1.1.2 集合的基本关系学案-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

1.1.2集合的基本关系 1、 学习目标 1.理解集合之间的包含与相等的关系. 2.能利用Venn图来帮助理解集合的包含关系. 3.理解空集与子集、真子集之间的关系. 二、重难点 重点：理解集合间包含与相等的关系. 难点：区别属于与包含的概念及其符号表示. 三、知识梳理 1.子集 （1）定义：如果集合的________元素都是集合的元素， 那么集合称为集合的________. 记作：________（或________）， 读作：________（或________）. 如果不是的子集，记作________（________），读作________（________）. （2）性质 ①任意一个集合都是它本身的________，即________. ②传递性：集合，如果，，那么________. ③规定：是________的子集，记作________. 2.真子集 （1）定义：如果集合是集合的________，并且中________________， 那么集合为集合的________.记作：________，读作：________. （2）性质 ①传递性：对于集合，如果,，则________. ②规定：是________的真子集，记作________. 3.维恩图：用平面上一条________的内部来表示集合. B A 4.集合相等和子集的关系 ①如果且，则________. ②如果，则________________. 4、 应用举例 例1 写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 解：集合{a，b}的所有子集：，{a}，{b}，{a，b}. 真子集：，{a}，{b}. 例2 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由： （1）A ={1，2，3}，B ={x | x是8的约数}； （2）A ={ x | x是长方形}，B ={ x | x是两条对角线相等的平行四边形}. 解：（1）因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集. （2）因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集. 五、课堂训练 1.用“”“”“”“”或“=”填空： （1）5__________； （2）__________； （3）__________； （4）__________. 2.用“”或“”填空： （1）Z__________N； （2）Z__________Q； （3）Q__________N； （4）R__________Q. 3.用“”“”或“=”填空： （1）__________； （2）__________； （3）__________； （4）__________. 4.写出集合的所有子集. 5.用列举法表示集合和，并说明它们之间的关系. 6.已知集合A满足，用列举法写出所有可能的A. 7.已知，求实数a的取值范围. 8.已知，.分别列出这两个集合中最小的3个元素，并证明. 六、课后练习 1.设集合，.若，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.已知集合，，若，则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中正确的个数为( ) A.6个 B.5个 C.4个 D.少于4个 4.设集合，，若，则( ) A.2 B.1 C. D. 5.对于集合A，B，“”不成立的含义是( ) A.B是A的子集 B.A中的元素都不是B的元素 C.A中至少有一个元素不属于B D.B中至少有一个元素不属于A 6.（多选）已知集合，，下列结论正确的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则a可以取3 7.（多选）下列选项中正确的是( ) A.{质数奇数} B.集合与集合没有相同的子集 C.任何集合都有子集，但不一定有真子集 D.若，，则 8.满足的集合A的个数是__________. 9.判断下列两个集合间的关系： （1）若，是8的正约数}，则A_________B； （2）若，，则A_________B； （3）若是4与10的公倍数，，，则A_________B. 10.已知集合，. （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围. 答案及解析 三、知识梳理 1.（1）任意一个 子集 A⊆B B⊇A A包含于B B包含A A⊈B B⊉A A不包含于B B不包含A （2）子集 A⊆A A⊆C 任意一个集合A ⌀⊆A 2（1）子集 至少有一个元素不属于 真子集 A⫋B A真包含于B （2）A⫋C 非空集合 ⌀⫋A 3.封闭曲线 4.A＝B A⊆B且B⊆A. 五、课堂训练 1.答案：（1） （2） （3）= （4） 解析：（1）； （2） （3）； （4）. 故答案为：；；=；. 2.答案：（1） （2） （3） （4） 3.答案：（1） （2） （3） （4）= 解析：（1）如图， ； （2）如图， ； （3）如图， ； （4）如图， . 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）=. 4.答案：见解析 解析：集合的所有子集有：，，，，，，，，，，，，，，，. 5.答案：，； 解析：因为，， ，而且集合B中的所有元素都在集合A中，所以. 6.答案：，，，，，， 解析：集合A满足， ， 因此集合A可以是：，，，，，，. 7.答案： 解析：因为在区间内的实数一定都在区间内，画出数轴，如图， 由图知. 8.答案：证明见解析 解析：集合A中最小的3个元素为0，2，4； 集合B中最小的3个元素为0，4，8. 证明：，且时，， 被4整除的数一定被2整除， 集合B中的元素一定在集合A中，故. 又，，. 三、课后练习 1.答案：A 解析：将集合在数轴上表示出来，如图所示.因为，，所以. 2.答案：D 解析：因为集合，，且， 可得，所以实数m的取值范围是. 故选：D. 3.答案：C 解析：根据集合自身是自身的子集，可知①正确； 根据集合无序性可知②正确； 根据元素与集合只有属于与不属于关系可知③不正确； 根据元素与集合之间的关系可知，④正确； 根据空集是任何集合的子集可知，⑤不正确，⑥正确. 故选：C. 4.答案：B 解析：由题意知.当时，即，此时，，，不符合题意.当时，即，此时，，满足，所以，故选B. 5.答案：C 解析：“”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，不成立的含义是集合A中至少有一个元素不属于集合B.故选C. 6.答案：AC 解析：对于AB，若，则任意实数x均满足， 因此，A正确，B错误； 对于CD，由，得，解得，C正确，D错误. 故选：AC. 7.答案：CD 解析：A.2是质数，但是它不是奇数，所以{质数奇数}错误，所以A错误；B.集合与集合有相同的子集，所以B错误；C.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以C正确；D.若，，则，所以D正确.故选CD. 8.答案：3 解析：，，故集合A是集合的非空子集，所以集合A的个数为. 9.答案：（1） （2） （3）= 解析：（1），是8的正约数，集合A中元素均为B中的元素，故. （2），是6的倍数，一定是3的倍数，但是3的倍数不一定是6的倍数，故. （3）是4与10的公倍数，，，所以. 10.答案：（1） （2） 解析：（1）当，即时，，满足； 当，即或时，若， 则解得. 综上，实数a的取值范围是. （2）， 解得. 综上，实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$