精品解析：北京市朝阳区人朝分实验学校2024-2025学年下学期九年级中考考前模拟数学试题

人大附中朝阳学校初三年级考前保温练习 数学试卷 （时间：120分钟 满分：100分） 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有—个． 1. 科学家在海底下约4.8公里深处的沙岩中，发现了一种世界上最小的神秘生物，它们的最小身长只有0.00000002米，甚至比已知的最小细菌还要小．将0.00000002用科学记数法表示为（　　） A. 2×10﹣7 B. 2×10﹣8 C. 2×10﹣9 D. 2×10﹣10 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数． 【详解】解：将数字0.00000002用科学记数法表示应为， 故选B． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意，选项正确； B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合题意，选项错误； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，选项错误； D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意，选项错误； 故选：A． 3. 有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（ ） A. a B. b C. c D. d 【答案】A 【解析】 【分析】数轴上的点到原点的距离就是该点表示的数的绝对值，先根据点在数轴上的位置确定其绝对值，然后求出最大的即可． 【详解】解：由数轴可得：，，，， 故这四个数中，绝对值最大的是：a． 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴和绝对值的知识，根据数轴确定对应位置点的绝对值是解题的关键． 4. 如图，有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的有红心4、方块8、方块10共有3种情况， ∴从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是： ． 故选D． 5. 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M、C两点间的距离为（ ） A. 0.5km B. 0.6km C. 0.9km D. 1.2km 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得． 【详解】解：根据题意可得，AM=1.2， ∵M为中点， ∴AB=2AM=2.4， ∴CM= 故选：D． 【点睛】题目主要考查直角三角形斜边上的中线的性质，理解题意，熟练掌握运用这个性质是解题关键． 6. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE=35°，则∠A的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：题中有三个条件，图形为常见图形，可先由AB∥DE，∠BCE=35°，根据两直线平行，内错角相等求出∠B，然后根据三角形内角和为180°求出∠A． 详解：∵AB∥DE，∠BCE=35°，∴∠B=∠BCE=35°（两直线平行，内错角相等）． 又∵∠ACB=90°，∴∠A=90°﹣35°=55°（在直角三角形中，两个锐角互余）． 故选C． 点睛：看到两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的． 7. 二元一次方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用加减消元法求出x的值，再代回第一个方程求出y的值即可． 【详解】解：， ①+②，得：4x=4， 解得：x=1， 将x=1代入①，得：1+y=6， 解得：y=5， 所以方程组的解为， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键． 8. 小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的【 】 A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误； B、假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误； C、， 假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小翔的距离等于经过30秒时教练到小翔的距离，而点P不符合这个条件，故本选项错误； D、经判断点Q符合函数图象，故本选项正确； 故选D． 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 若式子有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．根据分式有意义的条件列不等式解答即可． 【详解】解：∵式子有意义 ∴，解得：． 故答案为：． 10. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再用公式法进行因式分解即可． 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，在进行因式分解时，有公因式一定要先提公因式．熟练掌握分解因式的步骤是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 用一组整数a，b，c的值说明命题“若a＞b＞c，则a+b＞c”是错误的，这组值可以是a＝__，b＝__，c＝__． 【答案】 ①. -2 ②. -3 ③. -4 【解析】 【分析】根据题意选择a、b、c的值，即可得出答案，答案不唯一． 【详解】解：当a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣4时，﹣2＞﹣3＞﹣4，则（﹣2）+（﹣3）＜（﹣4）， ∴命题若a＞b＞c，则a+b＞c”是错误的； 故答案为：﹣2，﹣3，﹣4． 