精品解析：广东省湛江市港城中学2024-2025学年下学期期末八年级数学试卷

湛江市港城中学2024-2025学年第二学期期末核心素养评价 八年级数学试题 满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. ，， C. 3，4，5 D. 0.3，0.4，0.5 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 甲、乙、丙、丁四人各进行次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2020年投入3000万元，预计2022年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 菱形的面积等于对角线的乘积 D. 每组邻边都互相垂直且相等的四边形是正方形 8. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象必经过点 B. 它的图象经过第一、二、三象限 C. 当时， D. 的值随值的增大而增大 9. 对于一元二次方程，则下列叙述正确的是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 两根之积是 D. 两根之和是4 10. 如图，抛物线的图象与x轴交于A，B两点，其中点，对称轴是直线．现在给出下列的4个结论： ①；②；③；④若m为任意的实数，则． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 12. 如图，在中，D是的中点，，则的长是______． 13. 如图，在矩形中，对角线的交点为，矩形的长、宽分别为，过点分别交于，那么图中阴影部分面积为____． 14. 已知一次函数是正比例函数，则______． 15. 如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点．图2是点运动过程中，线段的长度（单位：）随时间（单位：）变化的图象，其中点为曲线部分的最低点．则图2中的值为________． 三、解答题（一）（第16题6分，第17题7分，第18题8分，共21分） 16. 计算：． 17. 解方程：． 18. 一块田地的形状如图所示，已知，求该田地的面积． 四、解答题（二）（第19题9分，第20题9分，第21题10分，共28分） 19. 为激发学生兴趣，提高学生素质，促进学生全面发展，某校在课后延时服务期间开展了丰富多彩的选修课，艾老师为大家开展了《我是小小理财家》的选修课，在这节选修课后，同学们为了解全校2400名学生平均每天使用零花钱的情况，他们随机调查了部分学生平均每天使用零花钱的金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次接受随机调查的学生有______人，图①中的值是______； （2）本次调查获取样本数据的众数为______元，中位数为______元； （3）根据样本数据，估计该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生人数． 20. 如图，是平行四边形的对角线，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 21. 如图是小明做“探究拉力与斜面高度的关系”的实验装置，一个高度可自动调节的斜面上，斜面的初始高度为，实验时他用弹簧测力计拉着同一物块沿粗糙程度相同的斜面向上做匀速直线运动．实验的部分数据如下： 实验次数 斜面的倾斜程度 物块重量/ 斜面高度 沿斜面拉力 较缓 较陡 最陡 （1）根据上面数据分析，在弹性范围内，拉力与高度的变化规律是_______函数，斜坡越陡，越_______（选填“省力”或“费力”）． （2）求拉力与高度之间的函数解析式； （3）若弹簧测力计的最大量程是，求装置高度的取值范围． 五、解答题（三）（第22题12分，第23题14分，共26分） 22. 如图一次函数的图象经过点，并与直线相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为3． （1）求一次函数的表达式； （2）点Q为直线上一动点，当点Q运动到何位置时，的面积等于？请求出点Q的坐标； （3）在y轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 23. 综合与实践 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线l． （1）求点A，B，C的坐标； （2）试探究抛物线上是否存在点E，使，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设点F在直线l上运动，点G在平面内运动，若以点B，C，F，G为顶点的四边形是菱形，且为边，直接写出点F的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市港城中学2024-2025学年第二学期期末核心素养评价 八年级数学试题 满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的识别，熟练掌握最简二次根式的概念以及二次根式的化简是解题的关键．根据最简二次根式的概念逐一进行判断即可． 【详解】A． ，故A选项不符合题意； B． ，故B选项不符合题意； C． ，故不符合题意， D． 是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. ，， C. 3，4，5 D. 0.3，0.4，0.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的概念是解题关键．根据勾股数的定义（能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数）逐项判断即可得． 【详解】解：A、，故此项不是勾股数，不符合题意； B、，，，这三个数不是正整数，故此项不是勾股数，不符合题意； C、，且这三个数均为正整数，则此项是勾股数，符合题意； D、0.3，0.4，0.5都是小数，不是正整数，故此项不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，解题的关键是掌握，对称轴为直线，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 故选：A． 4. 甲、乙、丙、丁四人各进行次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方差的实际应用，掌握相关知识是解题关键．根据方差越小，数据越稳定解答即可． 【详解】解：平均成绩相同，且，，，， ， 射击成绩最稳定的是乙， 故选：B． 5. 某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2020年投入3000万元，预计2022年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）列出方程即可． 【详解】解：设教育经费的年平均增长率为x， 则2021的教育经费为：万元， 2022的教育经费为：万元， ∴可得方程：． 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． 6. 如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和定理，角的和差，解题的关键是掌握菱形的性质．由菱形的额性质可得：，，推出，由垂直的定义可得：，进而得到，最后根据角的和差求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， 于点，于点， ， ， ， 故选：C． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 菱形的面积等于对角线的乘积 D. 每组邻边都互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，菱形面积的计算，解题的关键是了解平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法． 【详解】解： A 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故A不符合题意； B 、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故B不符合题意； C 、菱形的面积等于对角线的乘积的一半，故C不符合题意； D 、每组邻边都互相垂直且相等的四边形是正方形，故D符合题意； 故选： ． 8. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象必经过点 B. 它的图象经过第一、二、三象限 C. 当时， D. 的值随值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的图象与性质及一次函数图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、把代入函数得，，故点不在此函数图象上，故本选项错误，不符合题意； B、函数中，，，则该函数图象经过第一、二、四象限，故本选项错误，不符合题意； C、当时，，由，得该函数图象的值随着值的增大而减小，则当时，，故本选项正确，符合题意； D、函数中，，则该函数的值随着值的增大而减小，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 9. 对于一元二次方程，则下列叙述正确的是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 两根之积是 D. 两根之和是4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，韦达定理，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键； 根据一元二次方程的根的判别式，判断A选项和B选项，利用韦达定理，判断C和D选项，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， 故有两个相等的实数根， 故A和B选项不符合题意； 则，； 即两根之积是4，两根之和是4； 故选：D 10. 如图，抛物线的图象与x轴交于A，B两点，其中点，对称轴是直线．现在给出下列的4个结论： ①；②；③；④若m为任意的实数，则． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，由图象可知，，，则可判断①；由抛物线过点，即当时，，可判断②；由抛物线与轴有两个交点，即可判断③；当时，函数有最大值，由，可得，则可判断④．掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：观察图象，可知，， 对称轴为直线， ， ，故①正确； 抛物线的图象与轴交于，两点，其中点， 当时，，即，故②正确； 抛物线的图象与轴交于，两点， ，故③不正确； 当时，函数有最大值， 若为任意实数，则， ，故④不正确， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】x≥-1 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】由题意可知x+1≥0， ∴x≥-1． 故答案为：x≥-1． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，明确被开方数为非负数是解题关键． 12. 如图，在中，D是的中点，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质．掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题关键．根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，， ∴． 故答案为：2． 13. 如图，在矩形中，对角线的交点为，矩形的长、宽分别为，过点分别交于，那么图中阴影部分面积为____． 【答案】14 【解析】 【分析】根据矩形性质，得到和的面积相等，再由，得到和的面积相等，即可得到阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，求出矩形面积即可得到答案． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴和的面积相等， 由四边形是矩形性质可知和的面积相等， ∴阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，即是， 故答案为：14． 【点睛】本题考查矩形背景下求阴影部分面积，涉及矩形性质、全等三角形的判定与性质及矩形面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 14. 已知一次函数是正比例函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的常数项为0是解题的关键．根据正比例函数的定义可得，，即可求得结果． 【详解】解：∵一次函数是正比例函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 15. 如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点．图2是点运动过程中，线段的长度（单位：）随时间（单位：）变化的图象，其中点为曲线部分的最低点．则图2中的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，等腰三角形的性质，二次根式，根据图象可知，，当点在上，且时，，勾股定理求出的长，三线合一，求出的长，求出三角形的周长，再除以点的移动速度，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，当时，点与点重合， ∴， 当点在上，且时，最小，对应图象上的点，此时， 在中，， ∵，， ∴， ∴的周长为：， ∴； 故答案为：． 三、解答题（一）（第16题6分，第17题7分，第18题8分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，包括二次根式的性质、零指数幂、绝对值，先根据二次根式的性质、零指数幂、绝对值进行化简，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 【详解】解：方法一、， 移项得：， 配方得：， 即， 开方得：， 方程的解为：，； 方法二、 其中，，， ， ，即， 方程的解为：，； 方法三、， 因式分解得：， 或， 方程的解为：． 18. 一块田地的形状如图所示，已知，求该田地的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理的应用等知识．连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，得到， 利用割补法即可求出该田地的面积． 【详解】解：连接， 在中，根据勾股定理，可得， ∵， ∴ ∴是直角三角形， ∴， ∴该田地的面积＝的面积-的面积 = 答：该田地的面积是． 四、解答题（二）（第19题9分，第20题9分，第21题10分，共28分） 19. 