1.1.3 集合的基本运算学案-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学学案聚焦集合的交集、并集、补集运算这一核心知识点，通过知识梳理构建定义、符号、性质的基础框架，结合Venn图与数轴直观表征，衔接应用举例与分层练习，形成从概念理解到实际应用的学习支架。 资料特色在于注重几何直观与逻辑推理的结合，利用Venn图和数轴培养数学眼光，通过性质推导与实例分析发展数学思维，配套习题联系生活情境（如课程选修问题）提升数学语言表达能力，助力学生深化对集合运算的理解与应用。

1.1.3集合的基本运算 1、 学习目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义. 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义. 3.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算. 二、 重点：理解两个集合的并集与交集的含义，并会用集合语言表达数学对象与数学内容. 难点：区别交集与并集的概念及符号表示. 三、知识梳理 1.交集 （1）定义：一般地，由属于集合且属于集合的元素所组成的集合，叫做集合与的________；记作：________，读作：________. 用集合语言可以表示为________；交集的图表示如下： （2）性质 ①；②；③；④. 注意：①；②. 2.并集 （1）定义：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的________，记作：________，读作：________， 用集合语言可以表示为________. 图表示： （2）性质 ①；②；③；④. 注意：①；②. 3.补集 （1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的________，那么就称这个集合为全集，通常记作________. （2）补集： 对于全集的一个子集，由全集中所有________________组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作：________； 用集合语言可以表示为________. 补集的图表示： （3）性质 ①；②；③. 4、 应用举例 例1 设集合A = {x | -1 < x < 2}，集合B = {x | 1 < x < 3}，求. 解：法一：= {x | -1 < x < 2}{x | 1 < x < 3} = {x | -1 < x < 3}. 法二：利用数轴直观表示. 例2 设平面内直线上点的集合为，直线上点的集合为，试用集合的运算表示，的位置关系. 解：平面内直线，可能有三种位置关系，即相交于一点、平行或重合. （1）直线，相交于一点P可表示为； （2）直线，平行可表示为； （3）直线，重合可表示为. 例3 设U = {x | x是小于9的正整数}，A ={ 1，2，3 }，B ={ 3，4，5，6 }，求，. 解：根据题意可知，U = { 1，2，3，4，5，6，7，8 }，所以= { 4，5，6，7，8 }，= { 1，2，7，8 }. 例4 设全集U = {x | x是三角形}，A = {x | x是锐角三角形}，B = {x | x是钝角三角形}，求，. 解：根据三角形的分类可知，，= {x | x是锐角三角形或钝角三角形}，= {x | x是直角三角形}. 五、课堂训练 1.已知，，求，. 2.已知区间，，求，. 3.若是选修羽毛球课程的同学}，是选修乒乓球课程的同学}，请分别说明，所表示的含义. 4.设，，，求，. 5.已知全集，，求，，. 6.对于任意两个集合A，B，关系式总成立吗？说明理由. 7.已知集合. （1）写出所有满足条件的集合B； （2）满足条件的集合C有多少个？ 8.设全集，，，求，. 9.设全集，集合，，求实数a的值. 10.已知区间，. （1）若，求实数a的值； （2）若，求实数a的取值范围. 六、课后练习 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.已知集合，若，则实数m的取值范围为( ) A. B. C. D. 3.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 4.设全集，集合A满足，则( ) A. B. C. D. 5.已知全集，，，则是( ) A. B. C. D. 6.已知全集，集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有( ) A.2个 B.3个 C.1个 D.无穷多个 7.（多选）若非空集合M，N，P满足，，则( ) A. B. C. D. 8.（多选）已知全集，，，，，，则下列选项正确的为( ) A. B.A的不同子集的个数为8 C. D. 9.某班举行数学、物理、化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学、物理两科的有10人，同时只参加物理、化学两科的有7人，同时只参加数学、化学两科的有11人，而参加数学、物理、化学三科的有4人，则全班共有________________人. 10.设集合，． (1)当时，求，; (2)记，若集合C的子集有8个，求实数a的取值所构成的集合． 答案及解析 三、知识梳理 1.交集 交 2.并集 并 3.（1）所有元素 （2）不属于集合的所有元素 五、课堂训练 1.答案：， 2.答案：， 解析：在数轴上表示集合A，B，可得，. 3.答案：见解析 解析：是由既选修羽毛球课程又选修乒乓球课程的同学所组成的集合； 是由所有选修羽毛球课程和选修乒乓球课程的同学所组成的集合. 4.答案：， 解析：由题意，，， ，. 5.答案：，， 解析：在数轴上表示集合A，利用交集、并集、补集的定义，得到：，，. 6.答案：总成立.理由见解析 解析：总成立.理由如下： ①若，则成立； ②若，任取，则且，故， 则有 综上，总成立. 7.答案：（1），，，，，，， （2）8 解析：（1），， 集合B为，，，，，，，. （2），，满足条件的集合C有（个）. 8.答案：， 解析：整数分为奇数和偶数两大类. 为偶数}； 为奇数}， ，. 9.答案： 解析：，且，. 10.答案：（1） （2） 解析：（1）区间，， 若，由交集定义，. （2）区间，， 若，由并集定义，. 六、课后练习 1.答案：C 解析:由可知，所以， 故选：C． 2.答案：A 解析：，所以， 故选:A 3.答案：A 解析：由题意得，所以． 故选：A. 4.答案：C 解析：由题知，则由得.故选C. 5.答案：D 解析：因为，所以画出韦恩图如下： 可知. 故选：D. 6.答案：A 解析：阴影部分表示的集合为.因为，，所以.故选A. 7.答案：BC 解析：因为集合，所以，又，所以，所以，所以A选项不正确；由，得，所以B选项正确；由，得，所以C选项正确；易知当时，，当时，，所以D选项不正确. 8.答案：ABC 解析：因为， 因为，所以集合A中有，集合B中无的元素只有1，9； 因为，所以既不在集合A中，也不在集合B中的元素只有4，6，7； 因为，所以集合A与B的公共元素只有3； 所以集合B中有，集合A中无的元素只有0，2，5，8，即. 如图： 所以：，，故AC正确； 因为集合A中有3个元素，所以A的不同子集的个数为8，故B正确； 因为，故D错误. 故选：ABC 9.答案：43 解析：设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A、B、C， 由题意画出维恩图，如图所示： 全班人数为（人）. 故答案为：43. 10.答案：(1)，． (2) 解析：(1)因为集合， ， 当时，，，． (2)因为集合C的子集有8个， 集合C中有3个元素， 而，故实数a的取值集合为. 学科网（北京）股份有限公司 $$