专题 3.6 勾股定理（全章常考点梳理 + 题型精析+同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（苏科版 2024）

专题 3.6 勾股定理（全章常考点梳理 + 题型精析 +同步练习） 目录 一.常考点梳理与题型分类精析 1 【考点1】勾股数 1 【考点2】利用勾股定理求边长 1 【考点3】勾股定理与无理数 2 【考点4】勾股定理与弦图问题 3 【考点5】勾股定理的证明 4 【考点6】勾股定理最短路径 5 【考点7】勾股数的规律探究 6 【考点8】用勾股定理构造图形解决问题 6 【考点9】勾股定理的逆定理求解 7 【考点10】勾股定理与折叠问题 8 【考点11】勾股定理与古代问题 9 【考点12】勾股定理解决实际生活问题 10 二.同步练习 11 基础巩固（24题） 11 能力提升（22题） 17 一.常考点梳理与题型分类精析 【考点1】勾股数 【例题1】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）下列四组数中是勾股数的一组是（　　） A．，， B．，， C．5，， D．，， 【变式1】（24-25八年级下·四川南充·阶段练习）下列是勾股数的一组是（   ） A．3，5，9 B．4，6，8 C．1，，2 D．8，15，17 【变式2】（24-25九年级下·辽宁鞍山·开学考试）若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是 ． 【考点2】利用勾股定理求边长 【例题2】（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在中，． （1）若，，求的长 （2）若，，求的长． 【变式1】（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，为等边三角形，相交于点P，于Q．若，，则AD的长是 ． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交 、于点 、，再分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线 ，交于点．已知，，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【考点3】勾股定理与无理数 【例题3】（24-25八年级下·河南焦作·期中）如何在数轴上作出表示的点？我们可以这样做：如图1，在数轴上找出表示0与2的点，分别记为点A与点C，作，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数即为．参照上述方法，在图2的数轴上画出表示的点，并说明该点表示的数是． 【变式1】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在数轴上点A表示的实数是 ． 【变式2】（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，以原点为圆心，为半径画弧与数轴交于点A，且点A表示的数为，则的值为（　　）． A． B． C． D． 【考点4】勾股定理与弦图问题 【例题4】（24-25八年级下·福建福州·期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形和中间一个小正方形（如图2）．设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，若，较短直角边与较长直角边和为5，求正方形的面积． 【变式1】（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长（），下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．②④ C．③④ D．①②③ 【变式2】（24-25八年级下·山西晋中·期末）赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2，为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为24，则的面积是 ． 【考点5】勾股定理的证明 【例题5】（24-25八年级下·青海海东·阶段练习）美国第任总统伽菲尔德提出了如下的证明勾股定理的方法，由三个直角三角形组成了一个直角梯形，直角三角形的边长如图所示，请你写成证明过程． 【变式1】（24-25八年级上·山西晋城·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的证明方法也十分丰富．下面图形能证明的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ； 【考点6】勾股定理最短路径 【例题6】（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物． （1）小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路程最短？请你画出最短路线，并用箭头标注． （2）求小虫爬行的最短路程长（不计缸壁厚度）． 【变式1】（24-25九年级上·云南昆明·期末）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）如图，圆柱的高为，底面周长为，用一根绳子由点A逆时针绕圆柱两圈到点B，则这根绳子的长度至少需要 ． 【考点7】勾股数的规律探究 【例题7】（23-24八年级下·广西·期末）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且，所以3，4，5是勾股数．观察下列各勾股数有哪些规律； 3，4，5； 9，40，41； 5，12，13； ……； 7，24，25； ，，． （1）当时，求，的值 （2）判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）《九章算术》提供了许多勾股数如，等，其中一组勾股数中最大的数称为“弦数”．经研究，若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，则与这两个数组成勾股数；若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后用这个平方数分别减1，加1，得到两个整数，则与这两个数组成勾股数．根据上面的规律，由12生成的勾股数的“弦数”是 ． 【变式2】（24-25八年级上·江苏南通·期末）如果m表示大于1的整数，设，，，，其中任选三个数能构成勾股数的为（   ）． A．a，b，c B．a，b，d C．a，c，d D．b，c，d 【考点8】用勾股定理构造图形解决问题 【例题8】（24-25八年级下·新疆巴音郭楞·期末）某校在一次消防演练中，消防车按如图所示的方式停放，长的云梯需要到高的宿舍楼的点处，其示意图如图，已知云梯的底端到地面的距离是，与宿舍楼的水平距离是．云梯的长度够吗？请说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 【变式2】（2025·浙江·模拟预测）一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为 ． 【考点9】勾股定理的逆定理求解 【例题9】（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，已知在中，于D，，，． （1）求CD的长； （2）判断的形状并说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在四边形中，，连接． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求四边形的面积． 【变式2】（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点和，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【考点10】勾股定理与折叠问题 【例题10】（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若，，求的长． 【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图是长方形纸片，已知，现将纸片折叠，使点D落在边上的点M处，且，折痕为，则的长为（   ） A．1 B．2 C．2.5 D．1.5 【变式2】（24-25八年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，在中，，，，沿折叠，使得点A与点重合，则折痕的长为 ． 【考点11】勾股定理与古代问题 【例题11】（23-24八年级下·北京东城·期中）阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是： ，利用此数量关系解决以下问题； （2）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图1所示，设绳索的长为x尺，根据题意，可列方程为 ； （3）如图2，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 【变式1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的俯视示意图），今推开双门，门框上点C和点D到门槛的距离为1尺（1尺寸），双门间的缝隙为2寸，则门宽的长是（   ）寸？ A．101 B．102 C．103 D．104 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为 尺．（1丈尺） 【考点12】勾股定理解决实际生活问题 【例题12】（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直， （1）求绳索的长度． （2）如图3，秋千荡到时踏板离地面的高度． 【变式1】（24-25八年级下·四川南充·阶段练习）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．求C岛和A港之间的距离． 【变式2】（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 二.同步练习 基础巩固（24题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·四川南充·阶段练习）下列是勾股数的一组是（    ） A．3，5，9 B．0.3，0.5，0.4 C．1，，2 D．6，10，8 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 3．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，已知于点，点对应的数是，那么数轴上点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，在中，，，，则的长为（  ） A．