第二章 专题二 本章重难点-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级上册数学同步课件（北师大版）

数学 九年级 全一册 配北师大版 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 第二章 一无二次方程 专题二 本章重难点 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 一、求解一元二次方程 【例1】（配方法）（2023·无锡）解方程： x2－2x－4＝0. 解：移项，得x2－2x＝4. 配方，得x2－2x＋1＝4＋1， 即（x－1）2＝5. 两边开平方，得x－1＝±. 解得x1＝1＋，x2＝1－. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【例2】（公式法）解方程： 3x2－6x－4＝0. 解：∵a＝3，b＝－6，c＝－4， ∴Δ＝b2－4ac＝（－6）2－4×3×（－4）＝84＞0. ∴ x＝＝＝. 解得x1＝，x2＝. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【例3】（因式分解法）解方程： 3x（2x＋1）＝4x＋2. 解：原方程化为3x（2x＋1）－2（2x＋1）＝0. 因式分解，得（2x＋1）（3x－2）＝0. ∴2x＋1＝0，或3x－2＝0. 解得x1＝－，x2＝. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【对接中考】 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1. （配方法）（2024·徐州）解方程： x2＋2x－1＝0. 解：移项，得x2＋2x＝1. 配方，得x2＋2x＋1＝1＋1， 即（x＋1）2＝2. 两边开平方，得x＋1＝±. 解得x1＝－1，x2＝－－1. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 2. （公式法）（2023·广州）解方程： x2－6x＋5＝0. 解： ∵a＝1，b＝－6，c＝5， ∴Δ＝b2－4ac＝（－6）2－4×1×5＝16＞0. ∴x＝＝＝3±2. 解得x1＝5，x2＝1. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 3. （因式分解法）解方程： （y－2）2＝9（2y＋1）2. 解：原方程化为（y－2）2－[3（2y＋1）]2＝0. 因式分解，得[y－2－3（2y＋1）][y－2＋3（2y＋1）]＝0， 即（－5y－5）（7y＋1）＝0. ∴－5y－5＝0，或7y＋1＝0. 解得y1＝－1，y2＝－. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 二、根的判别式 【例4】（2024·自贡）关于x的方程x2＋mx－2＝0根的情况是 （　A　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 A 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【例5】（2024·济南）若关于x的方程x2－x－m＝0有两个不相等 的实数根，则实数m的取值范围是（　B　） A. m＜－ B. m＞－ C. m＜－4 D. m＞－4 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【对接中考】 4. （2024·潍坊）已知关于x的一元二次方程x2－mx－n2＋mn＋1＝ 0，其中m，n满足m－2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正 确的是（　C　） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 C 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 5. （2024·泰安）关于x的一元二次方程2x2－3x＋k＝0有实数根， 则实数k的取值范围是（　B　） A. k＜ B. k≤ C. k≥ D. k＜－ 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 三、根与系数的关系 【例6】（2024·乐山）若关于x的一元二次方程x2＋2x＋p＝0两根 为x1，x2，且＋＝3，则p的值为（　A　） A. － B. C. －6 D. 6 A 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【例7】（2023·湖北）已知关于x的一元二次方程x2－（2m＋1）x ＋m2＋m＝0. （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （1）证明：∵Δ＝[－（2m＋1）]2－4（m2＋m）＝4m2＋4m＋1 －4m2－4m＝1＞0， ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a＋b）（a＋2b）＝ 20，求m的值. （2）解：由题意，得a＋b＝2m＋1，ab＝m2＋m. ∵（2a＋b）（a＋2b） ＝2a2＋4ab＋ab＋2b2 ＝2（a2＋2ab＋b2）＋ab ＝2（a＋b）2＋ab， ∴2（a＋b）2＋ab＝20， 即2（2m＋1）2＋m2＋m＝20. 整理，得m2＋m－2＝0. 解得m1＝－2，m2＝1. ∴m的值为－2或1. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【对接中考】 　　　　　　　　　　　　　　　　　 6. （2024·日照）已知实数x1，x2（x1≠x2）是关于x的方程kx2＋ 2kx＋1＝0（k≠0）的两个根.若＋＝2，则k的值为（　B　） A. 1 B. －1 C. D. － B 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 7. （2023·南充）已知关于x的一元二次方程x2－（2m－1）x－3m2＋m＝0. （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根； （1）证明：∵Δ＝[－（2m－1）]2－4×1×（－3m2＋m）＝4m2 －4m＋1＋12m2－4m＝16m2－8m＋1＝（4m－1）2≥0， ∴无论m为何值，方程总有实数根. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）若x1，x2是方程的两个实数根，且＋＝－，求m的值. （2）解：由题意，得x1＋x2＝2m－1，x1x2＝－3m2＋m. ∵＋＝＝＝－2， ∴－2＝－，即－2＝－. 整理，得5m2－7m＋2＝0. 解得m1＝1，m2＝. ∴m的值为1或. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 四、一元二次方程的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例8】（2024·牡丹江）一种药品原价每盒48元，经过两次降价 后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 （　C　） A. 20％ B. 22％ C. 25％ D. 28％ C 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【例9】（2022·青海）如图SZ2－2－1，小明同学用一张长11 cm， 宽7 cm的矩形纸板制作一个底面积为21 cm2的无盖长方体纸盒， 他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折 叠即可（损耗不计）.设剪去的正方形边长为x cm，则可列方程为 ⁠. （11－2x）（7－2x）＝21 图SZ2－2－1 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【例10】直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商对一款成本价为 40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出 20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量 增加10件. （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价 应定为多少元？ 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（1）设每件售价定为x元，则每件的利润为（x－40）元，日销售量为20＋＝（140－2x）件. 由题意，得（x－40）（140－2x）＝（60－40）×20. 解得x1＝50，x2＝60（不合题意，舍去）. 答：每件售价应定为50元. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5 元.为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打 折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打 几折销售？ 解：（2）设该商品需要打a折销售. 由题意，得62.5×≤50. 解得a≤8. 答：该商品至少需打八折销售. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【对接中考】 8. （2024·南通）红星村种的水稻2021年平均每公顷产7 200 kg， 2023年平均每公顷产8 450 kg.求水稻每公顷产量的年平均增长率. 设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则可列方程为（　A　） A. 7 200（1＋x）2＝8 450 B. 7 200（1＋2x）＝8 450 C. 8 450（1－x）2＝7 200 D. 8 450（1－2x）＝7 200 A 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 9. （2024·青岛）如图SZ2－2－2，某小区要在长为16 m，宽为 12 m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等， 且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 m. 图SZ2－2－2 2 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 10. （2024·淄博）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身 心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多， 从2021年的32万人增加到2023年的50万人. （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； 解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x. 由题意，得32（1＋x）2＝50. 解得x1＝0.25＝25％，x2＝－2.25（不合题意，舍去）. 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25％. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装 健身器材.该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1 600元； 若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元.但最低售价不 得少于1 000元.已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的 这种健身器材的套数. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（2）设购买的这种健身器材的套数为m套. ∵240 000÷1 600＝150（套）， ∴m＞100. 由题意，得m＝240 000. 整理，得m2－500m＋60 000＝0. 解得m1＝200，m2＝300. 当m＝200时，1 600－×40＝1 600－400＝1 200＞1 000，符 合题意； 当m＝300时，1 600－×40＝1 600－800＝800＜1 000，不 符合题意，舍去. 答：购买的这种健身器材的套数为200套. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 谢 谢 ! 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 $$