第一章 专题五 中考新动向-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级上册数学同步课件（北师大版）

数学 九年级 全一册 配北师大版 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 第一章 特殊平形四边形 专题五　中考新动向 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 1. （2022·广东）如图SZ1－5－1，在▱ABCD中，一定正确的是 （　　） 图SZ1－5－1 A. AD＝CD B. AC＝BD C. AB＝CD D. CD＝BC 【考点】平行四边形的性质. 【核心能力考查】推理能力. 【答案】C. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 2. （2023·广东）如图SZ1－5－2，在▱ABCD中，∠DAB＝30°. （1）实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE；（保 留作图痕迹，不要求写作法） 图SZ1－5－2 【考点】尺规作图；平行四边形的性质. 【核心能力考查】运算能力；推理能力；应用意识. （2）应用与计算：在（1）的条件下，AD＝4，AB＝6，求BE 的长. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【答案】解：（1）如图SZ1－5－3，DE即为所求. 图SZ1－5－3 （2）由（1）知DE⊥AB，∴∠DEA＝90°. 在Rt△AED中，∠DAB＝30°，AD＝4，∴DE＝AD＝2. ∴AE＝＝＝2. ∵AB＝6，∴BE＝AB－AE＝6－2. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 3. （2024·广东）如图SZ1－5－4，菱形ABCD的面积为24，E是 AB的中点，F是BC上的动点.若△BEF的面积为4，则图中阴影部 分的面积为 　　　　. 【考点】菱形的性质；三角形的面积. 【核心能力考查】推理能力；运算能力. 图SZ1－5－4 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【解析】如图SZ1－5－5，连接BD，EC. ∵E是AB的中点，∴S△BEC＝S△AED＝S△ABD＝＝6. ∵S△BEF＝4，∴S△BEF＝S△BEC. ∴BF＝BC. ∴FC＝BC. ∴S△DFC＝S△BCD＝S菱形ABCD＝4. ∴S阴影＝S菱形ABCD－S△AED－S△BEF－ S△DFC＝24－6－4－4＝10. 图SZ1－5－5 【答案】10. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1. 把图SZ1－5－6①所示的矩形纸片ABCD折叠，B，C两点恰好 重合落在AD边上的点P处（如图SZ1－5－6②）.若∠MPN＝ 90°，PM＝3，PN＝4，则矩形ABCD的面积为（　B　） 图SZ1－5－6 A. 12 B. C. D. B 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 2. 如图SZ1－5－7，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过 点O作直线EF分别与AB，DC相交于E，F两点.若AC＝10，BD＝ 4，则图中阴影部分的面积等于 ⁠. 图SZ1－5－7 5 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 3. 如图SZ1－5－8，将正方形ABCD折叠，使点A与点B重合，点D与点C重合，折痕为MN. （1）在折痕MN上作点F，在AD边上作点E，使得△ABE≌△FBE； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 解：（1）如答图SZ1－5－1. 图SZ1－5－8 答图SZ1－5－1 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（2）如答图SZ1－5－1，连接AF. 由折叠的性质，得MN垂直平分线段AB. ∴FA＝FB. ∵AB＝FB，∴AB＝FB＝FA. ∴△ABF是等边三角形. ∴∠ABF＝60°. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°. ∴∠CBF＝∠ABC－∠ABF＝90°－60°＝30°. （2）在（1）的条件下，求∠CBF的度数. 答图SZ1－5－1 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　　　　　　　　　　　　　　　　 生活情境 1. 某广场为了方便顾客停泊车辆而设计了平行四边形的停车位. 如图SZ1－5－9，▱ACDF是其中一个停车位，小车实际占用位置 为矩形BCEF. 若BC＝5 m，CE＝2 m，∠D＝45°，求AC的长. 图SZ1－5－9 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：∵四边形ACDF为平行四边形， ∴∠A＝∠D＝45°. ∵ 四边形BCEF为矩形， ∴BF＝CE＝2 m，∠FBC＝90°. ∴∠AFB＝∠FBC－∠A＝90°－45°＝45°. ∴∠A＝∠AFB. ∴AB＝BF＝2 m. ∴AC＝AB＋BC＝2＋5＝7（m）. 