4 B． C．2 D． 5．（24-25八年级下·河南许昌·期末）已知一个三角形的三边长分别为1，2，，则这个三角形的最小内角的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·山东济宁·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在格点上，已知D是边的中点，连接，则的长为（    ）    A．2 B． C．3 D．5 7．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图是由边长都是1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，其中，，是网格中的三个格点，点为线段的中点，连接，则（    ） A．2 B． C．3 D． 8．（24-25八年级下·河南开封·期末）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端B到墙底部O的距离为，如果将梯子顶端A沿墙下滑到C处，梯子底端B将外移的距离为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，岛P位于岛Q的正西方，P、Q两岛间的距离为海里，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东和南偏西方向上，则船R到岛P的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．80海里 10．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 二、填空题 11．（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 ． 12．（24-25八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）直角三角形的两条直角边长分别是和，则斜边长是 ． 13．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）如图，在正方形网格中有两条直线与，则的度数为 ． 14．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）一个三角形的三边长分别为 5，12，13，则这个三角形最长边上的高线为 ． 15．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形较短的直角边，斜边，则小正方形的边长为 ． 16．（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图，在中，平分，交于点D，，，，则点D到的距离为 ． 17．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，把长方形沿直线向上折叠，使点落在的位置上，已知，，则 ． 18．（23-24八年级下·河北邢台·期中）小明在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端，热爱思考的他制定了一个测量树高的方案．如图，在地面A处测得手中剩下的风筝线为4米．后退6米后，在地面B处风筝线恰好用完（点N在点M的正下方，A、B、N在同一条直线上）．已知风筝线总长为8米． （1） ； （2）这棵树的高度为 ． 19．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，李丽参加一期小出探宝节目，她先从点P处登陆小岛，往西走9千米，又往北走6千米，她接着向西走3千米，往南一拐，仅走1千米到达点Q处就找到了宝藏，则登陆点P与藏宝点Q之间的距离是 千米． 20．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）小明把一个边长为的正方形按如图1的方式裁成个形状、大小完全相同的直角三角形，然后拼成如图的图形，得到正方形、正方形，小明把正方形的边放在数轴上，其中点与数轴上表示1的点重合，且点在原点右侧，则点表示的数是 ． 三、解答题 21．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为， （1）已知，求的长； （2）请写出，，之间的数量关系并证明． 22．（2025·广东·三模）如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，有一只蚂蚁想从处沿圆柱表面爬到对角处搜集食物． （1）实践与操作：如图是该圆柱的侧面展开图，请用尺规作图法找出点的位置；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，连接，求出蚂蚁爬行的最短矩离的长． 23．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，单摆绕点左右摆动，摆绳长度为．处于水平位置，为单摆停止运动后的静止位置．摆动过程中为某一瞬时状态，此时，求点相对于点升高的长度． 24．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）满足的三个正整数组成的数组叫做勾股数组．《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五（古人将直角三角形中较短边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦）”就是一组最简单的勾股数组，在《九章算术》中给出了更多的勾股数组：，等．上述勾股数组的规律，可以用下面表格呈现： 勾股数组 … 股与弦的和： 9 25 49 … 股 … 弦 … 通过观察分析，回答下列问题： （1）根据上述勾股数组的特点，写出勾股数组（11，______，______）；（______，______，145） （2）猜想：若表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（，______，______）； （3）请证明（2）中的猜想． 能力提升（22题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·广西贵港·阶段练习）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（   ） A．4cm， 5cm， 6cm B．1cm， 1cm，cm C．6cm， 8cm， 11cm D．5cm， 12cm， 23cm 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在数轴上点表示的数为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·云南·模拟预测）如图，在边长为3的等边中，过点作垂直于的直线交的平分线于点，则点到边所在直线的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·辽宁营口·阶段练习）一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度为（    ） A．4尺 B．尺 C．尺 D．5尺 5．（23-24八年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距（　　） A．20海里 B．40海里 C．35海里 D．30海里 6．（21-22八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，在四边形中，，，点C是边上一点，，．．下列结论；①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 7．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 8．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在用个边长均为的小正方形构成的网格图中，的顶点均在格点上，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，O是等边三角形内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④．其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（23-24八年级下·广东梅州·期中）如图，长方形 中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，若恰好为直角三角形，则的长为（       ） A．1 B．3 C．1或 D．1或3 二、填空题 11．（24-25八年级下·广东中山·阶段练习）如图，矩形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为 ． 12．（24-25八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在中，， ，点D、E分别在边和边上，沿着直线翻折，点A落在边上，记为点F，如果，则的长为 ． 13．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，，． （1） m； （2）若梯子的顶端下滑，则梯子的底端向外移动了 ． 14．（24-25九年级下·山东淄博·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设二人从出发到相遇用x个单位时间，则根据题意列方程为 ． 15．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数 ． 16．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 三、解答题 17．（24-25八年级下·湖南永州·阶段练习）如图，在中，于 F， 于 E，M 为的中点，． （1）求证：； （2）若，求的面积． 18．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分； （1）试说明：； （2）若，，，请判断的形状，并说明理由． 19．（24-25八年级下·吉林白城·阶段练习）某校机器人兴趣小组在如图所示的直角三角形场地上开展训练．已知，米，米．机器人从点C出发，沿着的边按的方向匀速运动到点C停止；机器人运动的速度为2米/秒，运动至拐角处调整方向需要1秒（即在B、A处拐弯时分别用时1秒）．设机器人所用时间为t秒，其所在位置用点P表示（机器人大小不计）． （1）的长是 米； （2）是否存在这样的时刻，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 20．