第二十二章 二次函数 单元训练 2025—2026学年 人教版九年级数学上册

第二十二章二次函数课后培优训练人教版2025—2026学年九年级上册 一、选择题 1．二次函数y＝mx2+x+m2﹣2m的图象经过原点，则m的值为（　　） A．0 B．2 C．2或0 D．无法确定 2．对于二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0，y随x的增大而减小 B．当x＝1时，y有最大值﹣3 C．图象的顶点（﹣1，﹣3） D．图象与x轴有两个交点 3．将抛物线y＝2（x+2）2﹣1向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝2（x﹣1）2﹣2 B．y＝2（x+1）2+3 C．y＝2（x+1）2﹣3 D．y＝2（x+2）2+1 4．已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在二次函数y＝2x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1 5．如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）的图象上，且a＜b＜3．则m的取值范围是（　　） A．3＜m＜4 B．3＜m＜4或m＞6 C．m＞6 D．m＜4或m＞6 6．若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（﹣2，﹣1），该抛物线与y轴的交点位于x轴上方，则下列结论正确的是（　　） A．a＜0 B．c＜0 C．b2﹣4ac＝0 D．4a﹣2b+c＝﹣1 7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，给出下列结论：①c＜0；②b＝2a；③a+b+c＜0；④当x＞﹣1时，y＞0．其中所有正确结论的序号是（　　） A． ①② B．①③ C．②③ D．②④ 8．在平面直角坐标系xOy中，点M（m﹣4，p），N（m，p），Q（6，q）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，且抛物线的对称轴为直线x＝t．若p＜q＜c，则t的取值范围为（　　） A．3＜t＜4 B．3＜t＜4或t＞8 C．t＜3或4＜t＜8 D．t＞8 9．如图，这是一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象，则二次函数y＝ax2+bx﹣a的图象大致为（　　） A． B． C．D． 10．如图，点A是抛物线y＝a（x﹣3）2+k与y轴的交点，AB∥x轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若△ABC为等边三角形，则a的值为（　　） A． B． C． D．1 2、 填空题 11．抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是 　 　 ． 12．二次函数的顶点为P，则点P到直线y＝10的距离的最小值为　 ． 13．无论k为任何实数，二次函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k的图象必过定点 　 　 ． 14．已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a是常数，且a≠0）． （1）若点（1，﹣2）在该函数的图象上，则a的值为 　 　 ； （2）当a＝﹣1时，若﹣3≤x≤2，则函数值y的取值范围是 　 ． 三、解答题 15．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点M（1，4）和N（2，3）． （1）求此二次函数的解析式． （2）求此二次函数的对称轴和顶点坐标． （3）求此二次函数与x轴和y轴的交点坐标． 16．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）P是抛物线上的点，且点P的横坐标是3，求△PAB的面积． 17．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点． （1）分别计算点A，B，C的坐标． （2）在第一象限的抛物线上求点P，使得S△PBC最大． 18．如图，已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P作PH⊥x轴，与线段BC交于点M，垂足为点H，若PM＝MH时，求△PBC的面积． 19．已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2． （1）求b的值； （2）当1≤x≤4时，函数值y的最大值与最小值的和为6，求c的值； （3）当1≤x≤4时，抛物线与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围． 20．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备用每个6元的价格购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的关系式为：y＝﹣30x+600． （1）按照上述市场调查的销售规律，写出销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数解析式； （2）为了方便顾客，售价定为多少时可获利1200元； （3）若要想获得最大利润，试确定此时的销售单价，并求出此时的最大利润． 21．已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数），经过点A（1，2），B（2，p）． （1）①求b，c的关系式； ②求pc的最大值； （2）已知点C（t，y1），D（t+2，y2）是抛物线y＝x2+bx+c上的两点，且对于任意的实数t，不等式：（y1﹣p）（y2﹣p）≥0恒成立．若y1≥y2时，求t的取值范围． 22．