图SZ1－5－9 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 2. 欣欣家的客厅安装了一盏精美的吊灯，其示意图如图SZ1－5－ 10所示，菱形ABCD是其外部框架，对角线AC，BD相交于点O， 点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，AE⊥AF. 求证：四边形 AECF是正方形. 图SZ1－5－10 生活情境 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD. ∵BE＝DF， ∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF. 又∵OA＝OC， ∴四边形AECF是平行四边形. ∵AC⊥BD， ∴四边形AECF是菱形. ∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°. ∴四边形AECF是正方形. 图SZ1－5－10 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 3. 随着科技的进步，机器人在各个领域的应用越来越广泛.如图 SZ1－5－11为正方形形状的擦窗机器人ABCD，其边长是28 cm. 在某次擦窗工作中，PM，PN为窗户的边缘，擦窗机器人的两个 顶点A，B分别落在PM，PN上，且∠P＝90°，PA＝14 cm.若将 擦窗机器人绕中心O逆时针旋转一定的角度，使得AD∥PM，求旋 转的角度最小为多少度. 科技情境 图SZ1－5－11 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：如答图SZ1－5－2，设逆时针旋转一定的角度后，A'D'∥PM，连接A'O，连接AO交A'D'于点E，则∠A'OA为旋转的角度. 在△ABP中，∠P＝90°，PA＝14 cm，AB＝28 cm， ∴PA＝AB. ∴∠PBA＝30°. ∴∠PAB＝90°－∠PBA＝60°. 在正方形ABCD中，O为正方形的中心，∴∠OAB＝45°. ∴∠PAO＝∠PAB＋∠OAB＝105°. ∵A'D'∥PM，∴∠A'EO＝∠PAO＝105°. 在正方形A'B'C'D'中，O为正方形的中心，∴∠OA'E＝45°. ∴∠A'OA＝180°－∠A'EO－∠OA'E＝180°－105°－45°＝30°. ∴旋转的角度最小为30°. 答图SZ1－5－2 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 4. 折叠中的数学. 【主题】四边形与折纸 【素材】如图SZ1－5－12①，一张矩形纸片ABCD，AB＝24 cm， BC＝10 cm. 【实践操作1】 步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为HF； 步骤二：然后左右对折，折痕为GE； 步骤三：再沿对角线折叠，将原纸片展开还原后，得到如图SZ1 －5－12②所示的四边形EFGH. 综合与实践 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （1）四边形EFGH的形状为 ，面积为 ⁠； 【实践操作2】 步骤一：将矩形纸片ABCD先沿对角线AC对折； 步骤二：再将纸片折叠使点A与点C重合得折痕EF； 步骤三：将原纸片展开还原后，连接AE，CF，得到如图SZ1－5 －12③所示的四边形AECF. 菱形 120 cm2 图SZ1－5－12 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）判断四边形AECF的形状，并加以证明. 解：（2）四边形AECF是菱形. 证明：如答图SZ1－5－3，设AC与EF交于点O. 由折叠的性质，得EF⊥AC，OA＝OC. ∵四边形ABCD是矩形， ∴DC∥AB. ∴∠ECO＝∠FAO. 在△EOC和△FOA中，​ ∴△EOC≌△FOA（ASA）.∴OE＝OF. ∵OE＝OF，OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形. 又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形. 答图SZ1－5－3 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 5. 问题情境：小刚在学习了菱形与旋转的知识后，进行以下探究运动：在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠BAD＝60°，E是直线BD上一点，连接EA，将线段EA绕点E顺时针旋转60°得到EF，连接BF. 【初步探究】 （1）如图SZ1－5－13①，小刚发现：当点E在线段BD上时，线段BF，BE，OB具有一定的数量关系，请你写出三者的数量关系，并给出证明； 综合探究 图SZ1－5－13 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （1）解：BF＋BE＝2OB. 