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，P是等边三角形内一点，且若将绕点A逆时针旋转后，得到．求： （1）的长度； （2）的度数 21．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，两个等腰直角和中，． （1）观察猜想如图1，点E在上，线段与的数量关系是________，位置关系是_________． （2）探究证明把绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗?说明理由； （3）拓展延伸：把绕点C在平面内自由旋转，若，，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出的长． 22．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图1，在中，，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒2个单位长的速度运动到点B，动点Q同时从点B出发，沿边以每秒1个单位长的速度运动到点C，设点P，Q运动时间为t（s）． （1）求的度数； （2）当是等边三角形时，求t的值； （3）在点P，Q的运动过程中，求当是直角三角形时t的值； （4）如图2，若D是边的中点，连接，，请直接写出的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 3.6 勾股定理（全章常考点梳理 + 题型精析 +同步练习） 目录 一.常考点梳理与题型分类精析 1 【考点1】勾股数 1 【考点2】利用勾股定理求边长 2 【考点3】勾股定理与无理解 5 【考点4】勾股定理与弦图问题 7 【考点5】勾股定理的证明 9 【考点6】勾股定理最短路径 11 【考点7】勾股数的规律探究 14 【考点8】用勾股定理构造图形解决问题 16 【考点9】勾股定理的逆定理求解 19 【考点10】勾股定理与折叠问题 22 【考点11】勾股定理与古代问题 25 【考点12】勾股定理解决实际生活问题 28 二.同步练习 31 基础巩固（24题） 31 能力提升（22题） 48 一.常考点梳理与题型分类精析 【考点1】勾股数 【例题1】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）下列四组数中是勾股数的一组是（　　） A．，， B．，， C．5，， D．，， 【答案】C 【分析】此题考查了勾股数的知识，满足的三个正整数，称为勾股数，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方，即可求解． 解：A、因为 ，，都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意； B、因为，，都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意； C、因为，所以它们是勾股数，故本选项符合题意； D、因为，，，，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·四川南充·阶段练习）下列是勾股数的一组是（   ） A．3，5，9 B．4，6，8 C．1，，2 D．8，15，17 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股数，解题的关键是掌握勾股数的定义，如果a，b，c为正整数，且满足，那么a、b、c叫做一组勾股数．先判断所给数据是否为正整数，再验证两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可． 解：A．，故不是勾股数，不符合题意； B．，故不是勾股数，不符合题意； C．存在无理数，故不是勾股数，不符合题意； D．，故是勾股数，符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级下·辽宁鞍山·开学考试）若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的定义是解题的关键． 设第三个数为，分两种情况，分别根据勾股定理列出方程，解方程即可． 解：设第三个数为， 分两种情况： ①为最大数时，， 解得：（不是整数，舍去）； ②为最大数时，， 解得：（负值已舍去）； 综上所述，第三个勾股数是． 故答案为： ． 【考点2】利用勾股定理求边长 【例题2】（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在中，． （1）若，，求的长 （2）若，，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查勾股定理的运用，含直角三角形的性质，掌握勾股定理是解决问题的关键． （1）直接利用勾股定理求得答案即可； （2）由，得出，设为，利用勾股定理列出方程求得答案即可． 解：（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵， ∴， 设为， 由勾股定理得， 解得：（负值已舍去）， 即． 【变式1】（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，为等边三角形，相交于点P，于Q．若，，则AD的长是 ． 【答案】 【分析】由已知条件，先证明，再证明，可得，最后利用勾股定理即可求出答案． 解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及含30度的角的直角三角形的性质：巧妙借助三角形全等和直角三角形中30度的性质求解是正确解答本题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交 、于点 、，再分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线 ，交于点．已知，，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了作角平分线、勾股定理、全等三角形；解题的关键是熟练掌握角平分线的定义、勾股定理、全等三角形的性质，从而完成求解．过点E作交于点D，根据题意得，通过证明，得、；根据勾股定理的性质计算，得；设，结合勾股定理性质，通过列方程并求解，即可得到答案． 解：如图，过点E作交于点D， ∴， ∴， 根据题意得：为的平分线，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即． 故选：C． 【考点3】勾股定理与无理解 【例题3】（24-25八年级下·河南焦作·期中）如何在数轴上作出表示的点？我们可以这样做：如图1，在数轴上找出表示0与2的点，分别记为点A与点C，作，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数即为．参照上述方法，在图2的数轴上画出表示的点，并说明该点表示的数是． 【答案】见分析 【分析】本题考查了勾股定理、实数与数轴等知识，由勾股定理求出的长是解题的关键． 解：在数轴上找出表示与的点，分别记为点A与点C，作，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数即为． ∵， ∴， ∵点位于点A的左侧， ∴点表示的数是． 【变式1】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在数轴上点A表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用，根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点A的位置可得答案． 解：点A表示的数为， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，以原点为圆心，为半径画弧与数轴交于点A，且点A表示的数为，则的值为（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理与无理数等知识点，掌握数轴上无理数的作法是解题的关键． 先说明，再根据勾股定理列式求出，然后再求出的值即可． 解：∵点A表示的数为， ∴， ∴ 由图形可得：， ∴． 故选：C． 【考点4】勾股定理与弦图问题 【例题4】（24-25八年级下·福建福州·期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形和中间一个小正方形（如图2）．设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，若，较短直角边与较长直角边和为5，求正方形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，求得，，得到，解方程组得到，，根据勾股定理即可得到结论． 解：设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为， ， ，是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 正方形的面积． 【变式1】（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长（），下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．②④ C．③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的面积公式和完全平方公式是解题的关键． 利用勾股定理、线段的和差、完全平方公式、直角三角形的面积公式逐项判断即可． 解：根据题意，由勾股定理得，，， ∴选项②错误，不符合题意，选项④正确，符合题意； 由得，，整理得， ∴， ∴选项③正确，符合题意（或由图形面积来证明）； 由③得， ∴， ∴， ∴选项①错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·山西晋中·期末）赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2，为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为24，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形的基础知以及三角形中线的性质等知识，掌握求解的方法是关键； 连接，如图，根据三角形的中线平分三角形的面积可得，进而可得，同理可得，进而可得，即可求解． 解：连接，如图， ∵点、、分别是、、的中点， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵的面积为24， ∴； 故答案为：． 【考点5】勾股定理的证明 【例题5】（24-25八年级下·青海海东·阶段练习）美国第任总统伽菲尔德提出了如下的证明勾股定理的方法，由三个直角三角形组成了一个直角梯形，直角三角形的边长如图所示，请你写成证明过程． 