已知二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）． （1）若点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式． （2）请证明不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点． （3）当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，求a的值． 参考答案 一、选择题 1．二次函数y＝mx2+x+m2﹣2m的图象经过原点，则m的值为（　　） A．0 B．2 C．2或0 D．无法确定 【解答】解：由条件可得m2﹣2m＝0， 解得m＝0或m＝2， ∵m≠0， ∴m＝2， 故选：B． 2．对于二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0，y随x的增大而减小 B．当x＝1时，y有最大值﹣3 C．图象的顶点（﹣1，﹣3） D．图象与x轴有两个交点 【解答】解：把二次函数化为顶点式为：y＝﹣（x﹣1）2﹣3，根据顶点式即可对各选项进行判断如下： ∴顶点坐标为（1，﹣3），开口向下，对称轴为x＝1，当x＞1时y随x的增大而减小，故A选项错误； 当x＝1时，y有最大值﹣3，与x轴没有交点，故C、D选项错误，B选项正确， 故选：B． 3．将抛物线y＝2（x+2）2﹣1向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝2（x﹣1）2﹣2 B．y＝2（x+1）2+3 C．y＝2（x+1）2﹣3 D．y＝2（x+2）2+1 【解答】解：将抛物线y＝2（x+2）2﹣1向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为y＝2（x+2﹣1）2﹣1﹣2，即y＝2（x+1）2﹣3， 故选：C． 4．已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在二次函数y＝2x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1 【解答】解：由条件可知C（3，y3）关于y轴的对称点为（﹣3，y3）， ∵﹣4＜﹣3＜﹣2，且x＜0时，函数值随自变量的增大而减小， ∴y2＜y3＜y1； 故选：D． 5．如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）的图象上，且a＜b＜3．则m的取值范围是（　　） A．3＜m＜4 B．3＜m＜4或m＞6 C．m＞6 D．m＜4或m＞6 【解答】解：∵A（m﹣2，a），C（m，a）关于对称轴对称， ∴， ∴m﹣1＝t，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧， ∵抛物线与y轴交点为（0，3），抛物线对称轴为直线x＝t， ∴此交点关于对称轴的对称点为（2m﹣2，3）， a＜3，b＜3且t＞0， 4＜2m﹣2， 解得m＞3， 当A，B都在对称轴左边时， ∵a＜b， ∴4＜m﹣2， 解得m＞6， ∴m＞6， 当A，B分别在对称轴两侧时， ∵a＜b， ∴B到对称轴的距离大于A到对称轴的距离， ∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2）， 解得m＜4， ∴3＜m＜4， 综上所述，3＜m＜4或m＞6． 故选：B． 6．若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（﹣2，﹣1），该抛物线与y轴的交点位于x轴上方，则下列结论正确的是（　　） A．a＜0 B．c＜0 C．b2﹣4ac＝0 D．4a﹣2b+c＝﹣1 【解答】解：由题意，∵抛物线与y轴的交点位于x轴上方， ∴c＞0，故B错误． 又抛物线的顶点为（﹣2，﹣1）， ∴可设抛物线为y＝a（x+2）2﹣1． ∴y＝ax2+4ax+4a﹣1． ∴b＝4a，c＝4a﹣1． ∵c＞0， ∴4a﹣1＞0，即a0，故A错误． ∵顶点为（﹣2，﹣1）， ∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝﹣1，故D正确． ∵b＝4a，c＝4a﹣1， ∴b2﹣4ac＝16a2﹣4a（4a﹣1）＝4a＞0，故C错误． 故选：D． 7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，给出下列结论：①c＜0；②b＝2a；③a+b+c＜0；④当x＞﹣1时，y＞0．其中所有正确结论的序号是（　　） A． ①② B．①③ C．②③ D．②④ 【解答】解：观察图象知c＞0，故①错误； 观察图象知对称轴为直线x，从而b＝2a，故②正确； 观察图象可知当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，故③正确； 当x＞﹣1时，还有部分图象位于x轴上方，故④错误． 故正确的有：②③． 故选：C． 8．在平面直角坐标系xOy中，点M（m﹣4，p），N（m，p），Q（6，q）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，且抛物线的对称轴为直线x＝t．若p＜q＜c，则t的取值范围为（　　） A．3＜t＜4 B．3＜t＜4或t＞8 C．t＜3或4＜t＜8 D．t＞8 【解答】解：由条件可知抛物线的对称轴为直线x＝t． ∴， 由条件可知距离对称轴越远的点的纵坐标越大， ∵（0，c）到x＝t的距离为|t|，M（m﹣4，p），N（m，p）到x＝t的距离为2， ∴2＜|6﹣t|＜|t|， 解得：3＜t＜4或t＞8， 故选：B． 9．如图，这是一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象，则二次函数y＝ax2+bx﹣a的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由条件可知抛物线y＝ax2+bx﹣a的开口向上， 对称轴为直线，在y轴的右侧， 故A，D选项不符合题意； ∵﹣a＜0， ∴与y轴的交点坐标（0，﹣a）在y轴的负半轴， 故B选项不符合题意，C选项符合题意； 故选：C． 10．如图，点A是抛物线y＝a（x﹣3）2+k与y轴的交点，AB∥x轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若△ABC为等边三角形，则a的值为（　　） A． B． C． D．1 【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， 由条件可知AD＝3，，C（3，k）． ∵当x＝0时，y＝9a+k， ∴A（0，9a+k）， ∴， ∴． 故选：A． 3、 填空题 11．抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是 　（3，1）　 ． 【解答】解：∵y＝（x﹣3）2+1为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为（3，1）． 故答案为：（3，1）． 12．二次函数的顶点为P，则点P到直线y＝10的距离的最小值为　　 ． 【解答】解：∵次函数， ∴该函数顶点的纵坐标为：， ∴点P到直线y＝10的距离为：10（a﹣1）2， ∴当a＝1时，点P到直线y＝10的距离取得最小值， 故答案为：． 13．无论k为任何实数，二次函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k的图象必过定点 　（﹣1，5）　 ． 【解答】解：原式可化为y＝2x2﹣3x+k（x+1）， ∵二次函数的图象必过定点，即该定点坐标与k的值无关， ∴x+1＝0，解得x＝﹣1， 此时y的值为y＝2+3＝5，图象必过定点（﹣1，5）． 故答案为：（﹣1，5）． 14．已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a是常数，且a≠0）． （1）若点（1，﹣2）在该函数的图象上，则a的值为 　2　 ； （2）当a＝﹣1时，若﹣3≤x≤2，则函数值y的取值范围是 　﹣12≤y≤4　 ． 【解答】解：（1）∵点（1，﹣2）在二次函数 y＝ax2﹣（3a+1）x+3 的图象， ∴﹣2＝a﹣（3a+1）+3， 解得a＝2． 故答案为：2． （2）当 a＝﹣1 时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∵﹣1＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当x＝1时，y有最大值4． 又当x＝﹣3时，y＝﹣12，当 x＝2时，y＝3， ∴当﹣3≤x≤2时，函数值y的取值范围是﹣12≤y≤4． 故答案为：﹣12≤y≤4． 三、解答题 15．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点M（1，4）和N（2，3）． （1）求此二次函数的解析式． （2）求此二次函数的对称轴和顶点坐标． （3）求此二次函数与x轴和y轴的交点坐标． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点M（1，4）和N（2，3）， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴此二次函数的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，4）； （3）当x＝0时，y＝3， 当y＝0时，由0＝﹣x2+2x+3得x1＝﹣1，x2＝3， ∴此二次函数与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0），与y轴的交点坐标为（0，3）． 16．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）P是抛物线上的点，且点P的横坐标是3，求△PAB的面积． 【解答】解：（1）把点A的坐标（﹣1，0）代入抛物线中得：2+c＝0 ∴c ∴抛物线的解析式为：yx2+2x； （2）∵P是抛物线上的点，且点P的横坐标是3， ∴yP2×34， ∴P（3，4）， 当y＝0时，x2+2x0， 解得：x1＝5，x2＝﹣1， ∴B（5，0）， ∵A（﹣1，0）， ∴AB＝5﹣（﹣1）＝6， ∴△PAB的面积12． 17．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点． （1）分别计算点A，B，C的坐标． （2）在第一象限的抛物线上求点P，使得S△PBC最大． 【解答】解：（1）令x＝0得y＝2，故点C坐标为（0，2）， 令y＝0得， 解得：x1＝4，x2＝﹣1， ∴A（﹣1，0），B（4，0）， （2）设点P坐标为（t，）， 过点P作PM⊥x轴于点M，连接PC，PB，BC，如图1， 则PM，BM＝4﹣t，OM＝t，OB＝4，OC＝2， 令三角形PBC的面积为m， 则m＝S四边形OBPC﹣S△BOC ＝S梯形OMPC+S△PMB﹣S△PBC 4 ＝﹣t2+4t， ∵抛物线m＝﹣t2+4t的开口向下且0＜t＜4， ∴当t＝2时，m最大，最大值为4， 即当点P坐标为（2，3）时，S△PBC最大． 18．如图，已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P作PH⊥x轴，与线段BC交于点M，垂足为点H，若PM＝MH时，求△PBC的面积． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c的对称轴是直线， ∴， ∴b＝2， ∴y＝﹣2x2+2x+c． 将B（2，0）代入y＝﹣2x2+2x+c， 得﹣8+4+c＝0， 解得c＝4， ∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4． （2）将x＝0代入y＝﹣2x2+2x+4，得y＝4， ∴C（0，4）． 设直线BC的解析式为y＝kx+b， 将B（2，0），C（0，4）代入， 得， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+4． 设点P的坐标为（m，﹣2m2+2m+4），0＜m＜2， ∴点M的坐标为（m，﹣2m+4）． ∵PM＝MH， ∴﹣2m2+2m+4＝2（﹣2m+4）， 解得m＝1或2（舍去）， ∴点P的坐标为（1，4）， ∴CP＝1， ∴△PBC的面积为2． 19．已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2． （1）求b的值； （2）当1≤x≤4时，函数值y的最大值与最小值的和为6，求c的值； （3）当1≤x≤4时，抛物线与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围． 【解答】解：（1）由题意，∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2， ∴2． ∴b＝﹣4． （2）由题意，∵a＝1＞0， ∴抛物线y＝x2+bx+c的开口方向向上． ∴当x＝2时，函数取得最小值＝4﹣8+c＝c﹣4；当x＝4时，函数取得最大值＝16﹣16+c＝c． ∵当1≤x≤4时，函数值y的最大值与最小值的和为6， ∴c+c﹣4＝6． ∴c＝5． （3）由题意，由（1）得抛物线为y＝x2﹣4x+c， 又∵抛物线与x轴有且只有一个交点， ∴①Δ＝16﹣4c＝0，则c＝4； ②当1≤x≤4时，抛物线与x轴有且只有一个交点，则，可得0≤c＜3． ∴c的取值范围为0≤c＜3或c＝4． 20．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备用每个6元的价格购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的关系式为：y＝﹣30x+600． （1）按照上述市场调查的销售规律，写出销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数解析式； （2）为了方便顾客，售价定为多少时可获利1200元； （3）若要想获得最大利润，试确定此时的销售单价，并求出此时的最大利润． 【解答】解：（1）由题意可得，w＝（x﹣6）（﹣30x+600）＝﹣30x2+780x﹣3600， ∴函数解析式为 w＝﹣30x2+780x﹣3600； （2）由（1）得销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数解析式为y＝﹣30x2+780x﹣3600 当获利为1200元时，﹣30x2+780x﹣3600＝1200， 解得：x1＝16 或x2＝10， 答：为了方便顾客，售价定10元时可获利1200元． （3）∵w＝﹣30x2+780x﹣3600＝﹣30（x﹣13）2+1470， ∵a＝﹣30＜0， ∴图象开口向下， ∴当x＝﹣13 时，w有最大值，最大值为1470． 即：当售价定为13元时，获得的利润最大，最大利润为1470元． 21．已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数），经过点A（1，2），B（2，p）． （1）①求b，c的关系式； ②求pc的最大值； （2）已知点C（t，y1），D（t+2，y2）是抛物线y＝x2+bx+c上的两点，且对于任意的实数t，不等式：（y1﹣p）（y2﹣p）≥0恒成立．若y1≥y2时，求t的取值范围． 【解答】解：（1）①由题意，把A（1，2）代入y＝x2+bx+c， ∴1+b+c＝2． ∴b+c＝1． ②由（1）得：b+c＝1， ∴c＝1﹣b． 把（2，p）代入y＝x2+bx+1﹣b， ∴p＝4+2b+1﹣b＝b+5． ∴pc＝（b+5）（1﹣b）＝﹣b2﹣4b+5＝﹣（b+2）2+9≤9． ∴pc的最大值为9． （2）∵抛物线为y＝x2+bx+c， ∴抛物线开口向上． ∵对于任何的实数t都有（y1﹣p）（y2﹣p）≥0恒成立， ∴点B（2，p）必为抛物线的最低点，即点B为抛物线的顶点． ∴对称轴为直线x＝2，当x＜2时，y随着x的增大而减小，当x＞2时，y随着x的增大而增大． ∵y1≥y2，点C（t，y1）AD（t+2，y2）是抛物线y＝x2+bx+c上的两点， ∴， ∴t≤1． 22．已知二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）． （1）若点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式． （2）请证明不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点． （3）当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，求a的值． 【解答】（1）解：∵点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上， ∴该二次函数的图象的对称轴为直线x， ∴， 解得a＝2， ∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+1． （2）证明：∵Δ＝（﹣2a）2﹣4×1×（a﹣1）＝4a2﹣4a+40， ∴不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点． （3）解：二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1图象的对称轴为直线xa， 当a＜0时， ∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3， ∴当x＝0时，y＝﹣3， 即a﹣1＝﹣3， 解得a＝﹣2； 当0≤a≤3， ∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3， ∴当x＝a时，y＝﹣3， 即a2﹣2a2+a﹣1＝﹣3， 解得a1＝2，a2＝﹣1（舍去）， ∴a的值为2； 当a＞3时， ∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3， ∴当x＝3时，y＝﹣3， 即9﹣6a+a﹣1＝﹣3， 解得a（舍去）． 综上所述，a的值为﹣2或2． 学科网（北京）股份有限公司 $$