【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 12. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，DE⊥AC于点E，则AE＝__． 【答案】． 【解析】 【分析】利用矩形的性质得到∠ADC=90°，AD=BC=3，CD=AB=4，利用勾股定理计算出AC=5，利用面积法计算出DE=，然后利用勾股定理计算AE的长． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ADC＝90°，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4， 在Rt△ADC中，AC5， ∵DE•ACAD•CD， ∴DE， 在Rt△ADE中，AE． 故答案为． 【点睛】本题考查了勾股定理，以及矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有；矩形的四个角都是直角；邻边垂直；矩形的对角线相等． 13. 如图，AB为⊙O的直径，C，D，E为⊙O上的点，，∠ABD＝60°，则∠CEB＝_____°． 【答案】60 【解析】 【分析】连接OC，OD，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：连接OC，OD， ∵AB为⊙O的直径，∠ABD＝60°， ∴∠AOD＝120°， ∴∠BOD＝60°， ∵， ∴∠DOC＝∠BOD＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∴∠CEB＝∠BOC＝60°， 故答案为60． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，正确的作出辅助线是解题的关键． 14. 若正多边形的每一个内角为，则这个正多边形的边数是__________． 【答案】八（或8） 【解析】 【分析】根据正多边形的每一个内角为，求出正多边形的每一个外角，根据多边形的外角和，即可求出正多边形的边数． 【详解】解：根据正多边形的每一个内角为 正多边形的每一个外角为： 多边形的边数为： 故答案为八． 【点睛】考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和是解题的关键． 15. 如果，那么代数式的值是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入可得答案． 【详解】 ， ， ， 当 ，即 时， 原式 ． 故答案为 ． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解题关键． 16. 某快递公司配送包裹至n个站点，站点按顺序编号为1至n，从站点i到站点j的配送成本为，其中表示站点i的包裹大小．已知包裹大小序列为：，，，，．若每次配送必须连续站点（如从站点2到站点4），且每个站点只能被配送一次，则完成所有站点配送的最小总成本为______元；若允许拆分配送（每个站点可被多次访问，但包裹只交付一次），最小总成本为______元． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了优化问题．理解配送成本公式是解题的关键．不允许拆分配送时，由于每个站点只能被配送一次且每次配送必须连续站点，那么只能一次性将所有站点配送完，即从站点1到站点5. 根据配送成本公式计算即可．允许拆分配送时，为了使总成本最小，每次配送2个站点．例如站点3位于中间，优先配送，然后每次途经站点3或已配送完的站点，配送费用最小，分别计算再求和即可． 【详解】解：不允许拆分配送时，由于每个站点只能被配送一次且每次配送必须连续站点，有以下3种方案 方案1：配送 成本为元 方案2：配送 成本为元 方案3：配送 成本为元 ∴方案2成本最低为元 允许拆分配送时，为了使总成本最小，需要合理拆分配送站点．站点3位于中间，优先配送，然后每次途经站点3或已配送完的站点，配送费用最小， 站点3，包裹已经交付，则接下来，， 成本为元 故答案为：，22． 三、解答题（本题共68分，第17~21题，23题，每小题5分，第22题，24~26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算绝对值、二次根式化简、特殊角的三角函数值以及0指数幂，再进行加减计算即可．本题主要考查了实数的运算，绝对值、二次根式化简、特殊角的三角函数值以及0指数幂，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查解一元一次不等式组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．分别解出两不等式的解集，再求其公共解． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为：． 19. 下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60°”的尺规作图过程． 已知：⊙O 求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD内接于⊙O，且其对角线AC，BD的夹角为60°． 作法：如图 ①作⊙O的直径AC； ②以点A为圆心，AO长为半径画弧，交直线AC上方的圆弧于点B； ③连接BO并延长交⊙O于点D； 所以四边形ABCD就是所求作的矩形． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵点A，C都在⊙O上， ∴OA＝OC 同理OB＝OD ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°（ ）（填推理的依据） ∴四边形ABCD是矩形 ∵AB＝　 　＝BO， ∴四边形ABCD四所求作的矩形． 【答案】 （1）如图所示，矩形ABCD即为所求； （2）直径所对圆周角是直角，AO 【解析】 【分析】（1）根据要求作图即可得； （2）根据圆周角定理推论及圆的性质求解可得． 【详解】解：（1）略 （2）略． 【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，涉及到等边三角形的判定与性质、圆周角定理、矩形的性质与判定等知识，解题的关键是掌握圆周角定理． 20. 