为激发学生兴趣，提高学生素质，促进学生全面发展，某校在课后延时服务期间开展了丰富多彩的选修课，艾老师为大家开展了《我是小小理财家》的选修课，在这节选修课后，同学们为了解全校2400名学生平均每天使用零花钱的情况，他们随机调查了部分学生平均每天使用零花钱的金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次接受随机调查的学生有______人，图①中的值是______； （2）本次调查获取样本数据的众数为______元，中位数为______元； （3）根据样本数据，估计该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生人数． 【答案】（1）50，32 （2）10，15 （3）864人 【解析】 【分析】本题主要考查了抽样调查．熟练掌握条形统计图和扇形统计图的互补性，中位数，众数，样本容量的定义和确定，用样本估计总体，是解题的关键． （1）以5元组的4人占8%求出调查的总人数；（2）根据从小到大排列，第25个，第26个数落在15元组，得中位数为15元，10元组16人，人数最多，得众数为10元；（3）2400乘20元和30元总人数占比，即得． 【小问1详解】 解：∵（人），， ∴本次接受随机调查的学生有50人，图①中的值是32． 故答案为：50，32． 【小问2详解】 ∵10元组16人，人数最多， ∴众数为10元， ∵4元的4人，10元的16人，15元的12人，且，， ∴从小到大排列，第25个，第26个数落在15元组， ∴中位数为15元． 故答案为：10，15． 【小问3详解】 （人）， 故该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生约864人． 20. 如图，是平行四边形的对角线，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：如图，在平行四边形中， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠DAC=∠BCA，再由已知条件得出∠BAC=∠BCA，即可得出AB=BC，进而证明是菱形即可； （2）连接BD交AC于O，证明四边形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，，OB=OD=BD，由勾股定理求出OB，得出BD，▱ABCD的面积=AC•BD，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，与交于 由（1）四边形，是菱形， ∴，， 在中，， ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、菱形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键． 21. 如图是小明做“探究拉力与斜面高度的关系”的实验装置，一个高度可自动调节的斜面上，斜面的初始高度为，实验时他用弹簧测力计拉着同一物块沿粗糙程度相同的斜面向上做匀速直线运动．实验的部分数据如下： 实验次数 斜面的倾斜程度 物块重量/ 斜面高度 沿斜面拉力 较缓 较陡 最陡 （1）根据上面数据分析，在弹性范围内，拉力与高度的变化规律是_______函数，斜坡越陡，越_______（选填“省力”或“费力”）． （2）求拉力与高度之间的函数解析式； （3）若弹簧测力计的最大量程是，求装置高度的取值范围． 【答案】（1）一次函数，费力 （2）与的函数解析式为 （3）装置高度h的取值范围为 【解析】 【分析】（）根据表格数据即可判断求解； （）利用待定系数法解答即可求解； （）根据题意可得，即得，解不等式即可求解； 本题考查了一次函数的应用，根据题意，判断出于的函数关系并求出它们的函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由表格可知，当斜面高度由增加到时，拉力增加了， 当斜面高度由增加到时，拉力增加了， ∴拉力是高度的一次函数， 由表格可知，斜坡越陡，越费力， 故答案为：一次，费力； 【小问2详解】 解：设，把和代入得， ， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：∵弹簧测力计的最大量程是， ∴， ∴， 解得， 又∵斜面的初始高度为， ∴装置高度的取值范围． 五、解答题（三）（第22题12分，第23题14分，共26分） 22. 如图一次函数的图象经过点，并与直线相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为3． （1）求一次函数的表达式； （2）点Q为直线上一动点，当点Q运动到何位置时，的面积等于？请求出点Q的坐标； （3）在y轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，或或或 【解析】 【分析】（1）先求出点B的坐标，再将点、的坐标代入，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设点，根据的面积，求解即可； （3）设点，分别表示出，，，分别讨论当时，当时，当时，建立方程，求解即可． 【小问1详解】 ∵一次函数与相交于点B，其中点B的横坐标为3， ∴， 则点， 将点、的坐标代入一次函数表达式中，得， 解得：，， 所以一次函数的表达式为； 【小问2详解】 设点，则的面积， 解得：或1.5， 故点或； 【小问3详解】 设点，而点A、B的坐标分别为：， 则，，， 当时，，解得：或； 当时，同理可得：（舍去）或2； 当时，同理可得：； 综上点P的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，等腰三角形的判定，待定系数法求函数解析式，勾股定理，一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握知识点是解题的关键． 23. 综合与实践 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线l． （1）求点A，B，C的坐标； （2）试探究抛物线上是否存在点E，使，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设点F在直线l上运动，点G在平面内运动，若以点B，C，F，G为顶点的四边形是菱形，且为边，直接写出点F的坐标． 【答案】（1）点A的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是 （2）存在，点E的坐标是E1，E2 （3）点F的坐标是，，，或 【解析】 【分析】（1）分别令和求解即可； （2）由，可知点E在线段的垂直平分线上，作的垂直平分线交抛物线于点，求出E点的纵坐标，代入函数解析式求解即可； （3）分时和时两种情况，利用两点间的距离公式列方程求解即可． 【小问1详解】 解：（1）把代入中，得 ． 解得，． ∴点A的坐标是，点B的坐标是． 把代入中，得y=-2． ∴点C的坐标是． 【小问2详解】 解：存在． ∵， ∴点E在线段的垂直平分线上． 如答图，作的垂直平分线交抛物线于点． ∵点C的坐标是， ∴把y=-1代入中，得 ． 解得，． ∴点E的坐标是E1，E2． 【小问3详解】 解：∵ ∴对称轴是直线， 设， 由（1）知，点B的坐标是，点C的坐标是． 当时， ， 解得， ∴点F的坐标是或； 当时， ， 解得， ∴点F的坐标，或； 综上可知，点F的坐标是，，，或． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，线段垂直平分线的性质，以及二次函数与特殊四边形，本题难度较大，属中考压轴题，数形结合是解答本题的关键． 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