【答案】证明见分析 【分析】本题考查了勾股定理的证明及整式的混合运算，熟练掌握勾股定理及整式混合运算的运算法则是解题的关键．连接，分别用两种方法表示直角梯形的面积，证明出即可． 解：证明：如图所示，连接， 直角梯形的面积为， 也可以表示为三个直角三角形的面积和，即， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·山西晋城·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的证明方法也十分丰富．下面图形能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式，正方形面积公式，三角形面积公式，由正方形面积公式，三角形面积公式逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：，不能证明，不符合题意； ，能证明，符合题意； ，能证明，符合题意； 不能证明，不符合题意； 综上可知：能证明， 故选：． 【变式2】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ； 【答案】 【分析】本题考查利用图形面积证明勾股定理，掌握图形面积的多种求法，一般利用面积公式直接求解，两种方法利用拼组图形面积和来求是解题关键． 先根据勾股定理得出大正方形的面积，再得出三角形的面积，最后根据小正方形的面积=大正方形面积4个三角形面积，即可解答． 解：解；大正方形的面积， 三角形的面积， ∴小正方形的面积， 故答案为：． 【考点6】勾股定理最短路径 【例题6】（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物． （1）小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路程最短？请你画出最短路线，并用箭头标注． （2）求小虫爬行的最短路程长（不计缸壁厚度）． 【答案】（1）见分析；（2）小虫爬行的最短路线长为． 【分析】本题考查最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解． （1）作关于的对称点，连接，与交于点，此时最短； （2）为的斜边，根据勾股定理求解即可． 解：（1）解：如图， 作点关于所在直线的对称点， 连接，与交于点， 则为最短路线； （2）解：因为，， 所以． 在中，，，， 所以． 由对称性可知， 所以：． 所以：小虫爬行的最短路线长为． 【变式1】（24-25九年级上·云南昆明·期末）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作E点关于的对称点，连接、 、，当、P、F三点共线，时，此时的值最小，由题意可得，则，根据勾股定理即可求出 的值，即的最小值． 解：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P， 连接，则， ∴， 当、P、F三点共线，且时，的值最小， ∵是正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴的最小值． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了将军饮马问题，垂线段最短，等边三角形的性质，含30度角直角三角形的性质以及勾股定理．熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）如图，圆柱的高为，底面周长为，用一根绳子由点A逆时针绕圆柱两圈到点B，则这根绳子的长度至少需要 ． 【答案】20 【分析】先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是利用两点之间，线段最短． 此题主要考查了平面展开-最短路径问题，关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题．将圆柱的侧面展开，根据“两点之间，线段最短”确定最短路线，再根据勾股定理求解即可． 解：如图，将圆柱沿侧面展开，设点F，E分别为的中点，连接，根据两点之间，线段最短， 可得的长度和就是这根绳子的长度的最短长度． 由题可得：，，， 由勾股定理得：， 故， 故答案为：20． 【考点7】勾股数的规律探究 【例题7】（23-24八年级下·广西·期末）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且，所以3，4，5是勾股数．观察下列各勾股数有哪些规律； 3，4，5； 9，40，41； 5，12，13； ……； 7，24，25； ，，． （1）当时，求，的值 （2）判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由． 【答案】（1），；（2）10，24，26是勾股数，见分析 【分析】（1）先观察已有的勾股数，得到，再利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股数的定义进行判断即可． 解：（1）解：观察已有的勾股数可得， ∴， 把代入， 解得（负值已舍掉）， ∴； （2）10，24，26是勾股数． ∵． 又∵10，24，26都是正整数 根据勾股数的定义，可知10，24，26是勾股数． 【点拨】本题考查勾股数．熟练掌握勾股数的定义，是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）《九章算术》提供了许多勾股数如，等，其中一组勾股数中最大的数称为“弦数”．经研究，若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，则与这两个数组成勾股数；若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后用这个平方数分别减1，加1，得到两个整数，则与这两个数组成勾股数．根据上面的规律，由12生成的勾股数的“弦数”是 ． 【答案】37 【分析】此题主要考查了勾股数以及数字变化规律，正确得出的值是解题关键．直接根据题意分别得出由12生成的勾股数的“弦数”，进而得出答案． 解：把由12生成的勾股数的“弦数”记为， ，，， 故． 故答案为：37． 【变式2】（24-25八年级上·江苏南通·期末）如果m表示大于1的整数，设，，，，其中任选三个数能构成勾股数的为（   ）． A．a，b，c B．a，b，d C．a，c，d D．b，c，d 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理、勾股数，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 解：∵，，，， ∴；； ； ． A．，因为（当时，），，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； B．，所以，，能构成勾股数，故本选项符合题意； C． ，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； D．，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； 故选：B． 【考点8】用勾股定理构造图形解决问题 【例题8】（24-25八年级下·新疆巴音郭楞·期末）某校在一次消防演练中，消防车按如图所示的方式停放，长的云梯需要到高的宿舍楼的点处，其示意图如图，已知云梯的底端到地面的距离是，与宿舍楼的水平距离是．云梯的长度够吗？请说明理由． 【答案】云梯的长度足够 【分析】本题主要考查了勾股定理，连接，利用勾股定理求出，通过比较可知，可知云梯的长度不够． 解：如下图所示，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 云梯的长度足够． 【变式1】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出图形，正确构造直角三角形、根据勾股定理计算即可． 解：当人走到点的位置，头顶与点距离是时，灯刚好自动发光， 作于，    则， 在中，， 答：身高的学生要走到离墙的地方灯刚好发光． 故选：B． 【变式2】（2025·浙江·模拟预测）一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用,理解题意，正确应用勾股定理是解题的关键．过作于点，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 解：如图，过点作于点 ∴ ∴ 由勾股定理可得： 即离门铃米远的地方，门铃恰好自动响起 故答案为：． 【考点9】勾股定理的逆定理求解 【例题9】（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，已知在中，于D，，，． （1）求CD的长； （2）判断的形状并说明理由． 【答案】（1）；（2）直角三角形；理由见详解 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （）由垂直可得，利用勾股定理可得，； （）由（1）可得，可得，进而利用勾股定理的逆定理即可判断求解； 解：（1）解：∵， ∴ ∵，， ∴， （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 【变式1】（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在四边形中，，连接． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）直角三角形；理由见分析；（2） 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算，解题的关键是通过勾股定理求出的长度，再利用逆定理判断 的形状，进而计算四边形的面积． （1）在中，由勾股定理求出的长度；通过计算与的关系，利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形； （2）将四边形的面积转化为和的面积之和，分别计算两个三角形的面积后相加． 解：（1）是直角三角形． 理由：， ， ， 是直角三角形． （2）由（1）可知，， ． 【变式2】（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点和，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查了平方差公式、勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． （1）连接，先根据线段垂直平分线的性质可得，再利用平方差公式可得，然后根据勾股定理的逆定理即可得证； （2）设，则，代入计算即可得． 解：（1）证明：如图，连接， ∵为边上的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴． （2）解：设， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， 所以的长为． 【考点10】勾股定理与折叠问题 【例题10】（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若，，求的长． 【答案】（1）12；（2） 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理． （1）先求出，由折叠性质得：，在中，由勾股定理即可求出的长； （2）根据长方形性质得，，，由折叠性质得，，由此依据判定和全等得，设，则，，然后在中，由勾股定理求出，继而可得的长． 解：（1）在中，，， ∵， ∴， 由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：； （2）∵四边形是长方形，，， ∴，，， 由折叠性质得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图是长方形纸片，已知，现将纸片折叠，使点D落在边上的点M处，且，折痕为，则的长为（   ） A．1 B．2 C．2.5 D．1.5 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理、折叠性质，过点作于点，设，利用折叠性质，结合已知条件可得，，，在中，利用勾股定理列方程求解x值即可． 解：如图，过点作于点， 设，则，，， 在中，由勾股定理得， ， ， ． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，在中，，，，沿折叠，使得点A与点重合，则折痕的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了直角三角形的性质、折叠的性质及勾股定理，解题的关键是利用折叠性质得到线段相等和垂直关系，结合直角三角形边角关系求解． 先由直角三角形角的性质得结合勾股定理求出的长；根据折叠性质知且在中，利用角的性质得设在中用勾股定理求出进而得的长． 解：在中，，，， ∴． 由勾股定理得． ∵沿折叠后点A与点B重合， ∴垂直平分且． ∴是直角三角形，． ∵在中，， 设则． 在中，由勾股定理得 即， 解得即． ． 故答案为：2． 【考点11】勾股定理与古代问题 【例题11】（23-24八年级下·北京东城·期中）阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是： ，利用此数量关系解决以下问题； （2）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图1所示，设绳索的长为x尺，根据题意，可列方程为 ； （3）如图2，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）的长为3 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用与折叠问题，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质． （1）根据勾股定理解答即可； （2）设绳索的长为x尺，则的长为尺，根据勾股定理得，据此列出方程即可； （3）设，则，由折叠的性质可知，，结合勾股定理列出方程，解方程即可． 解：（1）解：在中，，，，， 由勾股定理得：， 故答案为：； （2）解：设绳索的长为x尺，则的长为尺， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：； （3）解：把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，， 设，则， ∴， 由矩形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，则的长为3． 【变式1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的俯视示意图），今推开双门，门框上点C和点D到门槛的距离为1尺（1尺寸），双门间的缝隙为2寸，则门宽的长是（   ）寸？ A．101 B．102 C．103 D．104 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，取的中点，由题意可知：，寸，设寸，则：寸，根据勾股定理列出方程进行求解即可． 解：取的中点，由题意可知：，寸， 设寸，则：寸，寸， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：， ∴寸； 故选A． 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为 尺．（1丈尺） 【答案】4.55 【分析】本题考查勾股定理的应用，设折断处离地面的高度为尺，在直角三角形中，利用勾股定理列方程求解即可． 解：设折断处离地面的高度为尺， ， 解得， 故答案为：． 【考点12】勾股定理解决实际生活问题 【例题12】（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直， （1）求绳索的长度． （2）如图3，秋千荡到时踏板离地面的高度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，熟知勾股定理是解题的关键． （1）设绳索的长度为，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）由含30度角的直角三角形的性质得到，则由勾股定理可得，再由线段的和差关系求出的长即可得到答案． 解：（1）解：设绳索的长度为，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 答：绳索的长度为； （2）解：在中，，， ∴， ∴， ∴， 答：秋千荡到时踏板离地面的高度为． 【变式1】（24-25八年级下·四川南充·阶段练习）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．求C岛和A港之间的距离． 【答案】 【分析】根据题意，利用勾股定理求出的长度，再求出的长度，再用勾股定理求出的长度即可． 本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是求出，的长度． 解：由题意，得：，， 中，， 由， ∴， 中，， 答：C岛和A港之间的距离． 【变式2】（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 【答案】（1）海港C受台风影响，理由见分析；（2） 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点C作于D，可证明得到，利用等面积法求出的长，即可得到结论； （2）在线段上取两点E、F，使得，连接，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，据此可得答案． 解：（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴海港C受台风影响； （2）解：如图所示，在线段上取两点E、F，使得，连接， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵台风中心移动的速度为，且， ∴台风影响海港C持续的时间有， 答：台风影响海港C持续的时间有． 二.同步练习 基础巩固（24题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·四川南充·阶段练习）下列是勾股数的一组是（    ） A．3，5，9 B．0.3，0.5，0.4 C．1，，2 D．6，10，8 【答案】D 【分析】本题考查勾股数的概念，解题的关键是明确勾股数是正整数，且满足两短边的平方和等于最长边的平方． 依次判断每个选项是否符合勾股数的定义． 解：A、勾股数需满足两短边平方和等于长边平方，，不是勾股数； B、勾股数是正整数，、、是小数，不满足勾股数为正整数这一条件，不是勾股数； C、勾股数是正整数，是无理数，不满足勾股数为正整数这一条件，不是勾股数； D、，满足两短边平方和等于长边平方，且、、都是正整数，所以是勾股数． 故选：D． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值． 解：如图所示，    在中，， 又， ， ， 故选：B． 3．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，已知于点，点对应的数是，那么数轴上点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出，进而根据点的位置即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 解：∵点对应的数是， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点在数轴上所表示的数是， 故选：． 4．（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，在中，，，，则的长为（  ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理．根据勾股定理即可得到结论． 解：在中，，，， ， 故选：B． 5．（24-25八年级下·河南许昌·期末）已知一个三角形的三边长分别为1，2，，则这个三角形的最小内角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股逆定理，等边三角形的判定与性质，斜边上的中线等于斜边的一半，先判断三角形是否为直角三角形，再运用斜边上的中线等于斜边的一半，证明是等边三角形，则，即可作答． 解：∵一个三角形的三边长分别为1，2，， ∴， ∴如下图所示：为直角三角形，，直角边为1和，斜边为2； 取的中点，连接， ∵是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴三角形的最小内角度数为， 故选：B． 6．（22-23八年级下·山东济宁·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在格点上，已知D是边的中点，连接，则的长为（    ）    A．2 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，根据勾股定理求出各边长度，根据勾股定理的逆定理判断出，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论． 解：∵，，， ，， ∴， 是边上的中线， ， 故选：B． 7．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图是由边长都是1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，其中，，是网格中的三个格点，点为线段的中点，连接，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，由网格线的特征得是直角三角形，且，利用勾股定理求出，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 解：由网格线的特征得是直角三角形，且， ∵， ∴， ∵点为线段的中点， ∴是斜边上的中线， ∴． 故选：B． 8．（24-25八年级下·河南开封·期末）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端B到墙底部O的距离为，如果将梯子顶端A沿墙下滑到C处，梯子底端B将外移的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的利用，根据题意可知：，，，，先利用勾股定理求出，进而得出，再利用勾股定理得出，最后根据求解即可． 解：根据题意可知：，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故选：A 9．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，岛P位于岛Q的正西方，P、Q两岛间的距离为海里，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东和南偏西方向上，则船R到岛P的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．80海里 【答案】D 【分析】本题考查方向角、含的直角三角形和等腰直角三角形性质，本题通过作于点，构造直角三角形，利用勾股定理解得此题． 解：作于点，如图所示． ， ， ， ， ， ， ． 设，则，，， ， ， ，解得，则． 故选：D． 10．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，分别在和中，利用勾股定理求出，即可求解． 解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 时， 即A市经过个小时开始受到台风影响． 故选：D 二、填空题 11．（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了勾股定理，根据正方形边长的平方等于它的面积，以及勾股定理进行列式计算，即可作答． 解：依题意，如图： 结合图形，且数字代表所在正方形的面积，正方形的边长的平方等于它的面积 ∴ 即A所代表的正方形的面积为32， 故答案为：32． 12．（24-25八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）直角三角形的两条直角边长分别是和，则斜边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理解三角形以及二次根式的化简运算．正确使用勾股定理是解决本题的关键． 根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．先分别计算两条直角边的平方，然后求和，最后再对和进行开方，即可得到斜边的长度． 解：∵直角三角形的两条直角边长分别是和， ∴由勾股定理可得： ． 故答案为：． 13．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）如图，在正方形网格中有两条直线与，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了在网格中判断直角三角形，利用勾股定理及其逆定理得是直角三角形，，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 解：由勾股定理得： ，，， ，， 是直角三角形，， ， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）一个三角形的三边长分别为 5，12，13，则这个三角形最长边上的高线为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等面积法，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理先判定三角形的形状，再根据三角形的面积公式求得其高． 解：， ∴， ∴该三角形是直角三角形， 根据等面积法可得，三角形最长边上的高线为， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形较短的直角边，斜边，则小正方形的边长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理的证明、勾股定理、正方形的面积，根据题意和勾股定理，可以求得直角三角形的另一条直角边，再根据小正方形的面积大正方形的面积四个直角三角形的面积，代入数据计算即可． 解：∵直角三角形较短的直角边，斜边， ∴另一条直角边为， ∵小正方形的面积大正方形的面积四个直角三角形的面积， ∴小正方形的面积为：， ∴小正方形的边长为7， 故答案为：7． 16．（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图，在中，平分，交于点D，，，，则点D到的距离为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理逆定理以及角平分线的性质，先得出，则，因为平分，所以角平分线上的点到角的两边距离相等，即点到的距离， 解：∵， ， ∴是直角三角形，且， 过点D作，垂足为E， ∵平分， ∴点到的距离， 故答案为：3． 17．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，把长方形沿直线向上折叠，使点落在的位置上，已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．先由长方形的性质和折叠的性质证得，再设，则，由勾股定理得出方程，即可得出结果． 解：四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故答案为：． 18．（23-24八年级下·河北邢台·期中）小明在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端，热爱思考的他制定了一个测量树高的方案．如图，在地面A处测得手中剩下的风筝线为4米．后退6米后，在地面B处风筝线恰好用完（点N在点M的正下方，A、B、N在同一条直线上）．已知风筝线总长为8米． （1） ； （2）这棵树的高度为 ． 【答案】 米 米 【分析】此题考查了勾股定理的应用．根据题意先求得,进而在中，勾股定理得出，，代入数据，即可求解． 解：根据题意得，米，（米），米， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴（负值已舍去）， 故答案为：，米． 19．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，李丽参加一期小出探宝节目，她先从点P处登陆小岛，往西走9千米，又往北走6千米，她接着向西走3千米，往南一拐，仅走1千米到达点Q处就找到了宝藏，则登陆点P与藏宝点Q之间的距离是 千米． 【答案】13 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．先求出（千米），（千米），再根据勾股定理求出千米即可． 解：根据题意可知：（千米）， （千米）， ， ∴根据勾股定理得：（千米）， 即登陆点P与藏宝点Q之间的距离是13千米． 故答案为：13． 20．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）小明把一个边长为的正方形按如图1的方式裁成个形状、大小完全相同的直角三角形，然后拼成如图的图形，得到正方形、正方形，小明把正方形的边放在数轴上，其中点与数轴上表示1的点重合，且点在原点右侧，则点表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴．结合题意得出，，，根据勾股定理求出的值，即可求解． 解：如图： 由题意得：，，， 在中，． ∵点与数轴上表示1的点重合， 故点表示的数为． 故答案为：． 三、解答题 21．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为， （1）已知，求的长； （2）请写出，，之间的数量关系并证明． 【答案】（1）；（2），证明见分析． 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定； （1）由题意得出是等腰直角三角形，根据角平分线的性质得出，进而勾股定理求得，进而根据，即可求解； （2）证明得出，进而根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出，进而根据，即可得出结论． 解：（1）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是的角平分线．， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵是的角平分线．， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 又是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 22．（2025·广东·三模）如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，有一只蚂蚁想从处沿圆柱表面爬到对角处搜集食物． （1）实践与操作：如图是该圆柱的侧面展开图，请用尺规作图法找出点的位置；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，连接，求出蚂蚁爬行的最短矩离的长． 【答案】（1）见分析；（2）最短矩离的长为 【分析】本题考查的知识点是尺规作图—垂直平分线、勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的应用． （1）点即为侧面展开图中长的垂直平分线与长的交点，作垂直平分线找到点后，连接即可； （2）结合勾股定理计算即可． 解：（1）解：如图，点即为所求． （2）解：由题意知，，，， 在中，． 答：蚂蚁爬行的最短矩离的长为． 23．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，单摆绕点左右摆动，摆绳长度为．处于水平位置，为单摆停止运动后的静止位置．摆动过程中为某一瞬时状态，此时，求点相对于点升高的长度． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，30度角所对的直角边是斜边的一半，先过点作于点，得出，运用勾股定理列式计算，即可作答． 解：过点作于点， ∵， 在中，，， 则， 由勾股定理可知：， 则， ∴点相对于点升高的长度为 24．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）满足的三个正整数组成的数组叫做勾股数组．《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五（古人将直角三角形中较短边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦）”就是一组最简单的勾股数组，在《九章算术》中给出了更多的勾股数组：，等．上述勾股数组的规律，可以用下面表格呈现： 勾股数组 … 股与弦的和： 9 25 49 … 股 … 弦 … 通过观察分析，回答下列问题： （1）根据上述勾股数组的特点，写出勾股数组（11，______，______）；（______，______，145） （2）猜想：若表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（，______，______）； （3）请证明（2）中的猜想． 【答案】（1）60；61；17；144；（2），；（3）见分析 【分析】本题考查了勾股数的概念，正确理解题意是解题关键． （1）观察表格可知，，据此求解即可； （2）根据题意可得股和弦的和，再求出股和弦即可； （3）求出的结果，看是否与相等即可． 解：（1）解：由表格可知，， ∴当时，， ∴； 当时，则， ∴， ∴或（舍去），； （2）解：∵m为最小的数， ∴另外两个数的和为， ∴股为，弦为； （3）证明： ， ∴是勾股数组． 能力提升（22题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·广西贵港·阶段练习）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（   ） A．4cm， 5cm， 6cm B．1cm， 1cm，cm C．6cm， 8cm， 11cm D．5cm， 12cm， 23cm 【答案】B 【分析】利用勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 解：∵， ∴不能构成直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴能构成直角三角形， 故B符合题意； ∵， ∴不能构成直角三角形， 故C不符合题意； ∵， ∴这样的三角形不存在， 故D不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在数轴上点表示的数为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴的关系，利用勾股定理表示出长度为无理数的线段是解决问题的关键．首先利用勾股定理求出，然后得到点A表示的数． 解：在直角三角形中，根据勾股定理得， ， 则， 故点A表示的数为， 故选B． 3．（2025·云南·模拟预测）如图，在边长为3的等边中，过点作垂直于的直线交的平分线于点，则点到边所在直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，角平分线的性质以及直角三角形的性质，勾股定理．设点到边所在直线的距离为h，根据等边三角形的性质可得，再根据角平分线的性质以及直角三角形的性质可得，，然后根据勾股定理可得，即可求解． 解：设点到边所在直线的距离为h， 等边的边长为3， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即点到边所在直线的距离为． 故选：D 4．（24-25八年级下·辽宁营口·阶段练习）一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度为（    ） A．4尺 B．尺 C．尺 D．5尺 【答案】A 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用．设折断处离地面的高度是x尺，根据勾股定理即可列出方程进行求解． 解：设折断处离地面的高度是尺， 根据勾股定理得， 解得． 故折断处离地面的高度是4尺， 故选：A． 5．（23-24八年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距（　　） A．20海里 B．40海里 C．35海里 D．30海里 【答案】B 【分析】此题考查勾股定理的应用，方向角，解题关键在于画出图形利用勾股定理进行计算． 根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别行驶的距离．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 两小时后，两艘船分别行驶了海里，海里， 根据勾股定理得：（海里）． 故选：B． 6．（21-22八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，在四边形中，，，点C是边上一点，，．．下列结论；①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】证明，由全等三角形的性质可得出，．再由图形的面积可得出①②⑤正确． 解：，， ， ． 在和中， ， ， ，． ， ． ， ， 故①②正确； ，， 四边形的面积是； 故③错误； 梯形的面积直角三角形的面积两个直角三角形的面积， ， ，， 故④错误，故⑤正确 故①②⑤共3个正确，③④错误． 故选：C． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的证明，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 7．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，则，再由勾股定理求出的长，即可得出结论． 解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ∴米， 即门铃恰好自动响起，则的长为4米， 故选：C． 8．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在用个边长均为的小正方形构成的网格图中，的顶点均在格点上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理的应用；观察网格图形，通过勾股定理计算得，；由判定全等；利用全等三角形对应角相等得，． 解：连接、． 由题意得：， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，O是等边三角形内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④．其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】连接，作交的延长线于点E，由等边三角形的性质得，，由旋转得，，则是等边三角形，，可证明，则可以由绕点B逆时针旋转得到，可判断①正确；因为，所以点O与的距离为4，可判断②正确；因为，，所以，则，而，则，可判断③正确；因为，则，所以，则，可判断④错误，于是得到问题的答案． 解：连接，作交的延长线于点E， ∵是等边三角形， ∴，， ∵将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段， ∴， ∴是等边三角形，， 在和中， ， ∴， ∴可以由绕点B逆时针旋转得到， 故①正确； ∴， ∴点O与的距离为4， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， ∴， 故④错误， 故选：C． 【点拨】此题重点考查等边三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 10．（23-24八年级下·广东梅州·期中）如图，长方形 中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，若恰好为直角三角形，则的长为（       ） A．1 B．3 C．1或 D．1或3 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点．分为两种情况，当和时，将图形画出，利用折叠性质和勾股定理求解即可． 解：如图，当时，    ∵在矩形中，，，， ∴， 由折叠性质可得：，，，则点在上， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴，则， 如图，当时，    ∴， 由折叠性质可得：， ∴四边形为正方形， ∴，则， 综上，或1， 故选．C． 二、填空题 11．（24-25八年级下·广东中山·阶段练习）如图，矩形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴、勾股定理等知识点，掌握勾股定理是解题的关键． 先根据勾股定理求得的长，再结合数轴即可解答． 解：如图：，则， ∵A点表示， ∴M点表示的数为： ． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在中，， ，点D、E分别在边和边上，沿着直线翻折，点A落在边上，记为点F，如果，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是关键；过点F作于点G，则由条件得，由勾股定理求得、的值，进而得；设，则，；在中由勾股定理建立方程可求得的值，最后可求得的长． 解：如图，过点F作于点G， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得、； ∵， ∴， ∴， ∴； 设，由折叠知，，； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 13．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，，． （1） m； （2）若梯子的顶端下滑，则梯子的底端向外移动了 ． 【答案】 2.5 1.3 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是： （1）直接根据勾股定理求解即可； （2）在中根据勾股定理求出，即可求解． 解：（1）在中，，， ∴， 故答案为：2.5； （2）∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 即梯子的底端向外移动了， 故答案为：1.3． 14．（24-25九年级下·山东淄博·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设二人从出发到相遇用x个单位时间，则根据题意列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题列一元二次方程、勾股定理的应用，由题意得出，，，，由勾股定理即可解答． 解：如图： 设二人从出发到相遇用x个单位时间， 由题意得：，，，， 由勾股定理可得：， ∴， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理逆定理，熟练掌握旋转前后图形的对应边相等、对应角相等，以及等边三角形和直角三角形的判定方法是解题的关键．连接 ，先利用旋转的性质得到对应边相等和对应角相等，再结合等边三角形的判定与性质，最后通过勾股定理逆定理判断 的形状，得到的度数，进而求出的度数． 解：连接 ，如图， ∵ 绕点 逆时针旋转得到 ，，，， ∴ ，，，， 又∵ 是等边三角形， ∴ ，即 ， ∴ ，即 ， ∵ 且 ， ∴ 是等边三角形， ∴ ，； 在 中，，，， ∵ ，即 ， ∴ 是直角三角形，， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． 故答案为： ． 16．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 【答案】 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，关键是根据翻折性质以及勾股定理解答． （1）由折叠的性质可得．设，则．在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解； （2）当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，在中，由勾股定理得．设．由折叠的性质得，．从而得到．在中，利用勾股定理求出y的值，即可求解． 解：（1）在长方形中， 为线段的中点， ． 由折叠的性质，得． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得． ． 故答案为： （2）连接， ， 当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，如图． ， 在中，由勾股定理得． 设． 由折叠的性质得，． ． 在中，由勾股定理得， ． 解得 线段的值最小时，的长度为． 故答案为： 三、解答题 17．（24-25八年级下·湖南永州·阶段练习）如图，在中，于 F， 于 E，M 为的中点，． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）的面积为12 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的性质，三角形的面积，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解答本题的关键． （1）先根据垂直定义可得：，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，即可解答； （2）过点M作，垂足为G，先利用等腰三角形的三线合一性质可得：，然后在中，利用勾股定理求出的长，最后利用三角形的面积公式进行计算即可解答． 解：（1）证明：于F，于E，M为的中点， ， ； （2）如图， 过点M作于点D， 于F，于E，M为的中点， ， ， ， ∴在中，根据勾股定理，得， ． 18．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分； （1）试说明：； （2）若，，，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）为直角三角形，理由见分析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，最后根据等腰三角形的判定得出答案即可； （2）先求出，得出，根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：为直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴为直角三角形． 19．（24-25八年级下·吉林白城·阶段练习）某校机器人兴趣小组在如图所示的直角三角形场地上开展训练．已知，米，米．机器人从点C出发，沿着的边按的方向匀速运动到点C停止；机器人运动的速度为2米/秒，运动至拐角处调整方向需要1秒（即在B、A处拐弯时分别用时1秒）．设机器人所用时间为t秒，其所在位置用点P表示（机器人大小不计）． （1）的长是 米； （2）是否存在这样的时刻，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）10；（2）存在，t的值为7秒或秒或11秒 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，等腰三角形的性质， （1）使用勾股定理即可求解的长； （2）根据点P的位置，确定等腰三角形，结合勾股定理即可求解． 解：（1）解：∵，米，米． ∴在中，米， 故答案为：10； （2）解：存在， ①点P在上，时，如图， ∴米， ∴米， 秒； ②点P在上，时， 过点C作交于点M，如图， ∵， 即，解得米， 在中，米， 米， ∴路程为米， 秒； ③点P在上，时，如图， ∴米， ∴路程为米， ∴，即秒； 综上所述，t的值为7秒或秒或11秒时，是以为腰的等腰三角形． 20．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，P是等边三角形内一点，且若将绕点A逆时针旋转后，得到．求： （1）的长度； （2）的度数 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理逆定理，旋转前后对应边相等，对应角相等． （1）根据旋转的性质可得，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得； （2）根据等边三角形的性质可得，利用勾股定理逆定理求出，然后求解即可． 解：（1）∵绕点逆时针旋转后，得到， ∴是等边三角形， ； （2）解：∵绕点逆时针旋转后，得到， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ∴是直角三角形，， ． 21．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，两个等腰直角和中，． （1）观察猜想如图1，点E在上，线段与的数量关系是________，位置关系是_________． （2）探究证明把绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗?说明理由； （3）拓展延伸：把绕点C在平面内自由旋转，若，，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出的长． 【答案】（1）相等，垂直；（2）（1）中的结论还成立，理由见分析；（3）的长的长为17或31 【分析】（1）延长交于，证明，得出，，再由三角形内角和定理求出，即可得解； （2）延长交于，证明，得出，，再由三角形内角和定理求出，即可得解； （3）分两种情况：当射线在直线上方时，作于；当射线在直线的下方时，作于，分别利用等腰三角形的性质、勾股定理求解即可． 解：（1）解：如图，延长交于， ， ∵和为等腰直角三角形，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点E在上，线段与的数量关系是相等，位置关系是垂直； 故答案为：相等；垂直 （2）解：（1）中的结论还成立，理由如下： 如图，延长交于， ， ∵和为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当射线在直线上方时，作于， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当射线在直线的下方时，作于， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的长的长为17或31． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 22．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图1，在中，，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒2个单位长的速度运动到点B，动点Q同时从点B出发，沿边以每秒1个单位长的速度运动到点C，设点P，Q运动时间为t（s）． （1）求的度数； （2）当是等边三角形时，求t的值； （3）在点P，Q的运动过程中，求当是直角三角形时t的值； （4）如图2，若D是边的中点，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）t的值为5或8；（4）15． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得是直角三角形，从而可得的度数； （2）依题意得， ， ，再根据得当时，是等边三角形，则，由此解出t即可得出答案； （3）当是直角三角形时，有以下两种情况：①当时，则，进而得，则，由此解得；②当时，则，进而得，则，由此解得，综上所述即可得出答案； （4）过点C作于点F，在的延长线上取一点E，使，连接，，，则，，进而得是等腰三角形，，证明得是等边三角形，再由勾股定理求出，继而根据“两点之间线段最短”得，则的最小值为15，由此即可得出的最小值． 解：（1）∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴； （2）依题意得：， ， ∴， ∵， ∴当时，是等边三角形， ∴， 解得：， ∴当是等边三角形时，t的值为； （3）当是直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1所示： ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：； ②当时，如图2所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上所述：当是直角三角形时，t的值为5或8； （4）过点C作于点F，在的延长线上取一点E，使，连接，，，如图3所示： ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∴是等腰三角形，， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴等腰三角形是等边三角形， ∴， ∵点D是的中点， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴， ∴的最小值为15， ∵， ∴的最小值为15． 【点拨】此题主要考查了含有30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，线段的性质，熟练掌握含有30°角的直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，理解两点之间线段最短是解决问题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$