3.9 弧长及扇形面积（分层作业）数学北师大版九年级下册

3.9 弧长及扇形面积 1．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．中心线可看做半径为，圆心角为所对的圆弧，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽芜湖·二模）已知半径为，圆心角为，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽六安·三模）在半径为的中，若的弧长为，则弦的长为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，中国被誉为制扇王国．小旭制作了一把扇形纸扇，如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制水墨画，则水墨画所在纸面的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为6cm的等边三角形，点D是母线的中点，一只蚂蚁从点B出发沿圆锥的表面爬行到点D处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（   ） A．3cm B． C． D．6cm 6．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了（   ） A． B． C． D． 7．（2024·江苏无锡·二模）圆锥的侧面展开图的面积为，圆锥母线与底面圆的半径之比为，则母线长为（    ）． A．10 B．20 C． D． 8．（25-26九年级上·北京·期中）一个圆锥的侧面积是，母线长是，底面半径是 ． 9．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图，已知一钟表的分针段的长为，若时间从到，则经过扇形的面积为 ． 10．（2025·广东广州·模拟预测）如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 m． 11．（2025·山东临沂·二模）如图，将边长为的等边三角形沿直线向右翻动不滑动，点从开始到结束，所经过路径的长度为 ． 12．（24-25九年级下·四川成都·月考）如图，在等腰三角形中，，，，点D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形，若点C恰好在上，则图中阴影部分的面积为 ． 1．（24-25九年级下·湖北武汉·月考）已知一个圆心角为扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，扇形的直径为，则圆心O所经过的路线长是（    ）m.（结果用含的式子表示） A． B． C． D． 2．（2025·山西晋中·二模）如图，扇形纸片，是半径上的一动点，连接，把沿翻折，点的对称点为，当点恰好落在上时，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交于点A、B，且A、P、B三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，现有一块直径为10的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·海南·中考真题）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，扇形的半径，，则以为直径的半圆与围成的区域（图中阴影部分）的面积是 ． 7．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为 ． 8．（2025·广东阳江·模拟预测）如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域(图中阴影部分)的面积为 ．(结果保留) 9．（2025·甘肃·模拟预测）粒子加速器是当今高能物理学中研究基本粒子的性质和相互作用的重要工具．图1、图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，是粒子真空室，C，D是两个加速电极，高速飞行的粒子J在点A注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过时被加速，达到一定的速度在点B引出，粒子注入和引出路径都与相切．若，粒子注入路径与的夹角，，则的长为 ．（结果保留π） 10．（2025·四川南充·二模）如图，在扇形纸片中，，，把它沿虚线分割成一个扇形和扇环，在扇环上裁出半径最大的圆，恰好能与扇形与圆围成一个圆锥，则的长为 ． 11．（2025·江苏淮安·二模）汽车盲区是造成交通事故的罪魁祸首之一，它是指驾驶员位于正常驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．有一种汽车盲区叫做内轮差盲区，内轮差是车辆在转弯时前内轮转弯半径与后内轮转弯半径之差；由于内轮差的存在而形成的这个区域（如图1所示）是司机视线的盲区．卡车，货车等车身较长的大型车在转弯时都会产生这种盲区，为了解决这个问题，现在许多路口都开始设置“右转危险区”标线．如图2是我区某一路口“右转危险区”的示意图，经过测量后内轮转弯半径，前内轮转弯半径，圆心角，则此“右转危险区”的面积为 ． 1．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）如图，是半径为3半圆O的直径．是圆中可移动的弦，且，连接相交于点P，弦从C与A重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转，则交点P运动的路径长是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）装有水的半圆柱体水槽放置在水平台面上，图，图是其横截面，是半圆的直径，为水面截线，为台面截线，且，直径． 【问题解决】 （）在图中，已知，作于点，求的长． 【操作探究】将图中的半圆水槽沿向右滚动倾斜，使水流出一部分后，当时停止滚动，此时点与点重合，如图，设半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点． （）则操作后水面高度下降了多少？ （）连接并延长交于点，求线段与的长度． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.9 弧长及扇形面积 1．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．中心线可看做半径为，圆心角为所对的圆弧，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧长的计算公式，根据弧长公式进行计算即可．弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）． 【详解】解：的长为． 故选：D． 2．（2025·安徽芜湖·二模）已知半径为，圆心角为，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形的面积．解题的关键是掌握扇形面积计算的公式：在半径为的圆中，圆心角为的扇形的面积为．据此将数据代入公式进行计算即可． 【详解】解：∵半径为，圆心角为， ∴该扇形的面积为：． 故选：C． 3．（2025·安徽六安·三模）在半径为的中，若的弧长为，则弦的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，勾股定理，圆周角定理，解题关键是利用勾股定理求出弦长． 先求出所对的圆心角的度数，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：设所对的圆心角为， 半径为的弧长为， ∴，解得：， 所对的圆心角为， ∴ ， ∴弦的长为． 故选：B． 4．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，中国被誉为制扇王国．