如图，在△ABC中，AC=BC，点D， E， F分别是AB，AC， BC的中点，连接DE，DF. (1)求证:四边形DFCE是菱形； (2)若∠A=75°，AC=4，求菱形DFCE的面积. 【答案】（1）证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点， ∴DE∥CF，DE=BC，DF∥CE，DF=AC， ∴四边形DECF是平行四边形， ∵AC=BC，∴DE=DF， ∴四边形DFCE是菱形； （2）2. 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可得到结论； （2）过E作EG⊥BC于G，根据等腰三角形和直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）略； （2）过E作EG⊥BC于G， ∵AC=BC，∠A=75°， ∴∠B=∠A=75°， ∴∠C=30°， ∴EG=CE=AC=1， ∴菱形DFCE的面积=2×1=2． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，菱形的面积，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象经过点，，与x轴交于点A． （1）求该一次函数的表达式及点A的坐标； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数（）的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质． （1）先利用待定系数法求出函数解析式为，然后计算自变量为0时对应的函数值得到点坐标； （2）当函数与轴的交点在点（含点）上方时，当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值． 【小问1详解】 解：一次函数的图象经过点，， ， 解得， 该一次函数的表达式为， 令，得， ， ； 【小问2详解】 解：当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值， ， ． 22. 羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛也可以进行双打比赛，如图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为，场地的长比宽的倍还多（包含分界线宽），单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离． 【答案】球网同侧的单、双打后发球线间的距离是 【解析】 【分析】设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是，则中线同侧的单、双打边线间的距离是，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是，则中线同侧的单、双打边线间的距离是， 由题意可得， 解得， ∴， ∴球网同侧的单、双打后发球线间的距离是． 23. 商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅．下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息： ．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为： ，； ．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半； ．甲、乙两种商品成本与售价信息如下： 甲商品的成本与售价信息表 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 成本 售价 m n p 乙商品的成本与售价统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲商品这五周成本的平均数为___________，中位数为___________； （2）表中m的值为____________，从第三周到第五周，甲商品第_______周的售价最高； （3）记乙商品这周售价的方差为，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这周新售价的方差为，则________；（填“”“”或“”）． 【答案】（1）， （2），四 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意知，成本从小到大依次排序为；则甲商品这五周成本的平均数为，中位数为第3个位置的数，求解作答即可； （2）由题意知，第二周成本的涨跌幅为，第二周售价的涨跌幅为，可求；同理可求；；根据，作答即可； （3）由，可知改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小，即，然后作答即可． 【小问1详解】 解：由题意知，成本从小到大依次排序为； ∴甲商品这五周成本的平均数为， 中位数为第3个位置的数即中位数是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意知，第二周成本的涨跌幅为， ∴第二周售价的涨跌幅为， 解得，； 同理，第四周成本的涨跌幅为，第四周售价的涨跌幅为， 解得，； 第五周成本的涨跌幅为，第五周售价的涨跌幅为， 解得，； ∵， ∴从第三周到第五周，甲商品第四周的售价最高， 故答案为：，四； 【小问3详解】 解：由题意知，改规定前“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”，改规定后“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”， ∵， ∴改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平均数，中位数，一元一次方程的应用，方差与稳定性．熟练掌握平均数，中位数，一元一次方程的应用，方差与稳定性是解题的关键． 24. 如图，△ABC内接于以AB为直径的⊙O，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线相交于点D，在CB上截取CE＝CD，连接AE并延长，交⊙O于点F，连接CF． （1）求证：AC＝CF； （2）若AB＝4，sinB，求EF的长． 