第二章 专题五 中考新动向-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级上册数学同步课件（北师大版）

数学 九年级 全一册 配北师大版 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 第二章 一无二次方程 专题五 中考新动向 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 1. （2022·广东）若x＝1是方程x2－2x＋a＝0的根，则a＝ 　　. 【考点】一元二次方程的解. 【核心能力考查】运算能力. 【答案】1. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 2. （2024·广东）若关于x的一元二次方程x2＋2x＋c＝0有两个相 等的实数根，则c＝ 　　　　. 【考点】根的判别式. 【核心能力考查】运算能力. 【答案】1. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2024年广东中考第20题改编）某农产品商以5元/kg的价格收购 马蹄，若按10元/kg出售，平均每天可售出100 kg.市场调查反映： 如果每千克降价1元，每天销售量相应增加50 kg. （1）若该农产品商想要日销售利润达到600元，则每千克马蹄应 降价多少元？ 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：设每千克马蹄降价x元，则每千克马蹄的销售利润为（10－x －5）元，平均每天可售出（100＋50x） kg. （1）由题意，得（10－x－5）（100＋50x）＝600. 整理，得x2－3x＋2＝0. 解得x1＝1，x2＝2. 答：每千克马蹄应降价1元或2元. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）日销售利润能否达到700元？如果能，请计算出每千克马蹄 降价多少元；如果不能，请说明理由. （2）日销售利润不能达到700元.理由如下： 假设日销售利润能达到700元. 由题意，得（10－x－5）（100＋50x）＝700. 整理，得x2－3x＋4＝0. ∵Δ＝（－3）2－4×1×4＝－7＜0， ∴原方程没有实数根. ∴假设不成立，即日销售利润不能达到700元. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 1. 为了解决居民停车难的问题，社区利用矩形空地ABCD建了一 个露天停车场，其布局如图SZ2－5－1所示，已知AD＝90 m，AB ＝60 m，阴影部分设计为停车位，其余部分均为宽度相等的道路. 已知阴影部分的面积为4 000 m2，求道路的宽. 图SZ2－5－1 生活情境 解：设道路的宽为x m. 由题意，得（90－2x）（60－2x）＝4 000. 整理，得x2－75x＋350＝0. 解得x1＝5，x2＝70（不合题意，舍去）. 答：道路的宽是5 m. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 2. 《广州市电动自行车管理规定》自2024年12月30日起正式实 施.该规定强调了驾驶电动自行车时，驾驶人及乘坐人均要规范佩 戴安全头盔.某商店统计了某品牌头盔的销售量，10月份售出150 个，12月份售出216个. （1）求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率； 解：（1）设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为x. 由题意，得150（1＋x）2＝216. 解得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2（不合题意，舍去）. 答：该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为20％. 社会情境 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，则每月 可卖出500个，若在此基础上每个头盔涨价1元，则每月要少卖出 20个.为使每月销售利润达到6 000元，而且尽可能让顾客得到实 惠，该品牌头盔每个应涨价多少元？ 解：（2）设该品牌头盔每个涨价y元，则每个盈利（10＋y）元， 月销售量为（500－20y）个. 由题意，得（10＋y）（500－20y）＝6 000. 整理，得y2－15y＋50＝0. 解得y1＝5，y2＝10. ∵尽可能让顾客得到实惠，∴y＝5. 答：该品牌头盔每个应涨价5元. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 科技情境 3. 根据以下素材，探索完成任务. 背景素材 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国创造业发展迎来重大机遇.天府科技园工作实验室借助智能化，对某款电动车的零部件进行一体化加工，以相同的生产效率提升，该零件7月份生产500个，9月份生产720个. 素材2 该园工作实验室的零部件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零部件售价为50元/个时，月销售量为800个，若在此基础上售价每下降2元，则月销售量将增加20个.为刺激经济的快速增长，政府给予实验室支持，当销量不低于900个时，每个将有5元的科技创新补贴. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 问题解决 任务1 求工作实验室8，9两个月生产零件数量的月均增长率； 解：（任务1）设工作实验室8，9两个月生产零件数量的月均增长率为x. 由题意，得500（1＋x）2＝720. 解得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2（不合题意，舍去）. 答：工作实验室8，9两个月生产零件数量的月均增长率为20％. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 问题解决 任务2 要使工作实验室月销售利润达到13 500元，而且尽可能 让车企得到实惠，社会普及增加，则该零件的实际售价 应定为多少元？ 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 ①当月销量1 300－10y＜900，即y＞40时，每个零件的销售利润 为（y－30）元. 由题意，得（y－30）（1 300－10y）＝13 500. 整理，得y2－160y＋5 250＝0. 解得y1＝80－5，y2＝80＋5（不合题意，舍去）； （任务2）设该零件的实际售价定为y（y≤50）元/个，则月销量 为800＋×20＝（1 300－10y）个. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 ②当月销量1 300－10y≥900，即y≤40时，每个零件的销售利润 为（y－30＋5）元. 由题意，得（y－30＋5）（1 300－10y）＝13 500. 整理，得y2－155y＋4 600＝0. 解得y3＝40，y4＝115（不合题意，舍去）. ∵尽可能让车企得到实惠，社会普及增加，且40＜80－5， ∴y＝40. 答：该零件的实际售价应定为40元/个. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 4. 在数学综合实践课上，李老师带领同学们到某社区设计一个小 型停车场. 步骤一：测量一块矩形空地ABCD，其布局如图SZ2－5－2所示， 测得AD＝52 m，AB＝28 m； 步骤二：把阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽 度相等且均为x m的道路； 步骤三：测得铺花砖的面积为640 m2. 请解答以下问题： 综合与实践 图SZ2－5－2 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （1）道路的宽是多少米？ 解：（1）由题意，得（52－2x）（28－ 2x）＝640. 解得x1＝34（不合题意，舍去），x2＝6. 答：道路的宽为6 m. 图SZ2－5－2 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金 为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会 少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月 租金收入为10 125元？ 解：（2）设每个车位的月租金上涨a元. 由题意，得（200＋a）＝10 125. 解得a1＝a2＝25. 答：当每个车位的月租金上涨25元时，停车场的月租金收入为 10 125元. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 5. 已知关于x的一元二次方程x2－6x＋m－1＝0有两个实数根x1， x2. （1）求m的取值范围； 解：（1）由题意，得Δ＝（－6）2－4（m－1）≥0. 解得m≤10. ∴m的取值范围为m≤10. 综合探究 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）若x1，x2分别是一个矩形的长和宽. ①是否存在m，使得矩形的面积为11？若存在，请求出m的值；若 不存在，请说明理由； 解：（2）由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，x1x2＝m－1. ①不存在. 理由：∵x1，x2分别是一个矩形的长和宽，且矩形的面积为11， ∴x1x2＝11，即m－1＝11. 解得m＝12. 由（1）知m≤10， ∴不存在实数m，使得矩形的面积为11. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 ②是否存在m，使得矩形的对角线长为3？若存在，请求出m的 值；若不存在，请说明理由. ②存在. ∵x1，x2分别是一个矩形的长和宽，且矩形的对角线长为3， ∴＋＝（3）2， 即（x1＋x2）2－2x1x2＝18. ∴62－2（m－1）＝18. 解得m＝10. ∴m的值为10. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 6. 某厂家专门为产品生产包装盒，该厂有一种特制的矩形包装盒 的原材料，长为12 cm，宽为10 cm. （1）已知该公司2022年销售这种原材料制作的包装盒的销售额为 5 000万元，并预计2024年的销售额为7 200万元，假设该厂在这两 年中的销售额的增长率相同，设为m，那么根据题意列出的方程 为 ⁠； 5 000（1＋m）2＝7 200 综合运用 图SZ2－5－3 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）如图SZ2－5－3，该厂技术工人先将矩形原材料剪去两个全 等的正方形，又剪去了两个全等的矩形，剩余部分制成了底面积 为24 cm2的有盖包装盒（边缘损耗忽略不计），求剪去的正方形 的边长； 解：（2）设剪去的正方形的边长为x cm，则有盖包装盒的底面长为（10－2x） cm，宽为－x＝（6－x） cm. 由题意，得（10－2x）（6－x）＝24. 解得x1＝2，x2＝9（不合题意，舍去）. 图SZ2－5－3 答：剪去的正方形的边长为2 cm. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （3）已知该矩形包装盒的生产成本为40元/个，市场调研发现： 如果以100元/个销售，每天可以售出200个.为了减少库存，厂家 决定降价销售，根据近期销售情况发现，销售单价每降低1元，日 销售量就会增加20个，在尽可能减少库存的情况下，该厂家将售 价定为每个多少元时，每天的销售利润为24 000元？ 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（3）设每个售价为y元，则日销售量为200＋20（100－y）＝（2 200－20y）个. 由题意，得（y－40）（2 200－20y）＝24 000. 解得y1＝70，y2＝80. ∵要尽可能减少库存， ∴y＝70. 答：该厂家将售价定为每个70元时，每天的销售利润为24 000元. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 7. 阅读材料： 根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算： （x＋2）（x＋3）＝x2＋5x＋6；（x－1）（x＋3）＝x2＋2x－3. 而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得： x2＋5x＋6＝（x＋2）（x＋3）；x2＋2x－3＝（x－1）（x＋3）. 通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式 分解.如将式子x2＋2x－3因式分解，这个式子的二次项系数1＝ 1×1，常数项－3＝（－1）×3，一次项系数2＝（－1）＋3，可 以用如图SZ2－5－4所示的十字相乘的形式表示. 阅读理解 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再 分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉 相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写.这样，我们就 可以得到x2＋2x－3＝（x－1）（x＋3）. 利用这种方法，解下列方程： 图SZ2－5－4 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （1）x2＋7x＋10＝0； 解：因式分解，得（x＋2）（x＋5）＝0. ∴x＋2＝0，或x＋5＝0. 解得x1＝－2，x2＝－5. （2）x2－4x＋3＝0； 解：因式分解，得（x－3）（x－1）＝0. ∴x－3＝0，或x－1＝0. 解得x1＝3，x2＝1. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （3）x2－x－6＝0； 解：因式分解，得（x－3）（x＋2）＝0. ∴x－3＝0，或x＋2＝0. 解得x1＝3，x2＝－2. （4）x2－（＋）x＋＝0. 解：因式分解，得（x－）（x－）＝0. ∴x－＝0，或x－＝0. 解得x1＝，x2＝. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 谢 谢 ! 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 $$