证明：如答图SZ1－5－4，连接AF. ∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，AB＝AD. ∵线段EA绕点E顺时针旋转60°得到EF， ∴EF＝EA，∠AEF＝60°. ∴△AEF是等边三角形.∴∠EAF＝60°，AE＝AF. ∵∠BAD＝60°，∴∠BAD＝∠EAF. ∴∠BAD－∠BAE＝∠EAF－∠BAE，即∠DAE＝∠BAF. 在△ADE和△ABF中，， ∴△ADE≌△ABF（SAS）.∴DE＝BF. ∴BF＋BE＝DE＋BE＝BD＝2OB. 答图SZ1－5－4 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【深入探究】 （2）小刚发现：如图SZ1－5－13②，当点E在线段OB的延长线 上时，线段BF，BE，OB三者的数量关系为 ⁠； 如图SZ1－5－13③，当点E在线段OD的延长线上时，线段BF， BE，OB三者的数量关系为 ⁠； BE＋2OB＝BF BF＋2OB＝BE 图SZ1－5－13 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【再次探究】 （3）小刚在画完三幅图形后又有了新的发现，他发现三幅图中的 点F，B，C都共线，可是他不知道旋转后得到的点F为什么会与点 B，C共线，请你利用图SZ1－5－13②帮助小刚证明F，B，C三点 共线. 图SZ1－5－13 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （3）证明：如答图SZ1－5－5，连接AF. ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AD∥BC. ∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形.∴∠ADE＝60°. ∵线段EA绕点E顺时针旋转60°得到EF，∴EF＝EA，∠AEF＝60°. ∴△AEF是等边三角形.∴∠EAF＝60°，AE＝AF. ∵∠BAD＝∠EAF＝60°， ∴∠BAD＋∠BAE＝∠EAF＋∠BAE，即∠DAE＝∠BAF. 在△ADE和△ABF中，， ∴△ADE≌△ABF（SAS）.∴∠ABF＝∠ADE＝60°. ∵AD∥BC，∴∠ABC＝180°－∠BAD＝120°. ∴∠ABF＋∠ABC＝60°＋120°＝180°.∴F，B，C三点共线. 答图SZ1－5－5 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 6. 定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.如图SZ1－5 －14①所示的四边形ABCD是垂美四边形. 【概念理解】 （1）下列图形：①正方形；②菱形；③矩形.其中一定是垂美四 边形的是 ；（填序号） ①② 图SZ1－5－14 阅读理解 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【性质探究】 （2）小明说：在如图SZ1－5－14①所示的垂美四边形ABCD 中，AD2＋BC2＝AB2＋CD2，请你判断他的说法是否正确，并 说明理由； 解：（2）说法正确. 理由：如答图SZ1－5－6，设AC，BD交于点O. ∵四边形ABCD是垂美四边形，∴AC⊥BD. ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°. 由勾股定理，得AD2＋BC2＝AO2＋DO2＋BO2＋CO2， AB2＋CD2＝AO2＋BO2＋CO2＋DO2. ∴AD2＋BC2＝AB2＋CD2. 答图SZ1－5－6 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【问题解决】 （3）如图SZ1－5－14②，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB 为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE交AB于点M，连 接BG交CE于点N，连接GE. 已知AC＝4，AB＝5，求GE的长. 图SZ1－5－14 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（3）∵四边形ACFG和ABDE都是正方形， ∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°. ∴∠CAG＋∠BAC＝∠BAE＋∠BAC，即∠GAB＝∠CAE. 在△GAB和△CAE中， ∴△GAB≌△CAE（SAS）.∴∠ABG＝∠AEC. ∵∠AEC＋∠AME＝90°，∠BMC＝∠AME， ∴∠ABG＋∠BMC＝90°.∴∠BNM＝90°.∴CE⊥BG. ∴四边形CGEB是垂美四边形.∴CG2＋BE2＝CB2＋GE2. ∵△ABC是直角三角形，AC＝4，AB＝5， 由勾股定理，得CB2＝AB2－AC2＝9，CG2＝2AC2＝32，BE2＝2AB2＝50. ∴32＋50＝9＋GE2.∴GE2＝73.∴GE＝（负值已舍去）. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 谢 谢 ! 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 $$