小旭制作了一把扇形纸扇，如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制水墨画，则水墨画所在纸面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题． 【详解】解：由题知，， ， 所以山水画所在纸面的面积为：． 故选：B． 5．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为6cm的等边三角形，点D是母线的中点，一只蚂蚁从点B出发沿圆锥的表面爬行到点D处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（   ） A．3cm B． C． D．6cm 【答案】C 【分析】根据圆锥的轴截面是边长为4cm的等边三角形可知，展开图是半径是4的半圆．点B是半圆的一个端点，而点D是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B和D在展开图中的距离，就是这只蚂蚁爬行的最短距离． 正确判断蚂蚁爬行的路线，把曲面的问题转化为平面的问题是解题的关键． 【详解】解：∵圆锥的底面周长是，则， ∴即圆锥侧面展开图的圆心角是， ∴在圆锥侧面展开图中，，， ∴在圆锥侧面展开图中， ∴这只蚂蚁爬行的最短距离是 故选：C． 6．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键. 根据题意用弧长公式计算即可. 【详解】解：根据题意，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了（）， 故选：C. 7．（2024·江苏无锡·二模）圆锥的侧面展开图的面积为，圆锥母线与底面圆的半径之比为，则母线长为（    ）． A．10 B．20 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆锥的侧面积，设圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为，则：母线长为，由题意，得： ， ∴（负值舍去）， ∴母线长为； 故选：B． 8．（25-26九年级上·北京·期中）一个圆锥的侧面积是，母线长是，底面半径是 ． 【答案】/2厘米 【分析】题目主要考查圆锥的侧面积的计算，熟练掌握计算方法是解题关键． 根据圆锥的侧面积公式 ，其中 是侧面积， 是底面半径， 是母线长，代入已知数值求解即可 【详解】解：已知圆锥的侧面积，母线长， ∵， ∴， 解得：， 故底面半径为， 故答案为：． 9．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图，已知一钟表的分针段的长为，若时间从到，则经过扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算；根据分针转一大格即5分钟所转的角度是，则可计算出分针从到所转的角度，即可得扇形的圆心角，从而由扇形面积公式即可求解． 【详解】解：分针从到所转的角度为， 所以分针所扫过的扇形的面积是； 故答案为：． 10．（2025·广东广州·模拟预测）如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 m． 【答案】/ 【分析】本题考查了与圆有关的计算、勾股定理、圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 先利用等腰直角三角形的性质得到，设圆锥的底面圆的半径为，利用弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：由题意，，，， ∴， 设圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得， 解得， 即圆锥的底面圆的半径为． 故答案为：． 11．（2025·山东临沂·二模）如图，将边长为的等边三角形沿直线向右翻动不滑动，点从开始到结束，所经过路径的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为也考查了旋转的性质．点从开始到结束，所经过路径为两段弧，第一段是以点为圆心，为半径，圆心角为的弧，第二段是以点为圆心，为半径，圆心角为的弧，然后根据弧长公式计算． 【详解】解：为等边三角形， ， 每次旋转的度数为， 点从开始到结束，所经过路径的长度． 故答案为． 12．（24-25九年级下·四川成都·月考）如图，在等腰三角形中，，，，点D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形，若点C恰好在上，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查求解阴影部分的面积，直角三角形斜边中线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．连接，设交于，交于．证明，推出，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，设交于，交于． ，，， ，，， ， ， ， ， ∴ ． 故答案为：． 1．（24-25九年级下·湖北武汉·月考）已知一个圆心角为扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，扇形的直径为，则圆心O所经过的路线长是（    ）m.（结果用含的式子表示） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算公式，正确理解O经过的路线是解题关键． O经过的路线是两个半径是m，圆心角为的弧，平移的距离是半径长是 m，圆心角是的弧长，二者的和就是所求的路线长． 【详解】解：O经过的路线是两个半径是（m）， ， ∵， ∴， ∴， O旋转的长度是：（m）， O移动的距离是（m）， ∴圆心O所经过的路线长是：（m）， 故选：B． 2．（2025·山西晋中·二模）如图，扇形纸片，是半径上的一动点，连接，把沿翻折，点的对称点为，当点恰好落在上时，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，锐角三角函数，勾股定理，扇形面积公式等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 连接，交于点，则，假设，利用勾股定理求出，利用即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点，则， 由轴对称的性质可得垂直平分线段， ， ， 假设， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ， ， 故选：A． 3．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交于点A、B，且A、P、B三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长的计算，垂径定理的推论，熟记弧长公式是解题的关键．先根据题意得出，结合已知条件求出的度数，根据弧长公式计算出弧，弧，即可求出阴影部分的周长． 【详解】解：连接，，，如图所示： ∵A、P、B三点在同一直线上， 经过点， 由题意得为半圆的直径，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴阴影部分的周长为， 故选：B． 4．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，现有一块直径为10的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形的面积公式，圆周角定理，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式．根据圆周角定理由得为的直径，即，根据等腰直角三角形的性质得，然后用圆的面积减去扇形的面积即可求解． 【详解】解：连接， ∵， 为的直径，即， ∵玉佩的形状是扇形， ∴， ， ， ． 故选：C． 5．（2025·海南·中考真题）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据切线的性质得出，再利用直角三角形两个锐角互余求得，然后利用圆周角定理求得，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连结， ∵，以为直径的半圆交于点， ∴， ∵与半圆相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，弧长公式，直角三角形两个锐角互余，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 6．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，扇形的半径，，则以为直径的半圆与围成的区域（图中阴影部分）的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，扇形面积公式，由勾股定理可得，再由计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、三角形全等的性质、扇形的面积，熟练掌握旋转的性质是解题关键．先根据旋转的性质可得，，，再根据全等三角形的性质可得，然后利用扇形的面积公式计算即可得． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到，， ∴，，， ∴， ∴图中阴影部分的面积等于， 故答案为：． 8．（2025·广东阳江·模拟预测）如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域(图中阴影部分)的面积为 ．(结果保留) 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，解直角三角形，扇形的面积公式．根据题意结合图形可知是解题关键． 根据旋转和解直角三角形，可求出和的长度，再结合图形，即可求出阴影部分面积． 【详解】解：如图可知， ∵，是由绕圆心O逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ，， ． 故答案为：． 9．（2025·甘肃·模拟预测）粒子加速器是当今高能物理学中研究基本粒子的性质和相互作用的重要工具．图1、图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，是粒子真空室，C，D是两个加速电极，高速飞行的粒子J在点A注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过时被加速，达到一定的速度在点B引出，粒子注入和引出路径都与相切．若，粒子注入路径与的夹角，，则的长为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，弧长计算公式，垂径定理，解直角三角形，计算出，再利用垂径定理求得半径，最后利用弧长公式，即可解答，作出正确的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点O作于点G，连接， 是的切线， ， ， ， 是的弦，是弦心距，， ∴，， ∴， ∵所对的圆心角为，， ∴的长为． 故答案为：． 10．（2025·四川南充·二模）如图，在扇形纸片中，，，把它沿虚线分割成一个扇形和扇环，在扇环上裁出半径最大的圆，恰好能与扇形与圆围成一个圆锥，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查弧长公式和圆锥的概念，设，则，根据弧长公式和圆锥的概念列出方程式求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴，解得， 故答案为：． 11．（2025·江苏淮安·二模）汽车盲区是造成交通事故的罪魁祸首之一，它是指驾驶员位于正常驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．有一种汽车盲区叫做内轮差盲区，内轮差是车辆在转弯时前内轮转弯半径与后内轮转弯半径之差；由于内轮差的存在而形成的这个区域（如图1所示）是司机视线的盲区．卡车，货车等车身较长的大型车在转弯时都会产生这种盲区，为了解决这个问题，现在许多路口都开始设置“右转危险区”标线．如图2是我区某一路口“右转危险区”的示意图，经过测量后内轮转弯半径，前内轮转弯半径，圆心角，则此“右转危险区”的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查视点，视角和盲区，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据 “右转危险区”的面积六边形的面积，六边形的面积以为边长的大正方形的面积以为边长的小正方形的面积，求解即可． 【详解】解： 由图可知： “右转危险区”的面积六边形的面积 故答案为： 1．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）如图，是半径为3半圆O的直径．是圆中可移动的弦，且，连接相交于点P，弦从C与A重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转，则交点P运动的路径长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，先导角得到，作的外接圆，记为，连接，那么点P的轨迹为劣弧，即路径长劣弧的长度，则，连接，解直角三角形得到，路径长为． 【详解】解：连接， 由题意得，， ∴为等边三角形， ∴， 当弦从C与A重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转时， 即， ∴此时点D与点B，P重合， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 作的外接圆，记为，连接， ∴点P的轨迹为劣弧，即路径长劣弧的长度， ∴， 连接，∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴路径长为：， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式，解直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识点，难度较大，解题的关键在确定点P的运动轨迹． 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）装有水的半圆柱体水槽放置在水平台面上，图，图是其横截面，是半圆的直径，为水面截线，为台面截线，且，直径． 【问题解决】 （）在图中，已知，作于点，求的长． 【操作探究】将图中的半圆水槽沿向右滚动倾斜，使水流出一部分后，当时停止滚动，此时点与点重合，如图，设半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点． （）则操作后水面高度下降了多少？ （）连接并延长交于点，求线段与的长度． 【答案】（）；（）；（），的长为 【分析】（）连接，由垂径定理得，再利用勾股定理即可求解； （）由切线的性质得，进而由平行线的性质得，即得，再利用直角三角形的性质求出即可求解； （）由直角三角形的性质可得，由弧弦圆心角的关系可得，即得，进而即可求解． 【详解】解：（）连接，如图， ∵为圆心，于点，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，； 即的长为； （）∵与半圆的切点为， ∴， ∵， ∴于点， ∴， ∵，， ∴， ∴操作后水面高度下降高度为； （）∵，， ∴， ∵半圆的中点为， ∴， ∴， ∴， ∴，的长为． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质，直角三角形的性质，弧弦圆心角的关系，解直角三角形，弧长公式，掌握以上知识点是解题的关键． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $