精品解析：山西省长治市沁源县第一中学2025-2026学年高三上学期8月开学摸底考试数学试卷

2025-2026学年高三入学摸底联考 数学 考试说明： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知i为虚数单位，复数z满足zi＝－2＋i，则＝（ ） A. 1＋2i B. －1＋2i C. 1－2i D. －1－2i 3. 已知向量，且，则（ ） A. -5 B. -6 C. -10 D. 7 4. 已知是等差数列的前项和，且，则（ ） A. 36 B. 46 C. 64 D. 160 5. 已知，且是第二象限的角，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 过坐标原点作曲线的切线，若切线有且只有一条，那么（ ） A. -2 B. -4 C. 2 D. 4 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 设集合，则下列曲线能表示从集合到集合的函数关系的有（ ） A B. C D. 10. 已知圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则下列结论正确的是（ ） A. 该圆锥的母线长为2 B. 该圆锥的体积为 C. 该圆锥侧面积为 D. 该圆锥外接球的表面积等于 11. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 先向右平移个单位长度，再将纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 B. 先向左平移个单位长度，再将纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍 C. 先将纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度 D. 先将纵坐标不变，横坐标伸长为原来2倍，再向左平移个单位长度 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中含项的系数为___________． 13. 已知直线与圆交于两点，写出满足“面积为”的的一个值___________． 14. 甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制．若各局比赛相互独立，甲每局获胜的概率为，没有平局．若已知甲最终获得比赛胜利，那么甲是以获胜的概率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知角成等差数列，． （1）求； （2）若的外接圆的周长为，求的面积． 16. 某公司对新产品进行测试，测试分两个环节，第一个环节通过后才能进入第二环节测试，第一环节测试合格的概率为，若第一环节测试通过，则第二环节测试合格的概率为；若第一环节测试不合格，则无法进第二环节，设该产品最终测试合格的概率为，且每次测试结果相互独立． （1）求的值； （2）若连续2次进行测试，记为合格的次数，求的分布列及数学期望． 17. 如图，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且，将沿进行翻折，使得点至点处，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，其中点在第一象限．若的中点到轴的距离为，且（为坐标原点）． （1）求抛物线的方程； （2）求的面积； （3）过点的直线与抛物线交于两点，问：在轴上是否存在定点，设直线的斜率分别为，使为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 19. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三入学摸底联考 数学 考试说明： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】由交集定义可得答案. 【详解】因为，故. 故选:B． 2. 已知i为虚数单位，复数z满足zi＝－2＋i，则＝（ ） A. 1＋2i B. －1＋2i C. 1－2i D. －1－2i 【答案】C 【解析】 【分析】复数的除法运算计算复数，然后应用复数共轭写出即可. 【详解】解：因为 zi＝－2＋i，，所以＝. 故选：C 3. 已知向量，且，则（ ） A. -5 B. -6 C. -10 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示计算可得. 【详解】由已知，解得， 故选C． 4. 已知是等差数列的前项和，且，则（ ） A. 36 B. 46 C. 64 D. 160 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列前n项和公式计算即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由，得， 解得，所以. 故选 ：C 5. 已知，且是第二象限的角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由的象限，求得和的值，然后利用二倍角公式化简代数式，即可求得答案. 【详解】因为，且是第二象限的角，则． 所以. 故选： B． 6. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数、指数幂的运算性质比较大小即可. 【详解】，故， ，所以，故． ，所以，故．那么. 故选：A. 7. 过坐标原点作曲线的切线，若切线有且只有一条，那么（ ） A. -2 B. -4 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，用点斜式写出切线方程，代入原点即可求出. 【详解】设切点为， 所以切线的斜率， 切线方程为． 将坐标原点代入可得， 因为切线有且只有一条，所以， 解得或，又，所以， 故选：D． 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据椭圆的定义可得，，结合勾股定理列方程可得，进而结合余弦定理可求得，进而求解即可. 【详解】因为，设，如图所示， 由椭圆的定义可知，，则， 同理，则， 因为，则， 则，化简可得， 则，则（舍去）或， 所以，所以为椭圆的上（或下）顶点， 又， 所以在中，，解得，即. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 设集合，则下列曲线能表示从集合到集合的函数关系的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的概念一一判断即可得正确答案. 【详解】对于选项和选项，集合中有的数(如：）在集合中对应两个值，不唯一， 所以不符合函数定义，所以选项和选项错误； 对于选项和选项，集合和集合均为数集，且集合中的每一个数在集合中都有唯一的数与它对应，符合函数的定义， 所以选项和选项正确. 故选：BD. 10. 已知圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则下列结论正确的是（ ） A. 该圆锥的母线长为2 B. 该圆锥的体积为 C. 该圆锥的侧面积为 D. 该圆锥外接球的表面积等于 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，即可计算母线长，进而判断A，利用圆锥体积公式计算即可判断B，计算圆锥的侧面积即可判断C，先计算外接球的半径，再计算球的表面积即可判断D. 【详解】设母线长为，底面半径为，因为轴截面是面积为的等边三角形， 所以，解得，底面半径，故A正确； 圆锥高，体积，故B正确； 侧面展开扇形的弧长为，侧面积为，故C正确； 设圆锥的外接球的球心为，半径为，轴截面如图所示： 在等边中，外接圆半径为，即， 所以圆锥的外接球的表面积，故D错误． 故选：ABC． 11. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 先向右平移个单位长度，再将纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 B. 先向左平移个单位长度，再将纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍 C. 先将纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度 D. 先将纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度 【答案】AC 【解析】 【分析】由诱导公式可得，再由三角函数的图象变换依次判断各选项即可. 【详解】，若先向右平移个单位长度，得到，再将纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到，故正确： 若先向左平移个单位长度，得到，再将纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到，故B错误； 若先将纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到，再向右平移个单位长度得到，故C正确； 若先将纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到，再向左平移个单位长度，得到，故D错误． 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中含项的系数为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】展开式的通项为，， 令，则， 所以含项的系数为． 故答案为：. 13. 已知直线与圆交于两点，写出满足“面积为”的的一个值___________． 【答案】（从中任选一个即可） 【解析】 【分析】由圆心坐标得到圆心到直线距离。由垂径定理得到弦长与圆心到之间距离的关系，利用三角形面积建立方程，从而解得圆心到直线距离，然后即可解得的值. 【详解】圆心到直线的距离、 由于弦长，所以，解得或， 故或，解得或．因此，从中任选一个即可． 故答案为：（从中任选一个即可）. 14. 甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制．若各局比赛相互独立，甲每局获胜的概率为，没有平局．若已知甲最终获得比赛胜利，那么甲是以获胜的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，甲获得比赛胜利，比赛的结果可为3：0，3：1和3：2，分别求得概率，再利用条件概率公式求解即可. 【详解】由题意可知若甲获得比赛胜利，比赛的结果可为3：0，3：1和3：2． 若甲以获胜，则概率为， 若甲以获胜，则概率为， 若甲以3：2获胜，则概率为， 所以甲获得比赛胜利的概率为， 则在已知甲最终获得比赛胜利的条件下，甲是以3：1获胜的概率为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知角成等差数列，． （1）求； （2）若的外接圆的周长为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列求出，对方程消元，仅保留，解出，然后根据同角三角函数的关系求解； （2）根据正弦定理和三角形的面积公式求解. 【小问1详解】 因为角成等差数列，所以 又因为，所以 由，可知 化简得，即．则为锐角， 联立，解得 【小问2详解】 由（1）知，且是锐角，则 又的外接圆的周长为，所以 那么 所以的面积 16. 某公司对新产品进行测试，测试分两个环节，第一个环节通过后才能进入第二环节测试，第一环节测试合格的概率为，若第一环节测试通过，则第二环节测试合格的概率为；若第一环节测试不合格，则无法进第二环节，设该产品最终测试合格的概率为，且每次测试结果相互独立． （1）求的值； （2）若连续2次进行测试，记为合格的次数，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）设事件A表示“第一环节测试合格”，事件B表示“第二环节测试合格”，事件C表示“最终测试合格”，则，据此即可求解； （2）服从二项分布，根据二项分布分布列计算方法和数学期望计算公式即可求解． 【小问1详解】 设事件A表示“第一环节测试合格”，事件B表示“第二环节测试合格”，事件C表示“最终测试合格”， 根据题意，由条件概率公式得， 已知，则，故； 【小问2详解】 由（1）知，该产品测试合格的概率为，因连续2次测试相互独立， 故服从二项分布，即， 由二项分布概率公式得， 当时，； 当时，； 当时，； 0 1 2 由二项分布期望公式得． 17. 如图，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且，将沿进行翻折，使得点至点处，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由勾股定理可知，由线面垂直的判定定理即可求证； （2)建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，由向量夹角的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 中，由，得， 翻折后，有，，， 连接，可得，又因， 所以，， 又因为，平面， 所以平面. 小问2详解】 以为坐标原点，所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立如图空间直角坐标系， 那么，， 设平面的法向量为，且， 则，即，令，可得，所以 设平面的法向量为，且， 则，即，令，可得，所以， 所以，，所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，其中点在第一象限．若的中点到轴的距离为，且（为坐标原点）． （1）求抛物线的方程； （2）求的面积； （3）过点的直线与抛物线交于两点，问：在轴上是否存在定点，设直线的斜率分别为，使为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，定点为 【解析】 【分析】（1）根据条件，用表示出点坐标，结合可求的值，得到抛物线的方程. （2）结合（1）的结论，写出直线的方程，与抛物线方程联立，可得点坐标，利用求的面积. （3）设直线：，代入抛物线方程，利用韦达定理，表示，，再设，用表示得：，可得时，为定值. 【小问1详解】 由题意得 的中点到轴的距离为， 又点在抛物线上， ，又点在第一象限，即， ，,. 抛物线的方程：. 【小问2详解】 由（1）可知：，，， 所以直线的斜率为，则直线的方程为 联立抛物线可得，． 又，，那么 所以的面积. 【小问3详解】 如图： 设，，， 易知直线斜率存在，设直线， 联立，消得： ， ， 由韦达定理得：，， ， 为使得为定值，则需满足与m无关， 故，即，， 综上，存在定点，使得为定值. 19. 已知函数． （1）若，求曲线在处切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，再利用点斜式求出切线方程即可 （2）求导得，分、两种情况讨论单调性； （3）令，分、两种情况分类讨论，其中时求证，时，按照在上有无零点讨论即可. 【小问1详解】 当时，，则 又， 切线方程为，即； 【小问2详解】 的定义域为，， ①当时，，在上单调递减； ②当时，令，得，，得， 在上单调递减，在上单调递增 综上所述，若，则在上单调递减， 若，则在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 ， 令，则， ，， ①当时，，， 令， ， 令，则， 又，则在上单调递增， 则，在上单调递增， 则在上恒成立，则在上恒成立， 当时，在上恒成立； ②当时，， 若在上无零点，则在上恒成立， 则在上单调递减，则在上恒成立，不符合题意； 若存在使得，其中为最小的零点， 则在上恒成立，则在上单调递减， 则在上恒成立，不符合题意； 的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $