第二章 一元二次方程 过关训练-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级上册数学同步课件（北师大版）

数学 九年级 全一册 配北师大版 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 第二章过关训练 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程是（　B　） A. 2x2－y－1＝0 B. x2＝1 C. x2－x（x＋7）＝0 D. ＝1 2. 把方程x2＋3x＝5化成一般式，则a，b，c的值分别是 （　B　） A. 1，－3，5 B. 1，3，－5 C. 1，3，5 D. 0，3，－5 B B 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 3. 用配方法解方程x2＋2x＝3时，配方后正确的是（　C　） A. （x＋2）2＝7 B. （x＋2）2＝5 C. （x＋1）2＝4 D. （x＋1）2＝2 4. 若关于x的方程x2－x＋m＝0没有实数根，则m的值可以为 （　A　） A. 2 B. 0 C. D. －2 5. 若x＝3是关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝1的一个解，则c的 值为（　C　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 C A C 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 6. 如果关于x的方程（x－9）2＝m＋4可以用直接开平方法求解， 那么m的取值范围是（　D　） A. m＞3 B. m≥3 C. m＞－4 D. m≥－4 D 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 7. 下表是求代数式ax2－bx的值的情况，根据表格中的数据可知， 方程ax2－bx＝2的解是（　D　） x －2 －1 0 1 2 3 … ax2－bx 6 2 0 0 2 6 … A. x＝1 B. x1＝0，x2＝1 C. x＝2 D. x1＝－1，x2＝2 D 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 8. 在一次DeepSeek应用培训会议上，每两个参加会议的人都相互 握了一次手.有人统计一共握了66次手，这次培训会议到会的人数 有（　C　） A. 8人 B. 10人 C. 12人 D. 14人 9. 若一个菱形的两条对角线长分别是一元二次方程2x2－kx＋40＝ 0的两个实根，则该菱形的面积是（　A　） A. 10 B. 20 C. 16 D. 9 C A 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 10. 在《代数学》中记载了求方程x2＋8x＝33正数解的几何方法： 如图S2－1①，先构造一个面积为x2的正方形，再以这个正方形的 边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为 33＋16＝49，则该方程的正数解为7－4＝3.小明尝试用此方法解 关于x的方程x2＋10x＋c＝0时，构造出如图S2－1②所示的正方 形.已知图S2－1②中阴影部分的面积和为39，则c的值及该方程的 正数解分别为（　C　） C 图S2－1 A. 39，3 B. 39，2 C. －39，3 D. －39，2 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程（x－1）2＝1的解为 ⁠. 12. 已知（k＋1）＋2＝0是关于x的一元二次方程，则k ＝ ⁠. 13. 已知a为方程x2－3x－6＝0的一个根，则代数式2a2－6a＋5的 值为 ⁠. 14. 构造一个一元二次方程，要求：①常数项不为0；②有一个根 为－1.这个一元二次方程可以是 ⁠. （写出一个即可） 15. 若方程x2－4 096 576＝0的两根为x1＝2 024，x2＝－2 024，则 方程x2－2x－4 096 575＝0的两根为 ⁠. x1＝2，x2＝0 1 17 x2－1＝0（答案不唯一） x1＝2 025，x2＝－2 023 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）x（x－5）＝3x－15； 解：原方程化为x（x－5）－3（x－5）＝0. 因式分解，得（x－5）（x－3）＝0. ∴x－5＝0，或x－3＝0. 解得x1＝5，x2＝3. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）2y2－9y＋5＝0. 解：∵a＝2，b＝－9，c＝5， ∴Δ＝b2－4ac＝（－9）2－4×2×5＝41＞0. ∴y＝＝. 解得y1＝，y2＝. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 17. 列方程解应用题. 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活 动.四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每 月投入资金的增长率相同，求该商场投入资金的月平均增长率. 解：设该商场投入资金的月平均增长率为x. 由题意，得20（1＋x）2＝24.2. 解得x1＝0.1＝10％，x2＝－2.1（不合题意，舍去）. 答：该商场投入资金的月平均增长率为10％. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 18. 已知关于x的方程x2－4x－k＝0有两个不相等的实数根. （1）求实数k的取值范围； 解：（1）∵关于x的方程x2－4x－k＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（－4）2－4×1×（－k）＞0. 解得k＞－4. ∴实数k的取值范围是k＞－4. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）已知方程的一个根为5，求方程的另一个根. 解：（2）设方程的另一个根的值为a. 由根与系数的关系，得a＋5＝－＝4. 解得a＝－1. ∴方程的另一个根为－1. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知关于x的一元二次方程2x2＋3x－k＝0有两个实数根. （1）若方程的一个实数根为，求k的值； 解：（1）把x＝代入一元二次方程，得 2×＋3×－k＝0. 解得k＝2. ∴k的值为2. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）若方程的两个实数根x1，x2满足＋＝2，求k的值. 解：（2）∵关于x的一元二次方程2x2＋3x－k＝0的两个实数根为x1，x2， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝－. ∴＋＝＝＝2. 解得k＝.∴k的值为. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 20. 已知关于x的一元二次方程（a＋c）x2－2bx＋a－c＝0，其中 a，b，c分别为△ABC三边的长. （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； 解：（1）△ABC是等腰三角形. 理由：把x＝1代入一元二次方程，得a＋c－2b＋a－c＝0. 整理，得a＝b. ∴△ABC的形状是等腰三角形. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根. 解：（2）∵△ABC是等边三角形， ∴a＝b＝c. ∴一元二次方程可化为（a＋a）x2－2ax＋a－a＝0，即x2－x＝0. 解得x1＝0，x2＝1. ∴这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 21. （综合与实践）【主题】如何利用闲置硬纸板制作收纳盒， 收纳玩具. 【素材】闲置的长方形硬纸板（如图S2－2①，一张长为100 cm， 宽为40 cm的硬纸板）. 