第2章对称图形—圆（专题8：弧长与扇形的面积）2025-2026学年苏科版数学九年级上册

2025-2026学年苏科版数学九年级上册 第2章对称图形—圆 (专题8:弧长与扇形的面积) 【典型例题】 【例1】的圆心角所对的弧长是,则此弧所在圆的半径是( ) A.12 B.9 C.6 D.5 【例2】如图,摆钟是一种技术与艺术相结合的机械时钟,图是其钟摆摆动示意图,,当钟摆从摆动到时,若摆动角度,则端点A移动的路径长为( ) A. B. C. D. 【例3】已知扇形的圆心角为,半径为,则这个扇形的面积是 . 【例4】如图,在为直径的半圆中,,,则弦,与半圆围成的阴影部分的面积与半圆面积的比值等于_. 【例5】如图,折扇的骨柄长为,扇面宽度为、,折扇张开的角度为,则折扇扇面的面积为 (结果保留). 【例6】如图,六边形是的内接正六边形,连接,. (1)填空:的度数为_. (2)若正六边形的边心距为,求图中阴影部分的周长. 【举一反三】 【变式1】图,为的直径,,弦,则劣弧的长为( ) A. B. C.2 D.4 【变式2】小英发现银杏叶片的形状近似于扇形,如图是小英画的银杏叶片的几何示意图,通过测量得到,则的长为( ) A. B. C. D. 【变式3】一个扇形的弧长是,圆心角是144 ,则此扇形的面积是 . 【变式4】如图,在中,,,,,.将沿着直线作顺时针方向的滚动.到的位置叫做“滚动了一周”,那么这个三角形在滚动了3周之后,点经过的路程长为 (结果保留 ). 【变式5】马面裙是中国古代汉族女子主要裙式之一,随着传统服饰日益受到关注,马面裙也强势“出圈”.如图1为马面裙的一种经典款式,如图2马面裙可以近似的看作扇环,其中长为0.6米,弧长为米,圆心角,则弧长为 米. 【变式6】如图,三角尺中,,,,将三角尺绕点B顺时针旋转,使点C的对应点落在和点A、B同一直线上的点处,同时点A落在点处. (1)_ ; (2)旋转过程中点A和点C所经过的路程分别为多少? 【巩固练习】 1.若扇形的半径为4,圆心角为,则此扇形的面积为( ) A. B. C. D. 2.将一把折扇展开,可抽象成一个扇形,若该扇形的半径为,弧长为,则扇形的圆心角大小为( ) A. B. C. D. 3.如图,在中,,,点是边上一点,经过点且恰好与边相切于点,与边交于点,则的长为( ) A. B. C. D. 4.如图,P是外一点,射线交于A,B两点,与相切于点C,,若,则阴影部分的面积是( ) A. B. C.1 D. 5. 若扇形的圆心角为,半径为8,则它的弧长为 . 6.如图,,,,两两不相交,且半径都是,则图中四个扇形(即阴影部分)的面积之和为 . 7.如图,正五边形的边长为1,分别以点C,D为圆心,长为半径画弧,两弧交于点F,图中阴影部分的面积为 .(结果保留) 8.“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮,共设有28个回转式太空舱全景轿厢,其示意图如图所示.该摩天轮高(即最高点离水面平台的距离),圆心O到的距离为,摩天轮匀速旋转一圈用时.某轿厢从点A出发,后到达点B,此过程中,该轿厢所经过的路径(即)长度为 .(结果保留) 9.如图,扇形OAB的半径OA=2cm,∠AOB=120 ,则以AB为直径的半圆与围成的区域(图中阴影部分)的面积是 cm2. 10.如图,在边长为1个单位长度的小正方形网格中,的三个顶点均在格点上,坐标分别为.请解答下列问题: (1)画出关于y轴的对称图形; (2)将绕点O顺时针旋转得到,画出; (3)在(2)的条件下,求线段在旋转过程中扫过的面积. 11.如图,点D为上一点,点C在直径的延长线上,且. (1)求证:是的切线; (2)若的半径为1,,则图中阴影部分的面积; 12.如图,等腰三角形的顶角,和底边相切于点C,并与两腰分别交于D、E两点,连接. (1)求证:四边形是菱形 (2)若的半径为2,求图中阴影部分的面积 答案解析 【典型例题】 【例1】的圆心角所对的弧长是,则此弧所在圆的半径是( ) A.12 B.9 C.6 D.5 【答案】C 【例2】如图,摆钟是一种技术与艺术相结合的机械时钟,图是其钟摆摆动示意图,,当钟摆从摆动到时,若摆动角度,则端点A移动的路径长为( ) B. B. C. D. 【答案】C 【例3】已知扇形的圆心角为,半径为,则这个扇形的面积是 . 【答案】 【例4】如图,在为直径的半圆中,,,则弦,与半圆围成的阴影部分的面积与半圆面积的比值等于_. 【答案】 【例5】如图,折扇的骨柄长为,扇面宽度为、,折扇张开的角度为,则折扇扇面的面积为 (结果保留). 【答案】 【例6】如图,六边形是的内接正六边形,连接,. (1)填空:的度数为_. (2)若正六边形的边心距为,求图中阴影部分的周长. 【答案】(1)解:, 故答案为:; (2)解:如图,过点O作于点P, , 是等边三角形, , , , 由勾股定理得:, 即, 解得(舍去负值), , , 的长为, 阴影部分的周长为. 【举一反三】 【变式1】图,为的直径,,弦,则劣弧的长为( ) B. B. C.2 D.4 【答案】C 【变式2】小英发现银杏叶片的形状近似于扇形,如图是小英画的银杏叶片的几何示意图,通过测量得到,则的长为( ) B. B. C. D. 【答案】B 【变式3】一个扇形的弧长是,圆心角是144 ,则此扇形的面积是 . 【答案】 【变式4】如图,在中,,,,,.将沿着直线作顺时针方向的滚动.到的位置叫做“滚动了一周”,那么这个三角形在滚动了3周之后,点经过的路程长为 (结果保留 ). 【答案】 【变式5】马面裙是中国古代汉族女子主要裙式之一,随着传统服饰日益受到关注,马面裙也强势“出圈”.如图1为马面裙的一种经典款式,如图2马面裙可以近似的看作扇环,其中长为0.6米,弧长为米,圆心角,则弧长为 米. 【答案】 【变式6】如图,三角尺中,,,,将三角尺绕点B顺时针旋转,使点C的对应点落在和点A、B同一直线上的点处,同时点A落在点处. (1)_ ; (2)旋转过程中点A和点C所经过的路程分别为多少? 【答案】(1)解:由旋转的性质得, ∵点A、B、在同一直线上, ∴, 故答案为:120; (2)解:由(1)知旋转角为, ∴旋转过程中点A所经过的路程为, 旋转过程中点C所经过的路程为. 【巩固练习】 1.若扇形的半径为4,圆心角为,则此扇形的面积为( ) A. B. C. D. 【答案】C 2.将一把折扇展开,可抽象成一个扇形,若该扇形的半径为,弧长为,则扇形的圆心角大小为( ) A. B. C. D. 【答案】D 3.如图,在中,,,点是边上一点,经过点且恰好与边相切于点,与边交于点,则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】B 4.如图,P是外一点,射线交于A,B两点,与相切于点C,,若,则阴影部分的面积是( ) B. B. C.1 D. 【答案】D 6. 若扇形的圆心角为,半径为8,则它的弧长为 . 【答案】 6.如图,,,,两两不相交,且半径都是,则图中四个扇形(即阴影部分)的面积之和为 . 【答案】 7.如图,正五边形的边长为1,分别以点C,D为圆心,长为半径画弧,两弧交于点F,图中阴影部分的面积为 .(结果保留) 【答案】 8.“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮,共设有28个回转式太空舱全景轿厢,其示意图如图所示.该摩天轮高(即最高点离水面平台的距离),圆心O到的距离为,摩天轮匀速旋转一圈用时.某轿厢从点A出发,后到达点B,此过程中,该轿厢所经过的路径(即)长度为 .(结果保留) 【答案】 9.如图,扇形OAB的半径OA=2cm,∠AOB=120 ,则以AB为直径的半圆与围成的区域(图中阴影部分)的面积是 cm2. 【答案】. 10.如图,在边长为1个单位长度的小正方形网格中,的三个顶点均在格点上,坐标分别为.请解答下列问题: (1)画出关于y轴的对称图形; (2)将绕点O顺时针旋转得到,画出; (3)在(2)的条件下,求线段在旋转过程中扫过的面积. 【答案】(1)解:(1)如图,即为所求. (2)解:如图,即为所求. (3)解:,, ∴线段在旋转过程中扫过的面积为. 11.如图,点D为上一点,点C在直径的延长线上,且. (1)求证:是的切线; (2)若的半径为1,,则图中阴影部分的面积; 【答案】(1)解:如图,连接, ∵是的直径, ,即, , , 又, ,即, ∵是的半径, ∴是的切线; (2)解:∵的半径为1, , ∵是的切线,, ,, ∴, ∴, ∴, ∴图中阴影部分的面积 . 12.如图,等腰三角形的顶角,和底边相切于点C,并与两腰分别交于D、E两点,连接. (1)求证:四边形是菱形 (2)若的半径为2,求图中阴影部分的面积 【答案】(1)证明:连接, ∵和底边相切于点C, ∴ ∵, ∴, ∵, ∴和都是等边三角形, ∴, ∴; ∴四边形是菱形. (2)连接交于点F, ∵四边形是菱形 ∴, 在中,, ∴, ∴, ∴图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积 ; ∴图中阴影部分的面积为. ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网(北京)股份有限公司 $