2.2.1 不等式及其性质学案-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学学案聚焦不等式的性质及比较法这一核心知识点，通过复兴号列车速度与民航、普通客车的关系等实际问题导入，系统梳理不等式性质、推论及证明方法，为后续学习构建知识支架。 资料特色在于结合现实情境培养学生用数学语言表达的能力，通过比较法、反证法训练逻辑推理（数学思维），习题分层设计，帮助巩固知识，提升应用意识，符合新课标核心素养要求。

2.2.1不等式及其性质 1、 学习目标 1．了解不等式的性质，会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系． 2．会用比较法比较两实数的大小． 二、重难点 重点：不等式的性质运用，用比较法比较大小 难点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系． 三、知识梳理 1.比较实数大小的依据 依据 如果________，那么； 如果________，那么； 如果________，那么 结论 确定任意两个实数的大小关系，只需确定它们的差与________的大小关系即可 通过比较两式之差的符号来判断两式大小的方法通常称为________. 2.不等式的性质 性质1：如果，那么________. 性质2：如果，那么________. 性质3：如果，那么________. 性质4：如果，那么. 性质5：. 3.不等式的几个常用推论 推论1：如果，那么________. 推论2：如果，那么________. 推论3：如果，那么________. 推论4：如果，那么. 推论5：如果，那么. 4.反证法 首先假设结论的________成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立. 这种得到数学结论的方法称为反证法，反证法是一种间接证明的方法. 5.综合法 综合法中，最重要的推理形式为________，其中是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论. 4、 应用举例 例1：京沪线上，复兴号列车跑出了350km/h的速度，这个速度的2倍再加上100km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系． 解：设复兴号列车速度为v1， 民航飞机速度为v2， 普通客车速度为v3． v1，v2的关系：2v1＋100≤v2， v1，v3的关系：v1＞3v3． 例2：已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． 解：3x3－（3x2－x＋1）＝（3x3－3x2）＋（x－1） ＝3x2（x－1）＋（x－1）＝（3x2＋1）（x－1）． ∵x≤1，∴x－1≤0，而3x2＋1＞0， ∴（3x2＋1）（x－1）≤0，∴3x3≤3x2－x＋1． 例3：某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠． 解：设该单位职工有n人（n∈N*），全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元， 则y1＝x＋x·（n－1）＝x＋xn，y2＝nx． 因为y1－y2＝x＋xn－nx ＝x－nx＝x， 当n＝5时，y1＝y2； 当n＞5时，y1＜y2；当n＜5时，y1＞y2． 因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠． 五、课堂训练 1.正文中不等式的性质和推论，如果都加上等号，结论仍然成立吗？把成立的结论重新叙述一遍. 2.判断下列命题的真假： （1）当时，；（2）当时，；（3）当且时，. 3.用“>”或“<”填空： （1）__________； （2）__________； （3）__________； （4）当c__________0时，； （5）__________；（6），__________bd. 4.求证：如果，，那么. 5.用反证法证明. 6.利用正比例函数给出不等式性质2和性质3的直观解释. 7.用“>”或“<”填空： （1）__________； （2）__________； （3），__________bc； （4）__________1； （5）__________； （6）__________. 8.证明，并说明等号成立的条件. 9.已知a，b，m都是正实数，，求证：. 六、课后练习 1.若，，则( ) A. B. C. D. 2.下列命题为真命题的是( ) A.若，则 B.若，，则 C.若，则 D.若，则 3.从平面直角坐标系的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列关于所取点的说法中一定正确的是( ) A.第一象限的点比第二象限的点多 B.第二象限的点比第三象限的点多 C.第三象限的点比第一象限的点多 D.第四象限的点比第二象限的点多 4.下列叙述正确的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 5.已知a，b，，则下列说法中错误的是( ) A.， B.， C. D. 6.（多选）下列命题中成立的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，，则 D.若，，则 7.（多选）下列说法中正确的是( ) A.若，，则： B.若，，则： C.若，，则： D.若，，则： 8.用不等号“>”或“<”填空： （1）如果，，那么_________； （2）如果，，那么ac_________bd； （3）如果，那么_________； （4）如果，那么_________. 9.设，，，，则A，B的大小关系是__________. 10.（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：； （3）已知，，求证：. 答案及解析 三、知识梳理 1. 0 作差比较法 2. 3. 4.否定 5. 五、课堂训练 1.答案：见解析 解析：正文中不等式的性质和推论，如果都加上等号，结论仍然成立，成立的结论如下： 性质1：， 性质2：，， 性质3：若， 性质3推论：，， 性质4：若，， 性质4推论：，， 性质5：，， 性质6：，. 2.答案：（1）真命题 （2）假命题 （3）真命题 解析：（1）因为，可得，即“当时，”为真命题； （2）当时，不妨取，不能推出，即“时，”为假命题； （3）当且时，可得，即“当且时，”为真命题. 3.答案：（1）> （2）< （3）> （4）< （5）> （6）< 解析：（1），； （2），，； （3），，； （4）当时，； （5），，； （6），，，则，即. 故答案为：（1）>（2）<（3）>（4）<（5）>（6）<. 4.答案：证明见解析 解析：证明：因为，所以. 又，所以. 因为， 所以， 即. 5.答案：证明见解析 解析：证明：假设，即， 两边平方得. 即，即，这与矛盾， 因此假设不成立， 故. 6.答案：见解析 解析：设正比例函数为，则不等式的性质2和性质3可解释如下： 当时，函数值y随x的增大而增大， 因为，所以. 当时，函数值y随x的增大而减小， 因为，所以. 7.答案：（1）> （2）> （3）> （4）< （5）> （6）< 解析：（1）由，则； （2）由，则，则，即； （3）由，，则，即，即； （4）由，则，则，即，即； （5）由，则，，则，即，则； （6），，，即. 故答案为：（1）>（2）>（3）>（4）<（5）>（6）<. 8.答案：证明见解析 解析：证明：因为. 因为，，当且仅当时，等号成立. 所以， 所以，当且仅当时，等号成立. 9.答案：证明见解析 解析：证明：因为， 又a，b，m都是正数，且， 所以，， 所以. 即. 六、课后练习 1.答案：D 解析：因为，，则当时，，A说法错误; 因为，所以，B说法错误; 因为，，所以，C说法错误，D说法正确; 故选：D 2.答案：D 解析：对于A，因为，所以，，所以，即，故A错误； 对于B，因为，所以，又，所以，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，若，则，，所以，故D正确.故选D. 3.答案：D 解析：设分别从第一、二、三，四象限中取，，，个点，则，两式相加得，所以，故选D. 4.答案：D 解析：对于A，若，不妨取，，则，故A错误； 对于B，若，不妨取，，此时，故B错误； 对于C，若，不妨取，，此时，故C错误； 对于D，因为幂函数在R上单调递增，若，即，则，故D正确； 故选：D. 5.答案：C 解析：对于A，，不等式两边同时除以可得，A正确; 对于B，，不等式两边同时乘以c，可得，B正确; 对于C，因为，所以，所以，C错误; 对于D，，，所以，D正确. 故选:C. 6.答案：BC 解析：对于A，，时，，，不满足，故A错误， 对于B，由于，，故，B正确， 对于C，若，则， 又，故，C正确， 对于D，若，则， 结合，则，故，D错误， 故选：BC 7.答案：AC 解析：对于A，由，，即，则，故A正确; 对于B，由，则，由，则，故B错误; 对于C，由，则，由，则，故C正确; 对于D，当，且时，，即，故D错误. 故选：AC. 8.答案：（1）> （2）< （3）< （4）< 解析：（1），.，. （2），.，，. （3），，，，， ，即. （4）.所以，. 于是，即，即. ，. 故答案为：（1）>；（2）<；（3）<；（4）<. 9.答案： 解析：，，因为，，所以，所以，所以. 10.答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 解析：（1）证明：因为，，所以，. 根据推论2，得. （2）证明：因为，所以. 又因为，所以， 即，因此. （3）证明：因为，根据（2）的结论，得. 又因为，所以根据推论3可知， 即. 学科网（北京）股份有限公司 $$