3.3 函数的应用（一）学案-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

3.3函数的应用（一） 1、 学习目标 1．了解函数模型（如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用． 2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题． 二、重难点 重点：通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养 难点：实际问题中的最值问题，数学运算素养提升． 三、知识梳理 1.几类常见的函数模型 名称 解析式 条件 一次函数模型 ________ k≠0 反比例函数模型 ________ k≠0 二次函数模型 一般式：________ 顶点式：________ a≠0 分段函数模型 会利用分段函数解决与之相关的实际问题 数学 建模 2.解决函数应用问题的步骤 利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行： （一）________；（二）________；（三）________；（四）________. 这些步骤用框图表示如图： 4、 应用举例 例1：某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30 000．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（ ） A．2000套 B．3000套 C．4000套 D．5000套 答案：D 解析：因利润z＝12x－（6x＋30000），所以z＝6x－30000，由z≥0解得x≥5000，故至少日生产文具盒5000套． 例2：某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． （1）求平均每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式； （2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式； （3）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 思路点拨：本题中平均每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）是一个一次函数关系，虽然x∈[50，55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/箱）是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题． 解：（1）根据题意，得y＝90－3（x－50）， 化简，得y＝－3x＋240（50≤x≤55，x∈N）． （2）因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润． 所以w＝（x－40）（－3x＋240）＝－3x2＋360x－9600（50≤x≤55，x∈N）． （3）因为w＝－3x2＋360x－9600＝－3（x－60）2＋1200， 所以当x<60时，w随x的增大而增大． 又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1125． 所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1125元． 五、课堂训练 1.一种商品的售价上涨后，又下降了，求商品的最终售价y与原来的售价x之间的关系. 2.某村2006年年底共有2000人，全年工农业总产值为4320万元，若从2007年起，该村工农业总产值每年增加160万元，人口每年增加20人，设2006年后的第x年该村人均工农业产值为y万元，写出y与x之间的关系式. 3.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系（a，b，c是常数），如图，记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( ) A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟 4.在经济学中，函数的边际函数定义为.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台（）的收入函数为（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差. （1）求利润函数及边际利润函数； （2）利润函数与边际利润函数是否具有相同的最大值？ 5.某公司最近4年对某种产品投入的宣传费x万元与年销售量之间的关系如下表所示. x 1 4 9 16 y 168.6 236.6 304.6 372.6 （1）根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适宜作为y与x的函数模型？ （2）已知这种产品的年利润z万元与x，y的关系为，则年宣传费x为多少时年利润最大？ 六、课后练习 1.你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩，已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为，则烟花爆裂的高度是( ) A.56.6米 B.57.6米 C.58.6米 D.59.6米 2.某商场“双十二”期间搞促销活动，规定如表：如果顾客购物的总金额不超过600元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过600元，那么超过600元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按如表计算. 享受折扣的购物金额 折扣优惠 超过600元不超过1200元的部分 超过1200元的部分 李女士在商场获得的折扣优惠金额为60元，则她实际所付金额为( ) A.1600元 B.1540元 C.1400元 D.1340元 3.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系（a，b，c是常数），如图，记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( ) A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟 4.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”计费方法如表格所示：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量是( ) 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 A. B. C. D. 5.一件工艺品的进价为100元，标价为135元，每天可售出100件.根据销售统计，可知若一件工艺品每降价1元，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价( ) A.3.6元 B.5元 C.10元 D.12元 6.（多选）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费x（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是( ) A.此时利润率最大 B.再投入6万元研发经费才能获得最大利润 C.再投入1万元研发经费时利润率最大 D.再投入1万元研发经费才能获得最大利润 7.（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是( ) A.甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B.甲从家到公园的时间是30 min C.当时，y与x的关系式为 D.当时，y与x的关系式为 8.某商场以每件30元的价格购进一种商品，根据销售经验，这种商品每天的销量m（件）与售价x（元）满足一次函数，若要每天获得最大的销售利润，则每件商品的售价应定为_______________元. 9.李华自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒.为增加销量，李华对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的. ①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元. ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________. 10.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3200元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时（租金增加为50元的整数倍），未租出的车将会增加1辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元. （1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？ （2）设租金为元/辆（），用x表示租赁公司的月收益y（单位：元）； （3）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 答案及解析 三、知识梳理 1. 2.（一）发现问题，提出问题． （二）分析问题，建立模型． （三）确定参数，计算求解． （四）验证结果，改进模型． 五、课堂训练 1.答案： 解析：. 2.答案： 解析：，即. 3.答案：B 解析：由已知得解得 ，当时，p最大，即最佳加工时间为3.75分钟.故选B. 4.答案：（1）， （2）没有 解析：（1）由题意知，，且， ， . （2）， 当或63时，最大，最大值为74120元. 是减函数， 当时，最大，最大值为2440， 与没有相同的最大值. 5.答案：（1）更适宜作为y与x的函数模型 （2） 解析：（1）将，代入得 . 当时，. 将，代入得 . 当时，， 更适宜作为y与x的函数模型. （2），， . 当，即时，年利润最大. 六、课后练习 1.答案：B 解析：依题意，，当且仅当时取等号， 所以烟花爆裂的高度是57.6米. 故选：B 2.答案：D 解析：设李女士在商场购物的总金额为x元， 由题意可得：， 则， 解得， 即她实际所付金额为元. 故选：D 3.答案：B 解析：由已知得解得 ，当时，p最大，即最佳加工时间为3.75分钟.故选B. 4.答案：C 解析：由题意：当用水量不超过时，水费小于或等于元； 当用水量超过但不超过时，水费不超过：元； 交纳水费为90元时，用水量为： 故选：C. 5.答案：B 解析：设每天的销售量为m件，每件工艺品的售价为x元，则m关于x的函数为一次函数，设.由题意可得解得则.设每天获得的利润为y元，则，可知当时，每天获得的利润最大，此时每件需降价（元）. 6.答案：BC 解析：当时，，故当时，获得最大利润，为，故B正确，D错误.，当且仅当，即时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C正确，A错误. 7.答案：BCD 解析：由图象可知，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，故A错误， 由题中图象可知，甲从家到公园的时间是30 min，故B正确， 当时，设，则，解得，故C正确， 当时，设，直线过点，， 则，故y与x的关系式为，故D正确. 故选：BCD. 8.答案：40 解析：设某商场每天获得销售利润为y（元）， 则， 因为，所以当（元）时，y取得最大值为（元）. 所以若要每天获得最大的销售利润，则每件商品的售价应定为40元. 故答案为：40. 9.答案：①90 ②10 解析：①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，由草莓40元/盒，西瓜60元/盒， 得总价为（元）. 因为一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付10元，所以需要支付（元）. ②设订单总价为M元， 若，没有优惠，符合题意； 若，则，，而， 所以，故x的最大值为10. 10.答案：（1）92辆 （2） （3）当每辆车的月租金定为4150元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是323050元 解析：（1）由题意得，，即能租出92辆车. （2） . （3）由（2）知， 当时，，， 当每辆车的月租金定为4150元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是323050元. 学科网（北京）股份有限公司 $$