【答案】（1）证明：∵AD是⊙O的切线 ∵AB是⊙O的直径 是等腰三角形，且 （等腰三角形的三线合一性质） 又（圆周角定理） ； （2）EF 【解析】 【分析】（1）先根据圆的切线性质和圆周角定理得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后由圆周角定理可得，等量代换得，最后根据等角对等边即可得证； （2）由相似三角形的判定定理可得，再由相似三角形的性质得，由题（1）可知，因此只需求出BE的长即可；在中，解直角三角形可得BD和AD的长，然后在中，解直角三角形可得CD的长，从而可得DE的长，最后根据线段的和差可得BE的长. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知， 在中， 设，则 在中，，即 ，即 又 故EF的长为. 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键. 25. 生活垃圾水解法是一种科学处理生活垃圾的技术．有研究表明，在生活垃圾水解过程中添加一些微生物菌剂能够加快原料的水解．某小组为研究微生物菌剂添加量对某类生活垃圾水解率的影响，设置了六组不同的菌剂添加量，分别为，，，，，，每隔测定一次水解率，部分实验结果如下： ．不同菌剂添加量的生活垃圾，在水解时，测得的实验数据如下图所示： 为提高这类生活垃圾在水解时的水解率，在这六组不同的菌剂添加量中，最佳添加量为__________； ．当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率随时间变化的部分实验数据记录如下： 时间 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 水解率 0 通过分析表格中的数据，发现当菌剂添加量为时，可以用函数刻画生活垃圾水解率y和时间t之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象．结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当水解时，生活垃圾水解率__________超过（填“能”或“不能”）． 根据以上实验数据和结果，解决下列问题： （1）直接写出的值； （2）当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到所需的时间为小时，当菌剂添加量为时，生活垃圾水解小时的水解率__________（填“大于”“小于”或“等于”）． 【答案】， 作图如下， 不能， （1），（2）小于 【解析】 【分析】本题主要考查表格信息与函数图象的关系，理解表格信息，掌握函数图象的绘制方法，根据函数图象获取信息是解题的关键． （1），根据水解率的表格即可求解；，根据表格信息描点即可，结合图象分析即可； （2）根据表格信息可得，时间为时，水解率为，由此即可求解； （3）根据菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到可得时间，则，结合表格信息即可求解． 【详解】解：：根据水解率的大小可得，菌剂添加量为时最佳， 故答案为：； ：根据表格信息，描点，作函数图像得， 时间的变化情况为：每次增加量为小时；水解率的变化情况：，，，，，，，，， ∴随着时间的增加，水解率的增加量逐渐减小， ∴当水解时间为时，生活垃圾水解率不能超过， 故答案为：不能； （1）根据表格信息可知，时间为时，水解率为， ∴，即； （2）∵每隔测定一次水解率，如图所示， ∴根据当时，水解率小于，当时，水解率大于， ∴当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到所需的时间为小时， ∴， ∴当菌剂添加量为时，水解小时， ∴由表格信息可得，当水解时间为时，水解率为， ∴此时水解率小于， 故答案为：小于． 26. 在平面直角坐标系中，，，三点都在抛物线（）上． （1）这个抛物线的对称轴为直线________． （2）若，求的取值范围； （3）若无论取任何实数，点，，中都至少有两个点在轴的上方，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：掌握二次函数的性质，掌握二次函数图像与系数的关系是解题的关键． （1）直接根据对称轴公式可得对称轴直线方程； （2）先根据已知条件判断出A，B，C所在的位置，然后根据距离对称轴的大小得到取值求解即可； （3）有两种情况满足题意，①当抛物线与x轴有一个交点或者没有交点时，函数图像与x轴有交点，且两个交点的距离小于1时，w分类讨论求解即可； 【小问1详解】 解：对称轴为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，，三点都在抛物线（）上，且， 又∵，抛物线的对称轴为， ∴A，B两点位于对称轴左侧，点C位于对称轴右侧，且点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，点C到对称轴的距离大于等于点B到对称轴的距离， 即，解得； 【小问3详解】 解：无论取任何实数，点，，中都至少有两个点在轴的上方， 有两种情况满足题意， ①当抛物线与x轴有一个交点或者没有交点时，满足题意， 即， ∴， 化简得， ∵， ∴， 解得， ∴此时； ②函数图像与x轴有交点，且两个交点的距离小于1时满足题意， 此时三点中，距离最近的A和B不能同时在x 轴下方， 临界情况A、B两点分别是这两个交点， 得， 此时t=0.5.带入，解得， ∴此时； 综上所述， 27. 如图，在中，，，将射线绕点顺时针旋转得到射线，射线与直线的交点为点．在直线上截取（点在点右侧），将直线绕点顺时针旋转所得直线交直线于点． （1）如图1，当点与点重合时，补全图形并求此时的度数； （2）当点不与点重合时，依题意补全图2，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）， 补全图形见图： （2） 解：补全图形如图： ，理由如下： 如图， 在的延长线上截取， 连接，以点为圆心为半径作弧，交于点， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在等腰中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．关键是添加辅助线构造全等三角形，找到线段的等量关系． （1）当点D与点B重合时，是等腰三角形，等边对等角， 可求的度数，可求的度数． （2）在的延长线上截取连接，以点B为圆心为半径作弧，交于点N，连接， 证明可得即可得到和的等量关系． 【小问1详解】 解：∵点与点重合， ， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 【小问2详解】 略 28. M（﹣1，），N（1，）是平面直角坐标系xOy中的两点，若平面内直线MN上方的点P满足：45°≤∠MPN≤90°，则称点P为线段MN的可视点． （1）在点，，，A4（2，2）中，线段MN的可视点为　 　； （2）若点B是直线y＝x上线段MN的可视点，求点B的横坐标t的取值范围； （3）直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，直接写出b的取值范围． 【答案】（1）A1，A3；（2）点B的横坐标t的取值范围是0≤t≤1；（3）或． 【解析】 【分析】（1）根据“直径所对的圆周角是直角”可知线段MN的可视点在以MN为直径的圆的外部或圆上，根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”可知线段MN的可视点在以E为圆心，EM长为半径的⊙E的内部或⊙E上，根据坐标可以判断哪些点符合要求． （2）点B既要在直线y＝x＋上，又要⊙E的内部或圆上，且在⊙G的外部或圆上，故应该在直线y＝x＋与⊙G、⊙E的交点E、F为端点的线段上，求出E、F的横坐标即可． （3）分b＜0，b＞0两种情况进行讨论． 【详解】解：（1）如图1，以MN为直径的半圆交y轴于点E，以E为圆心，EM长为半径的⊙E交y轴于点F， ∵MN是⊙G的直径， ∴∠MA1N＝90°， ∵M（﹣1，），N（1，） ∴MN⊥EG，EG＝1，MN＝2 ∴EM＝EF， ∴∠MFN∠MEN＝45°， ∵45°≤∠MPN≤90°， ∴点P应落在⊙E内部，且落在⊙G外部 ∴线段MN的可视点为A1，A3； 故答案为A1，A3； （2）如图，以（0，）为圆心，1为半径作圆，以（0，）为圆心，为半径作圆，两圆在直线MN上方的部分与直线分别交于点E，F． 过点F作FH⊥x轴，过点E作EH⊥FH于点H， ∵FH⊥x轴， ∴FH∥y轴， ∴∠EFH＝∠MEG＝45°， ∵∠EHF＝90°，EF， ∴EH＝FH＝1， ∴E（0，），F（1，）． 只有当点B在线段EF上时，满足45°≤∠MBN≤90°，点B是线段MN的可视点． ∴点B的横坐标t的取值范围是0≤t≤1． （3）如图，⊙G与x轴交于H，与y轴交于E，连接GH，OG，GH＝1， ∴OH， ∴H（，0）．E（0，） 当直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点， ①直线y＝x+b与y轴交点在y负半轴上 将H（，0）代入y＝x+b得b＝0，解得b1， 将N（1，）代入y＝x+b得1+b，解得b2 ∴b ②直线y＝x+b与y轴交点在y正半轴上 将 E（0，）代入得b， 当直线y＝x+b与⊙E相切于T时交y轴于Q，连接ET，则ET⊥TQ， ∵∠EQT＝45°， ∴TQ＝ET＝EM， ∴EQ2 ∴OQ＝OE+EQ2 ∴ 综上所述：或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，圆周角、圆心角的性质，解题关键要将可视点转化为圆内点、圆上点、圆外点分别对弦的视角问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人大附中朝阳学校初三年级考前保温练习 数学试卷 （时间：120分钟 满分：100分） 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有—个． 1. 科学家在海底下约4.8公里深处的沙岩中，发现了一种世界上最小的神秘生物，它们的最小身长只有0.00000002米，甚至比已知的最小细菌还要小．将0.00000002用科学记数法表示为（　　） A. 2×10﹣7 B. 2×10﹣8 C. 2×10﹣9 D. 2×10﹣10 2. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（ ） A. a B. b C. c D. d 4. 如图，有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M、C两点间的距离为（ ） A. 0.5km B. 0.6km C. 0.9km D. 1.2km 6. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE=35°，则∠A的度数为(　　) A. B. C. D. 7. 二元一次方程组的解为（ ） A. B. C. D. 8. 小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的【 】 A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 若式子有意义，则实数x的取值范围是________． 10. 分解因式：______． 11. 用一组整数a，b，c的值说明命题“若a＞b＞c，则a+b＞c”是错误的，这组值可以是a＝__，b＝__，c＝__． 12. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，DE⊥AC于点E，则AE＝__． 13. 如图，AB为⊙O的直径，C，D，E为⊙O上的点，，∠ABD＝60°，则∠CEB＝_____°． 14. 若正多边形的每一个内角为，则这个正多边形的边数是__________． 15. 如果，那么代数式的值是__________． 16. 某快递公司配送包裹至n个站点，站点按顺序编号为1至n，从站点i到站点j的配送成本为，其中表示站点i的包裹大小．已知包裹大小序列为：，，，，．若每次配送必须连续站点（如从站点2到站点4），且每个站点只能被配送一次，则完成所有站点配送的最小总成本为______元；若允许拆分配送（每个站点可被多次访问，但包裹只交付一次），最小总成本为______元． 三、解答题（本题共68分，第17~21题，23题，每小题5分，第22题，24~26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60°”的尺规作图过程． 已知：⊙O 求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD内接于⊙O，且其对角线AC，BD的夹角为60°． 作法：如图 ①作⊙O的直径AC； ②以点A为圆心，AO长为半径画弧，交直线AC上方的圆弧于点B； ③连接BO并延长交⊙O于点D； 所以四边形ABCD就是所求作的矩形． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵点A，C都在⊙O上， ∴OA＝OC 同理OB＝OD ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°（ ）（填推理的依据） ∴四边形ABCD是矩形 ∵AB＝　 　＝BO， ∴四边形ABCD四所求作的矩形． 20. 如图，在△ABC中，AC=BC，点D， E， F分别是AB，AC， BC的中点，连接DE，DF. (1)求证:四边形DFCE是菱形； (2)若∠A=75°，AC=4，求菱形DFCE的面积. 21. 在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象经过点，，与x轴交于点A． （1）求该一次函数的表达式及点A的坐标； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数（）的值，直接写出m的取值范围． 22. 羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛也可以进行双打比赛，如图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为，场地的长比宽的倍还多（包含分界线宽），单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离． 23. 商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅．下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息： ．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为： ，； ．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半； ．甲、乙两种商品成本与售价信息如下： 甲商品的成本与售价信息表 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 成本 售价 m n p 乙商品的成本与售价统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲商品这五周成本的平均数为___________，中位数为___________； （2）表中m的值为____________，从第三周到第五周，甲商品第_______周的售价最高； （3）记乙商品这周售价的方差为，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这周新售价的方差为，则________；（填“”“”或“”）． 24. 如图，△ABC内接于以AB为直径的⊙O，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线相交于点D，在CB上截取CE＝CD，连接AE并延长，交⊙O于点F，连接CF． （1）求证：AC＝CF； （2）若AB＝4，sinB，求EF的长． 25. 生活垃圾水解法是一种科学处理生活垃圾的技术．有研究表明，在生活垃圾水解过程中添加一些微生物菌剂能够加快原料的水解．某小组为研究微生物菌剂添加量对某类生活垃圾水解率的影响，设置了六组不同的菌剂添加量，分别为，，，，，，每隔测定一次水解率，部分实验结果如下： ．不同菌剂添加量的生活垃圾，在水解时，测得的实验数据如下图所示： 为提高这类生活垃圾在水解时的水解率，在这六组不同的菌剂添加量中，最佳添加量为__________； ．当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率随时间变化的部分实验数据记录如下： 时间 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 水解率 0 通过分析表格中的数据，发现当菌剂添加量为时，可以用函数刻画生活垃圾水解率y和时间t之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象．结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当水解时，生活垃圾水解率__________超过（填“能”或“不能”）． 根据以上实验数据和结果，解决下列问题： （1）直接写出的值； （2）当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到所需的时间为小时，当菌剂添加量为时，生活垃圾水解小时的水解率__________（填“大于”“小于”或“等于”）． 26. 在平面直角坐标系中，，，三点都在抛物线（）上． （1）这个抛物线的对称轴为直线________． （2）若，求的取值范围； （3）若无论取任何实数，点，，中都至少有两个点在轴的上方，直接写出的取值范围． 27. 如图，在中，，，将射线绕点顺时针旋转得到射线，射线与直线的交点为点．在直线上截取（点在点右侧），将直线绕点顺时针旋转所得直线交直线于点． （1）如图1，当点与点重合时，补全图形并求此时的度数； （2）当点不与点重合时，依题意补全图2，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. M（﹣1，），N（1，）是平面直角坐标系xOy中的两点，若平面内直线MN上方的点P满足：45°≤∠MPN≤90°，则称点P为线段MN的可视点． （1）在点，，，A4（2，2）中，线段MN的可视点为　 　； （2）若点B是直线y＝x上线段MN的可视点，求点B的横坐标t的取值范围； （3）直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，直接写出b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $