 一、单选题 1．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏常州·中考真题）如图，的半径为2，直径、互相垂直，则弧的长是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2025·四川成都·中考真题）如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ． 6．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 7．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 8．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，四边形是正方形，．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点E，得到扇形；第二次操作以点B为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点F，得到扇形；第三次操作以点C为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点G，得到扇形，依此类推进行操作，其中，、、，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 ．（结果保留π） 三、解答题 9．（2025·青海·中考真题）如图，线段经过圆心，交于点，，为的弦，连接，． （1）求证：直线是的切线；（2）已知，求的长（结果保留）． 10．（2025·江苏南通·中考真题）如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且． （1）连接，求证：； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 11．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 12．（2025·江西·中考真题）如图，点A，B，C在上，，以，为边作． （1）当经过圆心O时（如图1），求的度数； （2）当与相切时（如图2），若的半径为6，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$