第一章 特殊平形四边形 过关训练-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级上册数学同步课件（北师大版）

数学 九年级 全一册 配北师大版 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 第一章过关训练 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 边长为1的正方形的对角线长为（　A　） A. B. 1 C. D. 2＋1 A 2. 如图S1－1，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线.若∠A＝ 25°，则∠BDC＝（　B　） A. 60° B. 50° C. 55° D. 45° B 图S1－1 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 3. 已知四边形ABCD中，AC＝BD，再补充一个条件使得四边形 ABCD是矩形，这个条件可以是（　D　） A. AC⊥BD B. ∠ABC＝90° C. AB＝BC D. AC与BD互相平分 D 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 4. 依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（　B　） A B C D B 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 5. 如图S1－2，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH， 要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（　C　） A. AB∥DC B. AC＝BD C. AC⊥BD D. AB＝DC 图S1－2 C 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 6. 如图S1－3，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C 的坐标分别是（4，－2），（1，2），点B在x轴上，则点B的横 坐标是（　C　） A. 4 B. 2 C. 5 D. 4 C 图S1－3 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 7. 如图S1－4，两个正方形的边长都为2，其中一个正方形的一顶 点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是 （　B　） A. 0.5 B. 1 C. 2 D. 无法确定 B 图S1－4 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 8. 如图S1－5，正方形ABCD和等边三角形DEF夹在两条平行线 间，顶点A，F分别在两条平行线上.若点A，D，F在同一直线 上，则∠1与∠2的数量关系为（　D　） A. ∠1＋∠2＝60° B. 2∠1＋∠2＝90° C. ∠2＝2∠1 D. ∠2－∠1＝30° D 图S1－5 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 9. 将矩形纸片ABCD按如图S1－6所示的方式折叠，恰好得到菱形 AECF. 若AB＝4，则菱形AECF的边长为（　D　） A. 2.6 B. 3 C. D. 图S1－6 D 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 10. 如图S1－7，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P在AB上， PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF等于（　B　） A. B. C. D. B 图S1－7 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图S1－8，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠AOD ＝120°，AB＝3，则AC的长是 ⁠. 图S1－8 6 图S1－9 12. 如图S1－9，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且 a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为 ⁠. 50° 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 13. 如图S1－10，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连 接AE. 若∠ADB＝40°，则∠E＝ ⁠°. 14. 如图S1－11，在正方形ABCD中，BE平分∠CBD，EF⊥BD于 点F. 若DE＝，则BC的长为 　＋1　. 20 ＋1 图S1－10 图S1－11 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 15. 如图S1－12，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是对角线 BD上一动点，过点P分别作BC，CD的垂线，垂足分别为E，F， 连接EF，则EF的最小值为 ⁠. ​ 图S1－12 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 如图S1－13，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O， OM⊥BC于点M，且BM＝CM. 求证：▱ABCD是矩形. 图S1－13 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC. ∵BM＝CM，∴OM是△ABC的中位线. ∴OM∥AB. ∵OM⊥BC，∴∠OMC＝90°. ∴∠ABC＝∠OMC＝90°. ∴▱ABCD是矩形. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 17. 如图S1－14，在矩形ABCD中，O为BD的中点，过点O作 EF⊥BD，分别交BC，AD于点E，F. 求证：四边形BEDF是菱形. 图S1－14 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC. ∴∠FDO＝∠EBO. ∵O为BD的中点，∴BO＝DO. 在△OBE和△ODF中， ∴△OBE≌△ODF（ASA）.∴BE＝DF. ∵BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形. 又∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 18. 如图S1－15，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，将矩形 ABCD沿CE折叠后，点D恰好落在对角线AC上的点F处.求EF 的长. 图S1－15 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°，AD＝BC＝12，CD＝AB＝5. ∴AC＝＝13. 由折叠的性质，得EF＝DE，CF＝CD＝5， ∠EFC＝∠D＝90°. ∴AF＝AC－CF＝8，∠AFE＝90°. 设EF＝DE＝x，则AE＝AD－DE＝12－x. 在Rt△AEF中，AE2＝AF2＋EF2，即（12－x）2＝82＋x2. 解得x＝.∴EF＝. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图S1－16，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AC， AB的中点，连接CE，DE. （1）尺规作图：在DE的延长线上确定点F，使得BF∥CE；（保留 作图痕迹，不写作法） （1）解：如答图S1－1. 　图S1－16 答图S1－1　　　　　　　 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）在（1）的条件下，若∠A＝30°，求证：四边形BCEF为 菱形. （2）证明：∵D，E分别为AC，AB的中点， ∴DF∥BC. 又∵BF∥CE，∴四边形BCEF是平行四边形. ∵∠ACB＝90°，E为AB的中点， ∴EC＝EA＝EB. ∵∠A＝30°，∴∠EBC＝90°－∠A＝60°. ∴△ECB是等边三角形.∴EC＝BC. ∴四边形BCEF是菱形. 答图S1－1　　　　　　　 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 20. 如图S1－17，在正方形ABCD中，BD是对角线，AO⊥BD于点 O，OE⊥BC于点E，OF⊥CD于点F. （1）求证：四边形OECF是正方形； 　图S1－17 （1）证明：∵OF⊥DC，OE⊥BC， ∴∠OFC＝∠OFD＝∠OEC＝∠OEB＝90°. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠C＝90°，∠ODF＝∠OBE＝45°，AD＝AB. ∴四边形OECF是矩形. 在△ABD中，AD＝AB，AO⊥BD，∴DO＝BO. 在△ODF和△OBE中， ∴△ODF≌△OBE（AAS）.∴OF＝OE. ∴四边形OECF是正方形. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）若AD＝4，求正方形OECF的面积. （2）解：由（1）知∠OFD＝90°，∠ODF＝45°， ∴∠DOF＝90°－∠ODF＝45°.∴∠DOF＝∠ODF. ∴OF＝DF. ∵四边形OECF是正方形， ∴OF＝CF. ∴DF＝CF. ∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝AD＝4. ∴CF＝CD＝2. ∴正方形OECF的面积为CF2＝4. 　图S1－17 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 21. （综合与实践）折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着 我们初中数学的学习.在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和 性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就 让我们带着数学的眼光来折纸吧. 定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无 重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形. （1）操作发现：如图S1－18①，将△ABC纸片按图所示折叠成完 美矩形EFGH，若△ABC的面积为12，BC＝6，则此完美矩形的边 长FG＝ ，面积为 ⁠； （2）类比探究：如图S1－18②，将▱ABCD 纸片按图所示折叠成完美矩形AEFG，若 ▱ABCD的面积为20，BC＝5，则完美矩形 AEFG的周长为 ⁠； 3 6 13 图S1－18 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （3）拓展延伸：如图S1－18③，将▱ABCD纸片按图所示折 叠成完美矩形EFGH，若EF∶EH＝3∶4，AD＝15，求此完美 矩形的周长. 图S1－18 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（3）如答图S1－2，连接EG，设折叠后点A与 点P重合，点C与点Q重合. 由折叠的性质，得AE＝PE＝BE，DG＝QG＝CG. ∴AE＝AB，DG＝DC. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∴AE＝DG，AE∥DG. ∴四边形AEGD为平行四边形. ∴EG＝AD＝15. 答图S1－2 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 ∵四边形EFGH为矩形， ∴∠HEF＝90°，HF＝EG＝15. ∵EF∶EH＝3∶4，∴设EF＝3x，则EH＝4x. 由勾股定理，得HF＝＝5x. ∴5x＝15.解得x＝3. ∴EF＝9，EH＝12. ∴此完美矩形的周长为2（EF＋EH）＝2×（9＋12）＝42. 答图S1－2 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共 27分） 22. （综合探究）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将△ABD沿 着BD折叠，使点A与点E重合. 图S1－19 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，OB＝OD. ∵AB＝3，AD＝4， ∴BD＝＝＝5. 由折叠的性质，得∠BED＝∠BAD＝90°. 在Rt△EBD中，OB＝OD，∴OE＝BD＝. （1）如图S1－19①，对角线AC，BD相交于点O，连接OE，求线 段OE的长； 图S1－19 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）如图S1－19②，过点E作EF∥CD，交线段BD于点F，连接 AF，求证：四边形ABEF是菱形； （2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD. ∵EF∥CD，∴AB∥EF. ∴∠ABF＝∠BFE. 由折叠的性质，得∠ABF＝∠EBF，AB＝EB. ∴∠BFE＝∠EBF. ∴EF＝EB. ∴AB＝EF. ∵AB∥EF， ∴四边形ABEF是平行四边形. 又∵EF＝EB， ∴四边形ABEF是菱形. 图S1－19 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （3）如图S1－19③，在（2）条件下，线段AE，BD相交于点M， 连接CE，求线段CE的长. （3）解：∵四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BD，BM＝FM. ∵S△ABD＝BD·AM＝AB·AD，∴AM＝＝＝. 在Rt△ABM中，由勾股定理，得BM＝＝. ∴BF＝2BM＝.∴DF＝BD－BF＝. ∵EF∥CD，EF＝AB＝CD，∴四边形EFDC是平行四边形. ∴CE＝DF＝. 图S1－19 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 23. （综合运用）在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O在 原点. （1）如图S1－20①，点C的坐标为（a，b），且实数a，b满足a ＝＋－1，求点C的坐标及线段OC的长度； 图S1－20 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（1）∵a＝＋－1， ∴b－3≥0，3－b≥0.∴b＝3，a＝－1. ∴点C的坐标为（－1，3）. ∴OC＝＝. 图S1－20 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）如图S1－20②，点F在BC上，AB交x轴于点E，EF，OC的延 长线交于点G，EG＝OG，求∠EOF的度数； 解：（2）如答图S1－3，过点O作OH⊥EF于点H. ∵四边形OABC是正方形， ∴OA＝OC，∠A＝∠OCF＝∠AOC＝90°，AB∥OC. ∴∠AEO＝∠COE. ∵EG＝OG，∴∠GEO＝∠GOE. ∴∠AEO＝∠HEO. ∵OH⊥EF，∴∠EHO＝∠FHO＝∠A＝90°. 在△AEO和△HEO中， ∴△AEO≌△HEO（AAS）. 答图S1－3 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 ∴∠AOE＝∠HOE，OH＝OA. ∴OH＝OC. 在Rt△OHF和Rt△OCF中， ∴Rt△OHF≌Rt△OCF（HL）.∴∠HOF＝∠COF. ∵∠AOE＋∠HOE＋∠HOF＋∠COF＝90°， ∴2∠HOE＋2∠HOF＝90°，即∠HOE＋∠HOF＝45°. ∴∠EOF＝45°. 答图S1－3 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （3）如图S1－20③，将（1）中正方形OABC绕点O顺时针旋转， 使OA落在y轴上，E为AB上任意一点，OE的垂直平分线交x轴于点 G，交OE于点P，连接EG交BC于点F，求△BEF的周长. 答图S1－4 解：（3）如答图S1－4，过点O作OH⊥EF于点H，连接OF. ∵四边形OABC是正方形， ∴OA＝OC＝AB＝BC，∠EAO＝∠OCF＝∠AOC＝90°， AB∥OC. ∴∠AEO＝∠COE. ∵PG垂直平分OE，∴EG＝OG. ∴∠HEO＝∠COE. ∴∠AEO＝∠HEO. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 ∵OH⊥EF，∴∠EHO＝∠FHO＝∠EAO＝90°. 在△AEO和△HEO中， ∴△AEO≌△HEO（AAS）.∴AE＝HE，OA＝OH. ∴OH＝OC. 在Rt△OHF和Rt△OCF中， ∴Rt△OHF≌Rt△OCF（HL）.∴HF＝CF. ∴△BEF的周长为BE＋EF＋BF＝BE＋HE＋HF＋BF＝BE＋AE ＋CF＋BF＝AB＋BC＝2OC＝2. 答图S1－4 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 谢 谢 ! 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 $$