图S2－2 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【目标】 （1）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形（如图S2－ 2②），然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成 一个长方体无盖收纳盒.若该无盖收纳盒的底面积为1 216 cm2，求 剪去的小正方形的边长； 解：（1）设剪去的小正方形的边长为x cm. 由题意，得（100－2x）（40－2x）＝1 216. 整理，得x2－70x＋696＝0. 解得x1＝12，x2＝58（不合题意，舍去）. 答：剪去的小正方形的边长为12 cm. 图S2－2 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）如图S2－2③，把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长 方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且 无重叠部分，盒子的底面积为702 cm2.如图S2－2④是一个玩具机 械狗的实物图和尺寸大小，则玩具机械狗能否完全放入该收纳盒 并合上盖子（不考虑倾斜放入）？请说明理由. 图S2－2 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（2）玩具机械狗不能完全放入该收纳盒并合上盖子. 理由：设剪去小长方形的长为m cm，宽为n cm. ∵EF和HG两边恰好重合且无重叠部分， ∴2（m－n）＝100－2m. 整理，得m＝. ∴折成的有盖长方体收纳盒的底面长为100－2m＝100－2·＝ （50－n） cm，宽为（40－2n） cm. ∵有盖长方体收纳盒的底面积为702 cm2， ∴（50－n）（40－2n）＝702. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 整理，得n2－70n＋649＝0. 解得n1＝11，n2＝59（不合题意，舍去）. 则50－n＝39，40－2n＝18. ∴折成的有盖的长方体收纳盒的长为39 cm，宽为18 cm，高为 11 cm. ∵39＞21，18＞15，11＜18， ∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒并合上盖子. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共 27分） 22. （综合运用）芯片目前是全球紧缺资源，合肥市政府通过资 本招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业. 合肥某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产 了200万个，第三季度生产了288万个.试回答下列问题： 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （1）求第二、第三两个季度生产量的平均增长率； 解：（1）设第二、第三两个季度生产量的平均增长率为x. 由题意，得200（1＋x）2＝288. 解得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2（不合题意，舍去）. 答：第二、第三两个季度生产量的平均增长率为20％. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增 加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度. ①现该公司要保证每季度生产内存芯片2 600万个，在增加产能同 时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大）， 应该再增加几条生产线？ 解：（2）①设再增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为 （600－20m）万个/季度. 由题意，得（1＋m）（600－20m）＝2 600. 解得m1＝4，m2＝25. 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ∴m＝4. 答：应该再增加4条生产线. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 ②是否能增加生产线，使得每季度生产内存芯片4 820万个？若 能，应该再增加几条生产线？若不能，请说明理由. ②不能.理由如下： 设再增加n条生产线，则每条生产线的最大产能为（600－20n） 万个/季度. 由题意，得（1＋n）（600－20n）＝4 820. 整理，得n2－29n＋211＝0. ∴Δ＝b2－4ac＝（－29）2－4×1×211＝－3＜0. ∴该方程无实数根. ∴不能增加生产线，使得每季度生产内存芯片4 820万个. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 23. （综合探究）如图S2－3，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝ 6 cm，BC＝8 cm. （1）点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B 开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.如果点P，Q分别从点A， B同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8 cm2？ 图S2－3 解：（1）设移动的时间为x s，则AP＝x cm，BQ＝2x cm. ∴BP＝AB－AP＝（6－x） cm. ∵△PBQ的面积等于8 cm2， ∴BP·BQ＝8，即（6－x）·2x＝8. 解得x1＝2，x2＝4. ∴经过2 s或4 s，△PBQ的面积等于8 cm2. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）在（1）的基础上，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两 部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由； 解：（2）线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分. 理由：假设线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分. 由题意，得S△PBQ＝S△ABC＝×AB·BC＝ ××6×8＝12（cm2）.∴（6－x）·2x＝12. 整理，得x2－6x＋12＝0. ∵Δ＝（－6）2－4×1×12＝－12＜0， ∴此方程无实数根. ∴假设不成立，即线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分. 图S2－3 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （3）若点P沿射线AB方向从点A出发以1 cm/s的速度移动，同时点 Q沿射线CB方向从点C出发以2 cm/s的速度移动.经过几秒， △PBQ的面积为1 cm2？ 解：（3）设移动的时间为t s. ①当0＜t≤4，即点P在线段AB上，点Q在线段CB 上时， 由题意，得（6－t）（8－2t）＝1. 解得t1＝5＋（不合题意，舍去），t2＝5－； 图S2－3 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 ②当4＜t≤6，即点P在线段AB上， 点Q在射线CB上（点B下边）时， 由题意，得（6－t）（2t－8）＝1. 解得t3＝t4＝5； ③当t＞6，即点P在射线AB上（点B右边）， 点Q在射线CB上（点B下边）时， 由题意，得（t－6）（2t－8）＝1. 解得t5＝5＋，t6＝5－（不合题意，舍去）. 综上所述，经过（5－） s或5 s或（5＋） s， △PBQ的面积为1 cm2. 图S2－3 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 谢 谢 ! 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 $$